離散數(shù)學(xué)之集合論

1.基本概念

定義：集合是包含不同對象的一個無序的聚集。集合元素在集合里面叫做A包含a，記作a E A（打不出來），否則記作a !E A。

集合的描述有：列舉法：一一列舉幾個里面的元素，還有采用集合構(gòu)造器，敘述法。

區(qū)間：有疑問請回顧高中知識。

集合相等：兩個集合當(dāng)且僅當(dāng)它們擁有相同的元素。就是說：A與B是集合，則A與B相等的條件是當(dāng)且僅當(dāng)（AX）(XEA & XEB)，若A與B相等，則A=B

空集：一個集合不包含任何元素叫做空集。用{}表示

子集：集合A是集合B的子集并且B是A的超集（意思是B集合大一些），當(dāng)且僅當(dāng)A的元素是B的元素（B元素里面包括A元素）就表示A是B的子集。

推廣：對于集合A，有 {} E A ，A E A

真子集：集合A是集合B的子集并且A != B。

要證明兩個集合相等，就證明A是B的子集，B是A的子集。

冪集：集合A里面所有子集的集合冪集元素的個數(shù)：2^n個。

2.集合的運(yùn)算

并集：A與B的并集，記作：A∪B，它同時(shí)包含集合A或者集合B里面的元素：A∪B={x|xEA | xEB}

交集：A與B的交集，記作：A∩B，他包含A與B里面的公共元素：A∩B = {x| xEA & xEB}

如果兩個集合不相交，他們的交集是空集。

A∪B = A + B - A∩B

補(bǔ)集：有兩種：絕對補(bǔ)與相對補(bǔ)。

相對補(bǔ)：也叫做差集，記作A - B(意思是A集合里面減去包含在B里面的A元素)，即：A-B = A - A∩B

A - B = {x| xEA & x !E B}

絕對補(bǔ)：全集是E，有一個集合是A，那么A的補(bǔ)集是：_A。A = E-A

所以有性質(zhì)：₍A) = A ~E = 空集 ~空集 = E A∩~A = 空集 A∪~A = E

~(A ∩ B) = ~A ∪ ~B ~（A ∪ B）= ~A ∩ ~B

對稱差：A與B對稱差包括屬于A的部分加上屬于B的部分減去屬于A與B的公共部分。

我們記作A@B

A@B = (A-B) ∪ (B-A) == A + B - A∩B

所以我們可以得到以下公式：A@B=B@A A@K=A A@A=K A@B=(A∩_B)∪(B∩A) (A@B)@C=A@(B@C)

3.序偶與笛卡爾積

序偶：有序二元組的稱呼，可以看作一個有順序的集合，記作<A,B>

序偶不同于集合的是序偶是有順序的，<A,B> != <B,A>，相當(dāng)于鍵值對。

笛卡爾積：A與B是集合，那么A與B的笛卡爾積相當(dāng)于A*B，表示<a,b>,其中：aEA ,bEB

即：A*B = {<a,b>| aEA & bEB}請注意：AB != BA

笛卡爾積不滿足交換律與結(jié)合律：即AB != BA (AB)C != A(BC)

如果A, B, C是三個集合，則有：

A(B∩C) = (AB)∩(AC)

A(B∪C) = (AB)∪(AC)

(A∩B)C = (AC)∩(BC)

(A∪B)C = (AC)∪(BC)

性質(zhì)：對于集合A, B, C, D如果滿足AB 屬于 CD ，其充要條件是 A屬于C，B屬于D。

4.關(guān)系

集合A與B的關(guān)系可以記作 AB里面的子集屬于一個關(guān)系，也就是說，一個從A到B的二元關(guān)系就是AB的子集。

我們可以這么記：對于一個二元關(guān)系R，R里面的任意一個序偶<x,y>可以記作<x,y>ER 或者<x,y> !E R

要么是xRy 或者 x !R y

相關(guān)概念：

前域：在二元關(guān)系<x,y> E R里面，由所有x組成的集合叫做前域。

值域：在二元關(guān)系<x,y> E R里面，由所有y組成的集合叫做值域。

域：由前域與值域最初 相當(dāng)于前域與值域的并集。

有集合A和B，直積AB的子集叫做A到B的關(guān)系。

恒等關(guān)系：Ix是X上面的二元關(guān)系，并且滿足Ix={<x,x>|x EX}，叫做恒等關(guān)系。

關(guān)系矩陣：我們有兩個有限集合：X = {x1,x2,x3,……,xm}，Y={y1,y2,y3,……,yn}，R是X到Y(jié)上的一個二元關(guān)系，那么就有相應(yīng)的關(guān)系矩陣：M = [rij]m*n

其中Mij = 1，即<xi,yi> E R，0，即<xi,ji> !E R iE[1,m] jE[1,n]

我們還可以畫有向圖來表示關(guān)系：

5.關(guān)系的性質(zhì)

