機動目標跟蹤——Singer模型

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機動目標跟蹤——Singer模型

• 機動目標跟蹤——Singer模型
• • 1. 對機動目標跟蹤的理解
  • • 1.1. 對機動目標跟蹤的理解
    • 1.2. 目標模型概述
  • 2. 一維Singer模型
  • • 2.1. Singer模型（連續）
    • 2.2. Singer模型（離散）
  • 3. 二維Singer模型
  • • 3.1. Singer模型（連續）
    • 3.2. Singer模型（離散）
  • 4. Singer模型matlab仿真
  • 5. Singer模型擴展卡爾曼濾波EKF跟蹤
  • 6. 其它模型
  • • 6.1 勻速轉彎CT模型
    • 6.2. 勻加速運動CA模型
    • 6.3. “當前”統計模型
    • 6.4. Jerk統計模型

1. 對機動目標跟蹤的理解

1.1. 對機動目標跟蹤的理解

??機動目標跟蹤一直是目標跟蹤領域研究的難點和重點問題。建立目標運動模型和濾波算法是目標跟蹤的兩個重要因素。由于目標的機動具有不可預測性，使得我們很難建立精確的目標運動模型。如何建立一種有效的模型來反映目標真實的運動軌跡是高機動目標跟蹤系統急需解決的問題。經過近三十年的研究，該領域取得了許多重要成果。

個人理解：機動目標跟蹤擁有三要素：

被跟蹤目標建模（也是本博客重點）
傳感器測量（另一個博客介紹）
濾波器設計（見目標跟蹤專欄）

??從算法層面，在目標跟蹤系統中，常用的濾波算法是以卡爾曼濾波器為基本框架的估計算法。卡爾曼濾波器是一種線性、無偏、以誤差均方差最小為準則的最優估計算法，它有精確的數學形式和優良的使用效能。卡爾曼濾波方法實質上是一種數據處理方法，它采用遞推濾波方法，根據獲取的量測數據由遞推方程遞推給出新的狀態估計。由于計算量和存儲量小，比較容易滿足實時計算的要求，在工程實踐中得到廣泛應用。
??除此之外，非線性濾波也廣泛應用與機動目標跟蹤，比如：

擴展卡爾曼濾波EKF
無跡卡爾曼濾波UKF
容積卡爾曼濾波CKF
求積卡爾曼濾波QKF
中心差分卡爾曼濾波CDKF
Divided difference filter DDF
高斯混合濾波GSF
強跟蹤濾波STF
粒子濾波PF
… …

1.2. 目標模型概述

??機動目標模型描述了目標狀態隨著時間變化的過程。一個好的模型抵得上大量的數據。當前幾乎所有的目標跟蹤算法都是基于模型進行狀態估計的。在卡爾曼濾波器被引入目標跟蹤領域后，基于狀態空間的機動目標建模成為主要研究對象之一。

常用的目標運動模型包括：

勻速運動模型，CV
勻加速運動模型，CA
勻速轉彎模型，CT
Singer 模型
“當前”統計模型
Jerk 模型

目標的空間運動基于不同的運動軌跡和坐標系
一維運動
二維運動
三維運動

根據不同方向的運動是否相關
坐標間不耦合模型
坐標間耦合模型

坐標間不耦合模型： 這類模型假設三維空間三個正交方向上的目標機動過程不耦合。目標機動是飛行器受到外力作用而使得加速度變化所致，所以對機動建模的難點在于對目標加速度的描述。對于無機動目標，常速(Constant Velocity，CV〉模型常用于描述這類目標的運動，而常加速度(Constant Acceleration，CA）模型則常用于描述加速度趨近常數的機動目標的運動。

坐標間耦合模型： 坐標間耦合模型絕大多數情況下指的是轉彎運動模型。由于此類模型與坐標密切相關，所以可以分為兩類:二維轉彎模型和三維轉彎模型。二維轉彎模型又稱為平面轉彎模型，即CT模型。

2. 一維Singer模型

??Singer模型認為機動模型是相關噪聲模型，而不是通常假定的白噪聲模型，它假定目標加速度$a(t)$不是白噪聲模型，而是具有指數自相關的零均值隨機過程，其時間相關函數為指數衰減形式：
$$R_{\alpha }(\tau )=E[a(t)a(t+\tau )]={\sigma }_m^2{e}^{?\alpha |\tau |},\alpha \ge 0$$

