群

1、運算及關系

運算的本質：兩個元素經過一定的法則得到一個元素。（加減乘除）

運算的規律：交換律、結合律、分配律

交換律	ab=ba
結合律	a(bc)=(ab)c
分配律	a°(b+c)=a°b+a°c

關系：非空集合A中對兩個元素而言的一種性質，使A中任何兩個元素，或有這種性質，或沒有這種性質，二者必居其一。
例：關系為“>”，A中任意兩個元素，或大于，或不大于。（總有屬于一種）

等價關系：非空集合A中定義了關系R，若滿足反射性、對稱性、傳遞性，則稱R為等價關系。

反射性	? a∈A, a R a
對稱性	a R b ? b R a
傳遞性	a R b, b R c ? a R c

分類（劃分）：設A為非空集合，A的一個劃分是指A中一些子集合的集合，滿足 ? a∈A，a包含且只包含在一個子集合中。（A中的一個劃分就是將A寫成一些不相交的非空子集合的并）

定理：A的一個分類決定A的一個等價關系。
定理：A中的一個等價關系決定A的一個分類。
等價關系?分類

等價關系：等價類、商集合、自然映射

同余關系：設A為非空集合，A中定義了二元運算“°”，又定義了等價關系R，如果R和“°”滿足條件：a1 R b1, a2 R b2 ? a1 ° a2 R b1 ° b2，則得R為“°”的同余關系。

2、半群與群

群=非空集合+二元運算+性質

幺元和逆元

名稱定義

左幺元	半群G，若元素e∈G，滿足?a∈G，e°a=a
右幺元	半群G，若元素e∈G，滿足?a∈G，a°e=a
幺元（單位元）	e∈G既是a的左幺元，又是a的右幺元，e°a=a°e=a
左逆元	幺半群G，e為幺元，元素a’滿足a’°a=e
右逆元	幺半群G，e為幺元，元素a’滿足a°a’=e
逆元	b∈G既是a的左逆元，又是a的右逆元，b°a=a°b=e

幺半群中的幺元唯一。
群的任一元的逆元唯一。

群的定義

條件：

序號名稱

1	G對°封閉
2	°滿足結合律：a°(b°c)=(a°b)°c
3	G存在幺元e：?a∈G，e°a=a°e=a
3’	G存在左幺元e：?a∈G，e°a=a
3’’	G存在右幺元e：?a∈G，a°e=a
4	?a∈G，存在逆元：?b，使b°a=a°b=e
4’	?a∈G，存在左逆元：?b，使b°a=e
4’’	?a∈G，存在右逆元：?b，使a°b=e

第一種定義：1234
第二種定義：123’4’
第三種定義：123’’4’’

群的基本性質：
（1）群滿足左右消去律：ab=ac ? b=c
（2）群G對?a,b∈G，方程ax=b、xa=b都有唯一解

第四種定義：半群G，若a,b∈G，方程ax=b、xa=b都有解，則G為群。
第五種定義：有限半群G，若滿足左右消去律，則G為群。

總結：

名稱定義

半群	G為非空集合，G上有二元運算°，滿足結合律
幺半群	G為半群，有幺元e
群	G為幺半群，所有元素都可逆
交換群（Abel群）	G為群，且滿足交換律

3、子群與商群

子群

G為群，(1) H?G,H≠?，(2) H在G的運算構成群，則稱H為G的子群，記為H<G。
其中，(2)H與G的運算一致 ? ①G的幺元e，也在H中；②?h∈H，h在G中的逆，也在H中（H滿足四個條件）

條件等價：

(1) H<G

(2) ?a,b∈H，ab∈H，a^(-1)∈H

(3) ?a,b∈H，ab^(-1)∈H

性質備注

H為群G的非空有限子集，則H<G ? H對運算封閉	用消去律可證
H1<G，H2<G，則H1∩H2<G	等價條件(3)?(1)可證

商群

a為代表元的H的一個左陪集、右陪集：

G為群，H<G，a∈G

左陪集	aH={ah / h∈H}
右陪集	Ha={ha / h∈H}
陪集	aH=Ha

分類：
H<G，則
(1) 由 a R b ? a^(-1)b∈H 所確定的關系R為等價關系，且
(2) a所在的等價類恰為以a為代表的H的左陪集aH，
故H的全體左陪集（重復的只取一個）的集合{aH}是G的一個分類。
推論：對a,b∈G，aH=bH ? a^-1b∈H

