抽象代数学习笔记二《群：群的例子》
抽象代數學習筆記二《群：群的例子》
學習筆記參考：《近世代數初步》第2版 高等教育出版社——石生明編著
注：本篇筆記根據博主個人數學的掌握情況整理
課后習題
1、平面取定坐標系 OxyOxyOxy ，則平面仿射（點）變換 φ:(x,y)T?(x′,y′)T\varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^Tφ:(x,y)T?(x′,y′)T （這里 TTT 表示矩陣的轉置，(x,y)T(x,y)^T(x,y)T 是一列的矩陣，即列向量）可寫為：{x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2\left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right.{x′=a11?x+a12?y+b1?y′=a21?x+a22?y+b2?? 其中行列式：∣a11a12a21a22∣≠0\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \neq 0∣∣∣∣?a11?a21??a12?a22??∣∣∣∣??=0 證明平面上全體仿射變換對于變換的乘法成一個群，稱為平面的仿射變換群。
2、平面上取定直角坐標系 OxyOxyOxy ，任意平面正交（點）變換 φ:(x,y)T?(x′,y′)T\varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^Tφ:(x,y)T?(x′,y′)T 可寫為：{x′=a11x+a12y+b1y′=a21x+a22y+b2\left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right.{x′=a11?x+a12?y+b1?y′=a21?x+a22?y+b2?? 其中矩陣：(a11a12a21a22)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} (a11?a21??a12?a22??) 是正交矩陣。用這種表示式證明平面上全體正交變換對于變換的乘法成為一個群，它是平面的正交變換群。
3、設 GGG 是一個幺半群。若 GGG 的每個元 aaa 有右逆元，即有 b∈Gb\in Gb∈G ，使 ab=eab=eab=e ，則 GGG 是一個群。
4、設 GGG 是一個群。若 ?\forall? a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G 皆有 (ab)2=a2b2(ab)^2=a^2b^2(ab)2=a2b2 ，則 GGG 是交換群。
5、設 GGG 是非空的有限集合，GGG 上的乘法滿足：?\forall? a,b,c∈Ga,b,c \in Ga,b,c∈G 有：
（1）(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)
（2）ab=ac?b=cab=ac\Rightarrow b=cab=ac?b=c
（3）ac=bc?a=bac=bc\Rightarrow a=bac=bc?a=b
則 GGG 是群。
6、證明任一個群 GGG 不能是兩個不等于 GGG 的子群的并集。
7、令：ρ=(123456654321)\rho=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}ρ=(16?25?34?43?52?61?) σ=(123456231564)\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix}σ=(12?23?31?45?56?64?) τ=(123456621354)\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \\ \end{pmatrix}τ=(16?22?31?43?55?64?) 計算 ρσ\rho\sigmaρσ，στ\sigma\tauστ，τρ\tau\rhoτρ，σ?1\sigma^{-1}σ?1，σρσ?1\sigma\rho\sigma^{-1}σρσ?1。
8、設：σ=(12?nσ(1)σ(2)?σ(n))\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}σ=(1σ(1)?2σ(2)????nσ(n)?) τ=(12?nτ(1)τ(2)?τ(n))\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ \end{pmatrix}τ=(1τ(1)?2τ(2)????nτ(n)?) 問：σ=(τ(1)τ(2)?τ(n)????)\sigma=\begin{pmatrix} \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}σ=(τ(1)??τ(2)?????τ(n)??) τ?1=(????i1i2?in)\tau^{-1}=\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix}τ?1=(?i1???i2??????in??) τστ?1=(σ(1)σ(2)?σ(n)????)(12?nσ(1)σ(2)?σ(n))(????12?n)=?\tau\sigma\tau^{-1}=\begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ \end{pmatrix}=?τστ?1=(σ(1)??σ(2)?????σ(n)??)(1σ(1)?2σ(2)????nσ(n)?)(?1??2?????n?)=? 9、確定置換σ=(12?n?1nnn?1?21)\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}σ=(1n?2n?1????n?12?n1?) 的奇偶性。
10、把 (147)(7810)(3109)(942)(356)(1\ 4\ 7)(7\ 8\ 10)(3\ 10\ 9)(9\ 4\ 2)(3\ 5\ 6)(1?4?7)(7?8?10)(3?10?9)(9?4?2)(3?5?6) 分解成不相交的輪換的乘積。
參考答案如下：
總結
以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记二《群：群的例子》的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： Java毕设项目——网上宠物店管理系统(
- 下一篇： 3DS烧录卡?ACE3DS PRO?这是