其中：$\sigma$、$a(t)$是在區間$[t,t+\tau ]$內決定目標機動特性的待定參數。${\sigma }^2$是目標加速度的方差；$\alpha$為機動時間常數的倒數，即機動頻率。

通常α的經驗取值范圍為：
轉彎機動$\alpha =1/60$，
逃避機動$\alpha =1/20$，
大氣擾動$\alpha =1$，
它的確切值只有通過適時測量才能確定。

??于是基于此假設，加速度的譜密度函數就是
$$S(w)=2\alpha {\sigma }^2(w^2+{\alpha }^2)$$
該假設通過Wiener-Kolmogorov白化過程進行處理可得關于加速度在狀態空間的描述方式為
$$\dot{a}(t)=?\alpha a(t)+w(t)$$
其中：$w(t)$是均值為0，方差為${\sigma }^2$的高斯白噪聲。

2.1. Singer模型（連續）

令狀態向量為
$$X=[x,\dot{x},\ddot{x}{]}^T$$
則加速度為
$$a(t)=\ddot{x}(t)$$
連續時間Singer模型為
$$\dot{X}(t)=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& ?\alpha \end{array}?X(t)+?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}?w(t)$$

Singer模型也可以表述為
$$\dot{X}(t)=AX(t)+Bw(t)$$
其中
$$A=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& ?\alpha \end{array}?,B=?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}?$$

2.2. Singer模型（離散）

周期T采樣離散化后，轉化為離散時間狀態方程為：

$$X_{k+1}=F_k{X}_k+W_k$$
其中
$$F_k=?\begin{array}{ccc}1& T& (\alpha T?1+e^{?\alpha T})/{\alpha }^2\\ 0& 1& (1?e^{?\alpha T})/\alpha \\ 0& 0& ?e^{?\alpha T}\end{array}?$$
噪聲$W_k$的方差為
$$Q=2\alpha {\sigma }^2?\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}?$$
$Q$為對稱矩陣，且

Singer模型還提出通過如下三重一致混合分布對加速度分布進行建模。
(1）目標可能以概率$P_0$無加速運動。
(2）目標或以等概率$P_{max}$按最大或最小加速度$(?+a_{max})$運動。
(3）目標或者在區間$(?a_{max},+a_{max})$按一致分布的加速度加、減速。于是基于該假設，計算可得加速度均值為零并且其方差為
$${\sigma }^2=\frac{a_{max}^2}{3}(1+4P_{max}?P_0)$$
式中，$P_{max}$、$P_0$ 和 $a_{max}$ 均為先驗設計的參數。

上述模型可以推廣到其他模型:

(1) 當時間常數$\tau$較大，即$\alpha$較小時，Singer模型趨于CA模型。

(2) 當時間常數$\tau$較小，即$\alpha$較大時，Singer模型趨于CV模型。

(3) Singer模型對目標機動模式的覆蓋可以看作介于CV和CA模型之間。

3. 二維Singer模型

3.1. Singer模型（連續）

令狀態向量為
$$X=[x,\dot{x},\ddot{x}，y,\dot{y},\ddot{y}{]}^T$$
則加速度為
$$a(t)=[\ddot{x}(t),\ddot{y}(t){]}^T$$
連續時間Singer模型為

$$\dot{X}(t)=?\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& ?\alpha & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& ?\alpha \end{array}?X(t)+?\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}?w(t)$$

為了方便，定義
$$A=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& ?\alpha \end{array}?,B=?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}?$$
則上式變為
$$\dot{X}(t)=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& A\end{array}\right]X(t)+\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& B\end{array}\right]w(t)$$

3.2. Singer模型（離散）

周期T采樣離散化后，轉化為離散時間狀態方程為：

$$X_{k+1}=F_k{X}_k+W_k$$
其中
$$F_k=\left[\begin{array}{cc}F& 0\\ 0& F\end{array}\right]$$

$$F=?\begin{array}{ccc}1& T& (\alpha T?1+e^{?\alpha T})/{\alpha }^2\\ 0& 1& (1?e^{?\alpha T})/\alpha \\ 0& 0& ?e^{?\alpha T}\end{array}?$$

