1. 抽象代數歷史

????????對于一次代數方程，顯然有解?

????????對于二次代數方程，在實數域和復數域都存在根式解

????????對于三次代數方程和四次代數方程經過前人證明都存在根式解

????????對于五次及以上的代數方程是否存在根式解這個問題，歐拉、拉格朗日、高斯等數學家都沒得到答案，但是他們得出五次及以上的代數方程組不存在根式解的結論。19世紀初，阿貝爾提出五次及以上的代數方程不存在根式解，并找出一類特殊的五次及以上的代數方程可以用根式解表示出來。另外一個年輕的數學家伽羅華提出了Galois理論，并在19歲的時候利用抽象代數給出了充要條件，證明了五次及以上的代數方程不存在根式解，除此之外，伽羅華還正式提出了抽象代數理論，在他去世后幾十年，他的理論才被數學界所認可，并被不斷發展下去。

2. 運算及關系? ??

? ? ? ? 1）

????????代數體系表示的是集合以及定義在集合上的運算。

? ? ? ? 對于集合，我們一般不給出明確的定義，因為這樣可能會導致悖論，我們只需要明確一個元素是否屬于集合

? ? ? ? 定義1.1.1 設為的子集，定義到的映射, 使得, 則稱i為到的嵌入映射

? ? ? ? 定義1.1.2?設為的子集，為A到B的映射，為到的映射。若，則稱為的開拓，為在上的限制，記為

? ? ? ? 2）?交換圖

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? ? ? ? ? ? ? ? 在上述情況下，，則有交換圖：

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? ? ? ? ?3）

? ? ? ? 定義1.1.3：設為兩個非空集合，令，稱為與的直積。

? ? ? ? 類似可定義的直積

? ? ? ? 4）

? ? ? ? 運算的本質是兩個元素按照某種法則映射到一個元素

? ? ? ? 定義1.1.4：設,?,?為三個非空集合，若存在一個映射,則稱為與到D的一個代數運算

? ? ? ? 若A=B=D，則稱為上的二元運算

? ? ? ? 一般用或者而不是表示二元運算，因為前者的表示更加簡單，能夠表達一般的抽象運算

? ? ? ? 5）?運算規律

? ? ? ? 定義1.1.5：設A上定義了二元運算，若運算滿足, 則稱運算滿足交換律

? ? ? ? 定義1.1.6：設A上定義了二元運算，若運算滿足, 則稱運算滿足結合律

????????定義1.1.6：設A上定義了兩個二元運算，若運算滿足, 則稱集合滿足到的左分配律

? ? ? ? 同理可定義右分配律以及分配律

? ? ? ? 若A上的一個二元運算滿足結合律，則可定義

? ? ? ? 若A上的一個二元運算滿足交換律，則

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參考：南開大學-抽象代數

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记（抽象代数的历史、运算）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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