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• 題目描述
• 輸入
• 輸出
• 樣例輸入
• 樣例輸出
• 解題思路
• 參考代碼

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題目描述

輸入

輸出

樣例輸入

2 3 1

樣例輸出

2.5

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解題思路

為了方便，我們把$ma$記作$a$，把$mb$記作$b$，把$P$記作$c$，那么題目就變成了：
已知$a,b,c$，求$ax+by=c$的一組解，使得$0.5?a?x^2+0.5?b?y^2$最小，輸出這個最小值
顯然，第一步我們用拓展歐幾里得算法求出這個不定方程的一組特解，為$\{\begin{array}{l}{x}_0\\ y_0\end{array}$，令$a$和$b$的最大公因數為$d$，那么通解為$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_0+\frac{b}{d}t\\ y_1=y_0?\frac{a}{d}t\end{array}$
所以$ans=0.5(a{x}_1^2+b{y}_1^2)$將$x_1=x_0+\frac{b}{d}t$和$y_1=y_0?\frac{a}{d}t$代入這個式子化簡后可得：$$ans=0.5(\frac{a+b}{d^2}ab{t}^2+2\frac{ab(x_0?y_0)}{d}t+a{x}_0^2+b{y}_0^2)$$
這就是一個關于$t$的二次函數，對稱軸為：$$t_1=?\frac{\frac{ab(x_0?y_0)}{d}}{\frac{a+b}{d^2}ab}=\frac{(y_0?x_0)d}{a+b}$$
再在$t_1$兩邊的兩個整點（也就是$?t1?$和$?t1?+1$）中去找答案即可

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參考代碼

#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #define reg registertemplate <class T> inline T read() {T x = 0; T f = 1; char s = getchar();while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-') f = -1; s = getchar();}while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + s - 48; s = getchar();}return x * f; }template <typename T> inline void wri(T x) {if(x < 0) {x = -x; putchar('-');}if(x / 10) wri(x / 10);putchar(x % 10 + 48); }template <typename T> inline void write(T x, char s) {wri(x);putchar(s); }template <typename T> inline T Min(T x, T y) {return x < y ? x : y;}#define LL long longint ma, mb, p, gcd; double va, vb, t, tmp, pa, pb, ans;inline int exgcd(int a, int b, double &x, double &y) { //拓展歐幾里得算法if(! b) {x = 1, y = 0;return a;}else {int tmp = exgcd(b, a % b, y, x);y -= x * (a / b);return tmp;} }int main() {ma = read<int>(), mb = read<int>(), p = read<int>();gcd = exgcd(ma, mb, va, vb);va *= (p * 1.0 / gcd), vb *= (p * 1.0 / gcd); //算出特解if(p % gcd != 0) { //判斷無解puts("-1");return 0;}t = (vb - va) * gcd * 1.0 / (ma + mb); //算出t1并在兩邊找答案tmp = floor(t);pa = va + tmp * (mb / gcd);pb = vb - tmp * (ma / gcd);ans = 0.5 * ma * pa * pa + 0.5 * mb * pb * pb;tmp = floor(t) + 1;pa = va + tmp * (mb / gcd);pb = vb - tmp * (ma / gcd);ans = Min(ans, 0.5 * ma * pa * pa + 0.5 * mb * pb * pb);LL q = ans; //判斷是否為浮點數if(ans != q)printf("%.1lf\n", ans);elsewrite(q, '\n');return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[数论] 小球碰撞的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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