自反的關(guān)系：R是集合X上面的二元關(guān)系，如果對于每一個x EX,有xRx，就稱R是自反的。

對稱關(guān)系：對于關(guān)系里面x,y E X，每當(dāng)xRy，就有yRx，就X上面關(guān)系R是對稱的。

傳遞關(guān)系：對于x, y, z E X，每當(dāng)xRy, yRz時(shí)就有xRz,就稱R在X上是傳遞的。

反自反關(guān)系：我們在自反的基礎(chǔ)上面不能出現(xiàn)xRx的情況。

反對稱關(guān)系：大概地說，集合 X 上的二元關(guān)系 R 是反對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)不存在X里的一對相異元素a, b，它們相互 R-關(guān)系于彼此

用數(shù)學(xué)符號可寫成：

看了這么多，我們可以總結(jié)一下：

關(guān)系的性質(zhì)

該有序偶不能沒有

自反性：應(yīng)該含有所有**<x, x>**

對稱性：如果有**<x, y>就應(yīng)該有<y, x>**

傳遞性：如果有**<x, y>和<y, z>就應(yīng)該有<x, z>**

該有的序偶沒有就不滿足

不該有的序偶不能有

反自反性：不應(yīng)該含有任何**<x, x>**

反對稱性：如果有**<x, y>就不應(yīng)該有<y, x>**

不該有的序偶有了就不滿足

從關(guān)系矩陣、關(guān)系圖來判斷五個性質(zhì):
1、自反的:
關(guān)系矩陣的對角線上元素全為1,關(guān)系圖中每個結(jié)點(diǎn)均有自回路。
2、對稱的:
關(guān)系矩陣是對稱矩陣，關(guān)系圖中若兩個結(jié)點(diǎn)之間有有向弧，則必成對出現(xiàn)
3、反自反的:

關(guān)系矩陣中對角線元素全為0,關(guān)系圖中每個結(jié)點(diǎn)都沒有自回路。
4、反對稱的:

關(guān)系矩陣以對角線對稱的元素不能同時(shí)為1，(但可為對稱陣，同時(shí)為0)
關(guān)系圖中如果兩個結(jié)點(diǎn)之間有有向弧，則不能成對出現(xiàn)。
5、傳遞性:
不能明確判斷，只能用定義。

6.復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系

1、
復(fù)合關(guān)系:為了明確地表示復(fù)合關(guān)系，給出定義:
定義:
R是X到Y(jié)的關(guān)系，S是Y到Z的關(guān)系，則R和S的復(fù)合關(guān)系R°S稱為R和S的復(fù)合關(guān)系，表示為:
RoS= {<x,z>|x∈X^z∈Z@y)(y∈Y ^(x, y>∈R^<y,z> ES)}
如: R={<1,2>,??,4>,<2,2)}
S= {<4,2>,<2,5)>,??,1>,<1,3>}
則: RoS={(1,5),<(3,2>,(2,5)}
從左至右復(fù)合。
如: S’ =SU{<4,1>},
則:
RoS’ ={(1,5),??,2>,??,1)>,<2,5)}

實(shí)際上復(fù)合關(guān)系相當(dāng)于一個個元素進(jìn)行傳遞，看是否滿足傳遞關(guān)系。

關(guān)系矩陣的復(fù)合：

其實(shí)有點(diǎn)像矩陣相乘方法。

其實(shí)，計(jì)算方法原理如下：

逆關(guān)系：

2、
逆關(guān)系:
R是X到y(tǒng)的二元關(guān)系，把R中每一序偶的元素次序顛倒，得到的關(guān)系稱為R的逆關(guān)系，記作R c:
R^ ={<y,x><x,y>E R}。
如:“>”逆“<”，3>2, 2 ??,(3,2>∈>,<2,3>∈<
如: X= {xy,xX2,x}Y = {JV,V2,V;3}
R={<x,V2>,<x2,V3>,<xs,y>}
R° ={<V2,X>,< V;,X2 >,< Jy,X3>}

逆關(guān)系的性質(zhì)：

7.關(guān)系的閉包運(yùn)算

閉包相關(guān)定義：

我們可以這么總結(jié)：算自反閉包就是把對角線元素全部變成1，對稱閉包：我們就是把它的逆關(guān)系找出來再加以合并，傳遞閉包，關(guān)系矩陣相乘再合并。

至于傳遞閉包，我們有以下方法：

所以有幾個元素我們最多算幾次就可以了。

我們引入了warshall算法進(jìn)行計(jì)算：

我們通過一系列圖進(jìn)行看：

總結(jié)一下：warshall算法實(shí)際上就是我們看列有沒有真值，有的話就是把相關(guān)行加到我們目前在列數(shù)的行上面。

8.等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類

1、定義:若R為集合A上一個關(guān)系，滿足R是自反的、對稱的、傳遞的，則R稱為等價(jià)關(guān)系。

同余模K的關(guān)系：

商集：

9.序關(guān)系

蓋住關(guān)系：

我們總結(jié)以下蓋住關(guān)系：

我們不能有相等的元素，也不能有可以傳遞出來的元素。

偏序集：

極大元極小元與最大元與最小元的關(guān)系：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学之集合论的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。