抽象代数 04.06可解群和幂零群
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§4.6?可解群和冪零群{\color{blue}{\text{\S 4.6 可解群和冪零群}}}§4.6?可解群和冪零群
考慮擴張N→G→G/N,什么時候G/N是循環群，更一般的是交換群。考慮擴張N \to G \to G/N,什么時候G/N是循環群，更一般的是交換群。考慮擴張N→G→G/N,什么時候G/N是循環群，更一般的是交換群。
定義4.6.1.設g,h∈G,稱[g,h]=g?1h?1gh為g,h的換位子。{\color{blue}定義4.6.1.}設g,h \in G, 稱[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh為g,h的{\color{blue}換位子}。定義4.6.1.設g,h∈G,稱[g,h]=g?1h?1gh為g,h的換位子。
若H,K都是G的子群，我們稱若H,K都是G的子群，我們稱若H,K都是G的子群，我們稱
[H,K]=?{[h,k]∣h∈H,k∈K}?\qquad [H, K] = \lang \lbrace [h,k] | h \in H, k \in K \rbrace \rang[H,K]=?{[h,k]∣h∈H,k∈K}?
為H,K的換位子群.為H,K的{\color{blue}換位子群}.為H,K的換位子群.
注記4.6.2.1)換位子群的定義中的“生成”是否可以去掉？或者[g1,h1][g2,h2]是{\color{blue}注記4.6.2.}1)換位子群的定義中的“生成”是否可以去掉？或者[g_1,h_1][g_2,h_2]是注記4.6.2.1)換位子群的定義中的“生成”是否可以去掉？或者[g1?,h1?][g2?,h2?]是
否為換位子？否為換位子？否為換位子？
2)[g,h]?1=[g,h].2)[g,h]^{-1} = [g,h].2)[g,h]?1=[g,h].
3)[g,h]=1?gh=hg.因此換位子可以用來衡量群G的交換性。3)[g,h] = 1 \Rightarrow gh = hg.因此換位子可以用來衡量群G的交換性。3)[g,h]=1?gh=hg.因此換位子可以用來衡量群G的交換性。
4)若α∈Aut  G,則α[g,h]=[α(g),α(h)].4)若\alpha \in \mathrm{Aut\;}G,則\alpha[g,h] = [\alpha(g),\alpha(h)].4)若α∈AutG,則α[g,h]=[α(g),α(h)].
5)N?G,G/N是Abel群當且僅當N?G(1).5)N \lhd G, G/N是Abel群當且僅當N \sub G^{(1)}.5)N?G,G/N是Abel群當且僅當N?G(1).
猜想4.6.3.(Ore).每個非交換有限單群中的元素都是換位子。{\color{blue}猜想4.6.3.}(Ore).每個非交換有限單群中的元素都是換位子。猜想4.6.3.(Ore).每個非交換有限單群中的元素都是換位子。
Ore(1952)證明了An情形。Ore(1952)證明了A_n情形。Ore(1952)證明了An?情形。
例4.6.4.?I2∈SL(2,R)不是換位子。{\color{blue}例4.6.4.}-I_2 \in SL(2, \R)不是換位子。例4.6.4.?I2?∈SL(2,R)不是換位子。
引理4.6.5.設H,K是G的子群。則{\color{blue}引理4.6.5.}設H,K是G的子群。則引理4.6.5.設H,K是G的子群。則
1)[H,K]={1}當且僅當H?CG(K)當且僅當K?CG(H).1)[H,K] = \lbrace 1 \rbrace當且僅當H \sub C_G(K)當且僅當K \sub C_G(H).1)[H,K]={1}當且僅當H?CG?(K)當且僅當K?CG?(H).
2)[H,K]?K當且僅當H?NG(K).2)[H,K] \sub K當且僅當H \sub N_G(K).2)[H,K]?K當且僅當H?NG?(K).
3)H?G,K?G,則[H,K]?G且[H,K]?H∩K.特別地[H,H]?G,[G,G]?G.3)H \lhd G, K \lhd G, 則[H,K] \lhd G 且[H,K] \sub H \cap K.特別地[H,H] \lhd G, [G,G] \lhd G.3)H?G,K?G,則[H,K]?G且[H,K]?H∩K.特別地[H,H]?G,[G,G]?G.
4)H1<H,K1<K,則[H1,K1]?[H,K].4)H_1 < H, K_1 < K,則[H_1,K_1] \sub [H, K].4)H1?<H,K1?<K,則[H1?,K1?]?[H,K].
