一、多項式擬合

• ployfit(x,y,n) ：找到次數(shù)為 n 的多項式系數(shù)，對于數(shù)據(jù)集合 {(x_i,y_i)}，滿足差的平方和最小
• [P,E] = ployfit(x,y,n) ：返回同上的多項式 P 和矩陣 E 。多項式系數(shù)在向量 p 中，矩陣 E 用在 ployval 函數(shù)中來計算誤差
• 某數(shù)據(jù)的橫坐標為 x= [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8]，縱坐標為 y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1]，對該數(shù)據(jù)進行多項式擬合
• 代碼

clear allclcx = [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8];y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1];p5 = polyfit(x,y,5); % 5 階多項式擬合 y5 = polyval(p5,x);p5 = vpa(poly2sym(p5),5) %顯示 5 階多項式p9 = polyfit(x,y,9); % 9 階多項式y(tǒng)9 = polyval(p9,x);figure; %畫圖plot(x,y,'bo');hold on;plot(x,y5,'r:');plot(x,y9,'g--');legend('原始數(shù)據(jù)','5 階多項式擬合','9 階多項式擬合');xlabel('x');xlabel('y');

• 運行程序后，得到的 5 階多項式如下：
  p5 =10.041x^5 + 58.244x^4 - 124.54x^3 + 110.79x^2 - 31.838*x + 4.0393

• 輸出結(jié)果如下：
  

• 可見，當采用 9 次擬合時，得到的結(jié)果與原數(shù)據(jù)符合的比較好。當使用函數(shù) polyfit() 進行擬合時，多項式的階次最大不超過 length(x) - 1

二、加權最小方差(WLS)擬合原理及實例

• 加權最小方差就是根據(jù)基礎數(shù)據(jù)本身各自的準確度的不同，在擬合的時候給每個數(shù)據(jù)以不同的加權數(shù)值。這種方法比單純最小方差方法要更加符合擬合的初衷
• 根據(jù) WLS 數(shù)據(jù)擬合方法，自行編寫使用 WLS 方法擬合數(shù)據(jù)的 M 函數(shù)，然后使用 WLS 方法進行數(shù)據(jù)擬合
• 在 M 文件編輯器中輸入如下代碼：

function [th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi,r)% x，y：數(shù)據(jù)點系列% N：多項式擬合的系統(tǒng)% r：加權系數(shù)的逆矩陣M = length(x);x = x(:);y = y(:);% 判斷調(diào)用函數(shù)的格式if nargin == 4% 當調(diào)用的格式為 (x,y,N,r)if length(xi) == Mr = xi;xi = x;% 當調(diào)用的格式為(x,y,N,xi)else r = 1;end;% 當調(diào)用格式為(x,y,N)elseif nargin == 3xi = x;r = 1;end% 求解系數(shù)矩陣A(:,N+1) = ones(M,1);for n = N:-1:1A(:,n) = A(:,n+1).*x;endif length(r) == Mfor m =1:MA(m,:) = A(m,:)/r(m);y(m) = y(m)/r(m);endend% 計算擬合系數(shù)th = (A\y)';ye = polyval(th,x);err = norm(y-ye)/norm(y);yi = polyval(th,xi);

• 將上面代碼保存為 “polyfits.m” 文件
• 使用上面的程序代碼，對基礎數(shù)據(jù)進行 LS 多項式擬合。在 MATLAB 的命令窗口輸入下面的程序

clear allclcx = [-3:1:3]';y = [1.1650 0.0751 -0.6965 0.0591 0.6268 0.3516 1.6961]';[x,i] = sort(x);y = y(i);xi = min(x) + [0:100]/100*(max(x) - min(x));for i = 1:4N = 2*i-1;[th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi);subplot(2,2,i)plot(x,y,'o')hold onplot(xi,yi,'-')grid onend

• 得到的擬合結(jié)果
  

• LS 方法其實是 WLS 方法的一種特例，相當于將每個基礎數(shù)據(jù)的準確度都設為 1。但是，自行編寫的 M 文件和默認的命令結(jié)果不同

三、非線性曲線擬合

• 非線性曲線擬合是已知輸入向量 xdata，輸出向量 ydata，并知道輸入與輸出的函數(shù)關系為 ydata = F(x,xdata)，但不清楚系數(shù)向量 x。進行曲線擬合急求 x 使得下式成立：
  \(\displaystyle{min_x} \frac{1}{2}|| F(x,xdata)-ydata||_2^2 = \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_i}(F(x,xdata_i) - ydata_i)^2\)
• 在 MATLAB 中，可以使用函數(shù) curvefit 解決此類問題，其調(diào)用格式如下：
  • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)：x0 為初始解向量，xdata，ydata 為滿足關系 ydata = F(x,xdata)的數(shù)據(jù)
  • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)：lb、ub 為解向量的下屆和上屆 lb <= x <= ub，若沒有指定界，則lb = []，ub = []
  • x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)：options 為指定的優(yōu)化參數(shù)
  • [x,resnorm] = lsqcurvefit(…)：resnorm 是在 x 處殘差的平方和
  • [x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)：residual 為在 x 處的殘差
  • [x,resnorm,residual,exitflag] =lsqcurve(…)：exitflag 為終止迭代的條件
  • [x,resnorm,residual,exitflag,output] =lsqcurve(…) ：output 為輸出的優(yōu)化信息
• 已知輸入向量 xdata 和輸出向量 ydata，且長度都是 n，使用最小二乘非線性擬合函數(shù)：ydata(i) = x(1)·xdata(i)^2+x(2)·\sin(xdata(i))+ x(3)·xdata(i)^3
• 根據(jù)題意可知，目標函數(shù)為：\(min_x \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}(F(x,xdata_i)-ydata_i)^2\)
• 其中：F(x,xdata) = x(1)·xdata^2+x(2)\sin(xdata)+x(3)·xdata^3
• 初始解向量定位 x0 = [0.3,0.4,0.1]
• 首先建立擬合函數(shù)文件 ex1024.m

function F = ex1024(x,xdata)F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;

• 再在命令行編寫函數(shù)擬合代碼;

clear allclcxdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];x0 = [10,10,10];[x,resnorm] = lsqcurvefit(@ex1024,x0,xdata,ydata)

• 結(jié)果為 \(x = \begin{matrix}0.2269 &0.3385 &0.3022\end{matrix} ， resnorm = 6.2950\)，即函數(shù)在 x = 0.2269、x = 0.3385、x = 0.3022 處殘差的平方和均為 6.295
• 當然了，還有一鐘好用的東西叫 cftool，簡直不要太簡潔，入門操作請看：MATLAB如何快速進行曲線擬合

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/NikkiNikita/p/9464245.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB曲线拟合函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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