抽象代数学习笔记(抽象代数的历史、运算)
1. 抽象代數歷史
????????對于一次代數方程,顯然有解?
????????對于二次代數方程,在實數域和復數域都存在根式解
????????對于三次代數方程和四次代數方程經過前人證明都存在根式解
????????對于五次及以上的代數方程是否存在根式解這個問題,歐拉、拉格朗日、高斯等數學家都沒得到答案,但是他們得出五次及以上的代數方程組不存在根式解的結論。19世紀初,阿貝爾提出五次及以上的代數方程不存在根式解,并找出一類特殊的五次及以上的代數方程可以用根式解表示出來。另外一個年輕的數學家伽羅華提出了Galois理論,并在19歲的時候利用抽象代數給出了充要條件,證明了五次及以上的代數方程不存在根式解,除此之外,伽羅華還正式提出了抽象代數理論,在他去世后幾十年,他的理論才被數學界所認可,并被不斷發展下去。
2. 運算及關系? ??
? ? ? ? 1)
????????代數體系表示的是集合以及定義在集合上的運算。
? ? ? ? 對于集合,我們一般不給出明確的定義,因為這樣可能會導致悖論,我們只需要明確一個元素是否屬于集合
? ? ? ? 定義1.1.1 設為的子集,定義到的映射, 使得, 則稱i為到的嵌入映射
? ? ? ? 定義1.1.2?設為的子集,為A到B的映射,為到的映射。若,則稱為的開拓,為在上的限制,記為
? ? ? ? 2)?交換圖
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? ? ? ? ? ? ? ? 在上述情況下,,則有交換圖:
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? ? ? ? ?3)
? ? ? ? 定義1.1.3:設為兩個非空集合,令,稱為與的直積。
? ? ? ? 類似可定義的直積
? ? ? ? 4)
? ? ? ? 運算的本質是兩個元素按照某種法則映射到一個元素
? ? ? ? 定義1.1.4:設,?,?為三個非空集合,若存在一個映射,則稱為與到D的一個代數運算
? ? ? ? 若A=B=D,則稱為上的二元運算
? ? ? ? 一般用或者而不是表示二元運算,因為前者的表示更加簡單,能夠表達一般的抽象運算
? ? ? ? 5)?運算規律
? ? ? ? 定義1.1.5:設A上定義了二元運算,若運算滿足, 則稱運算滿足交換律
? ? ? ? 定義1.1.6:設A上定義了二元運算,若運算滿足, 則稱運算滿足結合律
????????定義1.1.6:設A上定義了兩個二元運算,若運算滿足, 則稱集合滿足到的左分配律
? ? ? ? 同理可定義右分配律以及分配律
? ? ? ? 若A上的一個二元運算滿足結合律,則可定義
? ? ? ? 若A上的一個二元運算滿足交換律,則
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參考:南開大學-抽象代數
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记(抽象代数的历史、运算)的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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