例4.6.6.G=Sn,G(1).{\color{blue}例4.6.6.}G = S_n, G^{(1)}.例4.6.6.G=Sn?,G(1).
定義4.6.7.導出列:G(0)=G,G(k+1)=[G(k),G(k)],k≥0.{\color{blue}定義4.6.7.}導出列:G^{(0)} = G, G^{(k+1)} = [G^{(k)},G^{(k)}], k \geq 0.定義4.6.7.導出列:G(0)=G,G(k+1)=[G(k),G(k)],k≥0.
降中心列:G1=G,Gk+1=[G,Gk],k≥1,(為什么叫降中心列?)降中心列:G^{1} = G, G^{k+1} = [G, G^{k}], k \geq 1, (為什么叫降中心列?)降中心列:G1=G,Gk+1=[G,Gk],k≥1,(為什么叫降中心列?)
升中心列:C0(G)={1},Ck+1(G)=πk?1(C(G/Ck(G))),k≥0.這里πk:G→G/Ck(G).升中心列:C_0(G) = \lbrace 1 \rbrace, C_{k+1}(G) = \pi_{k}^{-1}(C(G/C_k(G))), k \geq 0.這里\pi_k : G \to G/C_k(G).升中心列:C0?(G)={1},Ck+1?(G)=πk?1?(C(G/Ck?(G))),k≥0.這里πk?:G→G/Ck?(G).
例4.6.8.G=S3,A3{\color{blue}例4.6.8.}G = S_3,A_3例4.6.8.G=S3?,A3?
G=S4?A4?K4??(12)(34)??{1}.G = S_4 \supset A_4 \supset K_4 \supset \lang(12)(34) \rang \supset \lbrace 1 \rbrace.G=S4??A4??K4???(12)(34)??{1}.
G=Sn,n≥5,G = S_n, n \geq 5,G=Sn?,n≥5,
p?群p-群p?群
定義4.6.9.群G中的子群序列{\color{blue}定義4.6.9.}群G中的子群序列定義4.6.9.群G中的子群序列
G=G1?G2???Gt?Gt+1={1}\qquad G = G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_t \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbraceG=G1??G2????Gt??Gt+1?={1}
若滿足Gi+1?Gi(i=1,…,t),則稱之為次正規序列,t稱為此序列的長度,Gi/Gi+1為此序列的因子。若滿足G_{i+1} \lhd G_i(i=1,\dots,t),則稱之為{\color{blue}次正規序列},t稱為此序列的{\color{blue}長度},G_i/G_{i+1}為此序列的{\color{blue}因子}。若滿足Gi+1??Gi?(i=1,…,t),則稱之為次正規序列,t稱為此序列的長度,Gi?/Gi+1?為此序列的因子。
若在上述序列中Gi?G,則稱此序列為正規序列。若在上述序列中G_i \lhd G,則稱此序列為{\color{blue}正規序列}。若在上述序列中Gi??G,則稱此序列為正規序列。
定義4.6.10.可解群:存在k,使得G(k)={1}.{\color{blue}定義4.6.10.}{\color{blue}可解群}:存在k,使得G^{(k)} = \lbrace 1 \rbrace.定義4.6.10.可解群:存在k,使得G(k)={1}.
冪零群:存在k,使得Gk={1}.{\color{blue}冪零群}:存在k,使得G^{k} = \lbrace 1 \rbrace.冪零群:存在k,使得Gk={1}.
???:群在k,使得Ck(G)=G.(p?群).???:群在k,使得C_k(G) = G.(p-群).???:群在k,使得Ck?(G)=G.(p?群).
注記4.6.11.{\color{blue}注記4.6.11.}注記4.6.11.
1)Abel群冪零。
2)冪零群可解，冪零群的中心不是平凡的。
3)可解群和Abel群的來歷。
4)Burnside猜想:1902,奇數階群都是可解的。
Feit-Thompson定理。Feit-Thompson猜想。
5)M.Aschbacher and S. Smith,The classification of quasithin groups I,II pp1221.