噪聲$W_k$的方差為
$$Q_k=\left[\begin{array}{cc}Q& 0\\ 0& Q\end{array}\right]$$

$$Q=2\alpha {\sigma }^2?\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}?$$
$Q$為對稱矩陣，且

4. Singer模型matlab仿真

位置軌跡： 圖1
速度軌跡： 圖2
加速度軌跡： 圖3

代碼：

clear all; close all; clc; %% initial parameter n=6; %狀態維數 ; global T; T=1; %采樣時間 N=100; %運行總時刻 w_mu=zeros(6,1); % mean of process noise v_mu=[0,0,]'; % mean of measurement noise %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Singer模型 %covariance of process noise global a;% 定義全局變量 a= 0.1;% Singer 機動頻率 % 方差計算 global sigma_q; sigma_q= 3; %------------------狀態噪聲協方差—— q11=(1-exp(-2*a*T) + 2*a*T + 2*a^3*T^3/3 - 2*a^2*T^2 - 4*a*T*exp(-a*T) )/(2*a^5); q12=(exp(-2*a*T)+1-2*exp(-a*T)+2*a*T*exp(-a*T)-2*a*T+a^2*T^2)/(2*a^4); q13=(1-exp(-2*a*T)-2*a*T*exp(-a*T))/(2*a^3); q21=q12; q22=(4*exp(-a*T)-3-exp(-2*a*T)+2*a*T)/(2*a^3); q23=(exp(-2*a*T)+1-2*exp(-a*T))/(2*a^2); q31=q13; q32=q23; q33=(1-exp(-2*a*T))/(2*a); Q=2*a*sigma_q^2*[q11, q12, q13; q21, q22, q23; q31, q32, q33]; % % Q=blkdiag(Q,0.001); Qk=blkdiag(Q,Q);%%%%目標模型 F=[1 T (a*T-1+exp(-a*T))/a^2 0 1 (1-exp(-a*T))/a 0 0 exp(-a*T) ]; Fk=blkdiag(F,F);% 初始狀態的均值和方差 x=[0,100,10 0,200,-5 ]'; % 共8維，包括 x：位置 速度 加速度 加速度率； y:位置 速度 加速度 加速度率； P_0=diag([1e3,10^2,10^1, 1e3,10^2,10^1]); x0=mvnrnd(x,P_0); % 初始狀態 %x0=(x+normrnd(0,0.001)')';%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 目標航跡航跡生成 x=x0'; % 航跡生成 t1=30; t2=60; t3=100; for k=1:1:t1x(3)=10; x(6)=-5;w=mvnrnd(w_mu',Qk)';x=Fk*x + w;sV(:,k,1)=x; end for k=t1+1:1:t2x(3)=-10; x(6)=20;w=mvnrnd(w_mu',Qk)';x=Fk*x + w;sV(:,k,1)=x; end for k=t2+1:1:t3x(3)=-1; x(6)=-60;w=mvnrnd(w_mu',Qk)';x=Fk*x + w;sV(:,k,1)=x; end figure plot(sV(1,:,1),sV(4,:,1),'-*r') xlabel('m');ylabel('m'); legend('目標軌跡') title('Singer模型目標軌跡') xlim([-5000,21000]); % 設置坐標軸范圍 ylim([-15000,22000]);figure plot(sV(2,:,1),sV(5,:,1),'-*b') xlabel('m/s');ylabel('m/s'); legend('速度軌跡') title('Singer模型目標軌跡') figure plot(sV(3,:,1),sV(6,:,1),'-*g') xlabel('m/s^2');ylabel('m/s^2'); legend('加速度軌跡') title('Singer模型目標軌跡') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

5. Singer模型擴展卡爾曼濾波EKF跟蹤

跟蹤軌跡如下：

RMSE曲線：
位置RMSE
速度RMSE

6. 其它模型

6.1 勻速轉彎CT模型

勻速轉彎CT運動模型見另一個博客：包括二維、三維

6.2. 勻加速運動CA模型

勻加速運動CA模型見另一個博客

6.3. “當前”統計模型

當前統計模型見另一個博客

6.4. Jerk統計模型

Jerk模型見另一個博客

==原創不易，路過的各位大佬請點個贊=

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机动目标跟踪——Singer模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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