左商集（或左陪集空間）：
{aH}構成的分類，商集合 G/R=G/H為G對H的左商集（或左陪集空間）。
（右商集類似）

指數：
H<G，則 |G/H| 稱為H在G中的指數（左陪集元素的個數），記為[G:H]。

拉格朗日定理：
G為有限群，H<G，則 |G|=[G:H]*|H|
推論：G為有限群，H<G，K<G，且H?K(H<K)，則[G:H]=[G:K][K:H]。

正規子群：
G為群，H<G，若?g∈G，h∈H，ghg^-1∈H，稱H為G的正規子群，記為H?G。
例：（1）平凡子群必為正規子群（補充：平凡子群：G和{e}）
（2）若G為Abel群，則任何子群均為正規子群

等價條件：

(1)H?G

(2)?g∈G，gH=Hg

(3)?g1,g2∈G，g1Hg2H=g1g2H

（其中，g1Hg2H={g1h1g2h2| h1,h2∈H};
對任何非空子集A,B?G，AB={ab|a∈A,b∈B}）

商群：
設H<G，則等價關系R：a R b ? a^-1b∈H 是G的同余關系 ? H?G，
這時G/H對誘導的運算（g1Hg2H=g1g2H）構成一個群，稱為G對H的商群，記為G/H。
（商集和商群記號一樣，但是有正規子群的條件為商群，否則為商集）

總結：

名稱定義

子群	G為群，(1) H?G,H≠?，(2) H在G的運算構成群，則稱H為G的子群，記為H<G
正規子群	G為群，H<G，若?g∈G，h∈H，ghg-1∈H，稱H為G的正規子群，記為H?G
商群	H<G，則等價關系R：a R b ? a^(-1)b∈H 是G的同余關系 ? H?G；這時G/H對誘導的運算構成一個群，稱為G對H的商群，記為G/H

4、群的同態與同構

同構是分類的標準

同態：設{G1；?}，{G2；*}為群，f為G1到G2的映射，如果f(a?b)=f(a)*f(b)，?a,b∈G1，稱f為G1到G2的同態映射，簡稱同態。
若同態f為單射，稱f為單同態；
若同態f為滿射，稱f為滿同態；
若同態f為雙射，則稱f為同構，這時稱G1與G2同構，記為G1?G2。
同構：同態+單射+滿射

補充：
單射：每個x都有唯一的y與之對應。
滿射：每個y都必有至少一個x與之對應。
雙射：每個x都有唯一的y與之對應，每個y都有唯一的x與之對應（單射且滿射）

自然同態：H?G，π：G?G/H為自然映射，π為群的同態，稱為自然同態。

同態的性質：
（1）設f：G1?G2，g：G2?G3為群同態，則gf：G1?G3為同態。
若f，g均為單同態（或滿同態），則gf為單同態（或滿同態）。
若f，g為同構，則gf為同構。
若f為同構，f^-1：G2?G1為同構。
（2）設f：G1?G2為群同態，則f(e1)?e2（ei為Gi的幺元），f(a^-1)=f(a)^-1
（3）設f：G1?G2為群同態，則f(G1)<G2

核：設f：G1?G2為同態，定義ker f={a∈G|f(a)=e2}稱為f的核。

核的性質：
（1）ker f ? G1
（2）同態f：G1?G2為單同態 ? ker f={e1}

群的同態基本定理：設f：G1?G2為滿同態，則G1/ker f?G2
推論：設f：G1?G2為群同態，則G1/ker f?f(G1)

5、循環群

設G為群，若?a∈G，使G={aⁿ | n∈Z}，則稱G為循環群，記為G=< a >，稱a為生成元。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【密码学】抽象代数——群（学习笔记）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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