引理4.6.12.可解群的子群、商群都是可解群。{\color{blue}引理4.6.12.}可解群的子群、商群都是可解群。引理4.6.12.可解群的子群、商群都是可解群。
反之，N?G,N和G/N可解，則G可解。反之，N \lhd G, N和G/N可解，則G可解。反之，N?G,N和G/N可解，則G可解。
定理4.6.13.設群G是B過A的擴張，則G可解當且僅當A,B都可解。{\color{blue}定理4.6.13.}設群G是B過A的擴張，則G可解當且僅當A,B都可解。定理4.6.13.設群G是B過A的擴張，則G可解當且僅當A,B都可解。
例4.6.14.∣G∣<60,則G可解。{\color{blue}例4.6.14.}|G| < 60,則G可解。例4.6.14.∣G∣<60,則G可解。
定理4.6.15.設G是群，則下列條件等價:{\color{blue}定理4.6.15.}設G是群，則下列條件等價:定理4.6.15.設G是群，則下列條件等價:
1)G是可解群；1)G是可解群；1)G是可解群；
2)存在G的正規序列G=G1?G2???Gt+1={1}使得Gi/Gi+1為Abel群;2)存在G的正規序列G = G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i / G_{i+1}為Abel群;2)存在G的正規序列G=G1??G2????Gt+1?={1}使得Gi?/Gi+1?為Abel群;
3)存在G的次正規序列G=G1′?G2′???Gs+1′={1}使得Gi/Gi+1為Abel群;3)存在G的次正規序列G=G_1^{\prime} \supset G_2^{\prime} \supset \cdots \supset G_{s+1}^{\prime} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i/G_{i+1}為Abel群;3)存在G的次正規序列G=G1′??G2′????Gs+1′?={1}使得Gi?/Gi+1?為Abel群;
4)存在G的次正規序列G=G1′′?G2′′???Gr+1′′={1}使得Gi/Gi+1為素數階群。4)存在G的次正規序列G=G_1^{\prime \prime} \supset G_2^{\prime \prime} \supset \cdots \supset G_{r+1}^{\prime \prime} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i/G_{i+1}為素數階群。4)存在G的次正規序列G=G1′′??G2′′????Gr+1′′?={1}使得Gi?/Gi+1?為素數階群。
證：3)?\Rightarrow? 4)考慮長度最長的滿足3)的次正規序列。或者從G的極大真正規子群開始。
引理4.6.16.冪零群的子群、商群都是冪零群。{\color{blue}引理4.6.16.}冪零群的子群、商群都是冪零群。引理4.6.16.冪零群的子群、商群都是冪零群。
反之，N?G,N和G/N冪零，則G冪零(?)。反之，N \lhd G,N和G/N冪零，則G冪零(?)。反之，N?G,N和G/N冪零，則G冪零(?)。
冪零群過冪零群的中心擴張(擴張核在群的中心里)和平凡擴張是冪零群。冪零群過冪零群的中心擴張(擴張核在群的中心里)和平凡擴張是冪零群。冪零群過冪零群的中心擴張(擴張核在群的中心里)和平凡擴張是冪零群。
注記4.6.17.次正規序列對冪零群不適用。{\color{blue}注記4.6.17.}次正規序列對冪零群不適用。注記4.6.17.次正規序列對冪零群不適用。
定理4.6.18.是G是群，則下列條件等價:{\color{blue}定理4.6.18.}是G是群，則下列條件等價:定理4.6.18.是G是群，則下列條件等價:
1)G是冪零群;1)G是冪零群;1)G是冪零群;
2)存在G的正規序列G=G1?G2???Gt+1={1}使得[G,Gi]?Gi+1;2)存在G的正規序列G=G_1\supset G_2 \supset \cdots \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbrace使得[G,G_{i}] \subset G_{i+1};2)存在G的正規序列G=G1??G2????Gt+1?={1}使得[G,Gi?]?Gi+1?;
3)存在G的正規序列G=G1?G2???Gt+1={1}使得Gi/Gi+1?C(G/Gi+1);3)存在G的正規序列G = G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_{t+1} = \lbrace 1 \rbrace 使得G_i/G_{i+1} \subset C(G/G_{i+1});3)存在G的正規序列G=G1??G2????Gt+1?={1}使得Gi?/Gi+1??C(G/Gi+1?);
4)存在k,使得Ck(G)=G.4)存在k,使得C_k(G)=G.4)存在k,使得Ck?(G)=G.
證:3)?4)證:3) \Rightarrow 4)證:3)?4)
4)?1)G/Ck?1是Abel群4) \Rightarrow 1) G/C_{k-1}是Abel群4)?1)G/Ck?1?是Abel群
例4.6.19.p?群是冪零群。{\color{blue}例4.6.19.}p-群是冪零群。例4.6.19.p?群是冪零群。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数 04.06可解群和幂零群的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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