聲明：該文章是博主閱讀《數學方法論選講》的讀書筆記。由于博主能力有限，中間有過錯之處希望大家給予批評指正，一起學習交流。

方法論（methodology）是把某種共同的發展規律和研究方法作為討論對象的一門學問。（英文:methodology一詞又譯為方法學，正如大家所知，各門科學都有方法論，數學自然也有它的方法論。

那什么是數學的方法論呢？

數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則的一門學問。

也許會有人發牢騷了，研究數學都讓人頭疼了，怎么還有個研究數學方法論，還讓不讓人活了，簡直就是對智商的又一次萬點傷害啊。我想說其實不是這樣的，俗話說：磨刀不誤砍柴工。研究數學方法論是很有意思和意義的一件事。

眾所周知，數學是一門工具性很強的科學，大家對其最深刻的印象就是高度的抽象性。為了有效地發展它、改進它、應用它或者把它很好的傳承下去，就需要對這門學科的發展規律、研究方法、發現與發明等法則有所掌握。因此，了解方法論是非常有益且很有必要的。（數學方法論中的方法和原理是從數學發展史中總結歸納出來的，所以學習一點數學史還是很有必要的）

提出了方法論，根據我們從小到大看教材或老師講課的經驗，接下里就該是方法論有哪些？怎么劃分？

大體上分為兩類：宏觀的數學方法論和微觀的數學方法論。

宏觀的范疇：由于數學史是人類社會科學技術發展史的一個組成部分，數學發展的巨大動力源泉與社會生產實踐及技術發展的客觀要求緊密相連，因此，數學發展規律的研究就屬于這個范疇。

微觀的范疇：在研究數學課題時，不考慮數學發展的外在推動力，專就數學內部體系結構中的特定問題來進行分析研究。這樣的話，就需要考慮采用最有效的數學研究方法，需要懂得數學發現與數學創造等各種法則，這些研究者個人必須遵循的方法與法則的研究就屬于這個范疇。

值得一提的是，在微觀的數學方法論中，歸納與類比方法是發現數學真理的重要手段。十八、十九世紀有突出貢獻的數學家歐拉和高斯都曾發表過一些經驗之談，歐拉說過：“數學這門科學，需要觀察，還需要實驗”。高斯也提到過，他的許多定理都是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續。

歸納法與類比法師數學方法論中最基本的方法之一，用好了能獲得新的成果，乃至完成重要發現。但要真正用好也不容易。首先，要有敏銳的觀察力，才能從眾多的特例中歸納總結出一般性命題來。“特例”有時是現成的，有時卻需要故意構造出來。要用好類比法需要有較豐富的數學知識，知識面越廣，在數學思維中可用作類比推理的題材就越多，因而能形成普遍命題的機會（或發現數學一般真理的機會）也就越多。很難想象，知識面很窄的人能完成重大的發現。

當然，形成的“普遍命題”在完成證明之前往往是一種猜想，因此，只有經過嚴格證明之后才能成為確定的定理或論斷。所以數學史上許多杰出的數學集往往既是發現與發明的能手，也是精干證明技巧的硬手。但是也有數學家是一種擅長數學發現，一種擅長論證。前者屬于“發散思維”，后者屬于“收斂思維”

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總結

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