一.代數(shù)結(jié)構(gòu)及其相關(guān)的一些概念.

代數(shù)結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)是一個(gè)多元組，多元組中的元素是集合、二元運(yùn)算、二元關(guān)系，且必須包括至少一個(gè)集合和一個(gè)二元運(yùn)算或二元關(guān)系.

代數(shù)結(jié)構(gòu)公理：一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)需要滿足的特定條件稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)的公理.

下面將給出一些比較常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)公理.

封閉性：稱集合$S$關(guān)于二元運(yùn)算$?$滿足封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)：
$$x,y\in S?x?y\in S$$

交換律：稱集合$S$關(guān)于二元運(yùn)算$?$滿足交換律，當(dāng)且僅當(dāng)：
$$x,y\in S?x?y=y?x$$

結(jié)合律：稱集合$S$關(guān)于二元運(yùn)算$?$滿足結(jié)合律，當(dāng)且僅當(dāng)：
$$x,y,z\in S?x?y?z=x?(y?z)$$

分配律：稱集合$S$關(guān)于二元運(yùn)算$+,\times$滿足$\times$對(duì)$+$的分配律，當(dāng)且僅當(dāng)：
$$\begin{gathered} x,y,z\in S \\ ?z\times (x+y)=z\times x+z\times y \\ (x+y)\times z=x\times z+y\times z \end{gathered}$$

單位元：稱$e$為二元運(yùn)算$?$的單位元，當(dāng)且僅當(dāng)：
$$?x,x?e=e?x=x$$

可逆性：稱元素$x$在二元運(yùn)算$?$下可逆，當(dāng)且僅當(dāng)：
$$\begin{gathered} ?y_1,x?y_1=e \\ ?y_2,y_2?x=e \end{gathered}$$

常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)有群（原群、半群、幺半群、群、阿貝爾群）、環(huán)（環(huán)、交換環(huán)、域）、偏序集（偏序集、全序集、格）、線性空間（線性空間、模）.

二.群相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu).

原群：定義一個(gè)原群是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元運(yùn)算$?$組成的二元組$G=(S,?)$，滿足：
1.封閉性.集合$S$關(guān)于$?$封閉.

半群：定義一個(gè)半群是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元運(yùn)算$?$組成的二元組$G=(S,?)$，滿足：
1.封閉性.集合$S$關(guān)于$?$滿足封閉性.
2.結(jié)合律.集合$S$關(guān)于$?$滿足結(jié)合律.

幺半群：定義一個(gè)幺半群是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元運(yùn)算$?$組成的二元組$G=(S,?)$，滿足：
1.封閉性.集合$S$關(guān)于$?$滿足封閉性.
2.結(jié)合律.集合$S$關(guān)于$?$滿足結(jié)合律.
3.單位元.$?$的至少一個(gè)單位元存在$S$中.

群：定義一個(gè)群是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元運(yùn)算$?$組成的二元組$G=(S,?)$，滿足：
1.封閉性.集合$S$關(guān)于$?$滿足封閉性.
2.結(jié)合律.集合$S$關(guān)于$?$滿足結(jié)合律.
3.單位元.$?$的至少一個(gè)單位元存在$S$中.
4.可逆性.集合$S$內(nèi)任意元素都可逆且逆元在$S$內(nèi).

阿貝爾群：定義一個(gè)阿貝爾群是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元運(yùn)算$?$組成的二元組$G=(S,?)$，滿足：
1.封閉性.集合$S$關(guān)于$?$滿足封閉性.
2.結(jié)合律.集合$S$關(guān)于$?$滿足結(jié)合律.
3.單位元.$?$的至少一個(gè)單位元存在$S$中.
4.可逆性.集合$S$內(nèi)任意元素都可逆且逆元在$S$內(nèi).
5.交換律.集合$S$關(guān)于$?$滿足交換律.

其實(shí)這五個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)都只是在上一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)公理而已.

你也可以認(rèn)為它們之間是這樣一個(gè)關(guān)系：

關(guān)于群更加詳細(xì)的介紹參見群論與置換群入門.


三.環(huán)相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu).

環(huán)：定義一個(gè)環(huán)是由一個(gè)集合$S$與兩個(gè)二元運(yùn)算$+,\times$組成的三元組$R=(S,+,\times )$，滿足：
1.$G=(S,+)$是一個(gè)阿貝爾群，記其單位元為$e_0$.
2.$G=(S,\times )$是一個(gè)幺半群，記其單位元為$e_1$.
3.分配律.集合$S$關(guān)于$+,\times$滿足$\times$對(duì)$+$的分配律.

交換環(huán)：定義一個(gè)交換環(huán)是由一個(gè)集合$S$與兩個(gè)二元運(yùn)算$+,\times$組成的三元組$R=(S,+,\times )$，滿足：
1.$R$是一個(gè)環(huán).
2.乘法交換律：集合$S$關(guān)于$\times$滿足交換律.

域：定義一個(gè)域是由一個(gè)集合$S$與兩個(gè)二元運(yùn)算$+,\times$組成的三元組$R=(S,+,\times )$，滿足：
1.$G=(S,+)$是一個(gè)阿貝爾群，記其單位元為$e_0$.
2.$G=({?}_S{e}_0,\times )$是一個(gè)阿貝爾群，即除去$e_0$后其余元素與乘法構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群，記其單位元為$e_1$.
3.分配律.集合$S$關(guān)于$+,\times$滿足$\times$對(duì)$+$的分配律.


四.偏序集相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu).

偏序集：定義一個(gè)偏序集是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元關(guān)系$\le$組成的二元組$O=(S,\le )$，滿足：
1.自反性.對(duì)于任意元素$x\in S$，有$x\le x$.
2.傳遞性.對(duì)于任意元素$x,y,z\in S$，若$x\le y$且$y\le z$，則$x\le z$.
3.反對(duì)稱性.對(duì)于任意元素$x,y\in S$，若$x\le y$且$y\le x$，則$x=y$.

全序集：定義一個(gè)偏序集是由一個(gè)集合$S$與一個(gè)二元關(guān)系$\le$組成的二元組$O=(S,\le )$，滿足：
1.$O$是一個(gè)偏序集.
2.對(duì)于任意元素$a,b\in S$，$a\le b$與$b\le a$里至少有一個(gè)滿足.

還有一個(gè)叫格的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是一種特殊的偏序集，可以自行尋找資料學(xué)習(xí).

有關(guān)偏序集的理論參考偏序關(guān)系與偏序集相關(guān).


五.線性空間相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu).

線性空間（向量空間）：定義一個(gè)線性空間是由兩個(gè)集合$F,V$與一個(gè)兩個(gè)二元運(yùn)算$+,\times$組成的二元組$O=(S,\le )$，滿足：
1.$(F,+,\times )$是一個(gè)域.
2.向量加法封閉性.對(duì)于任意$x,y\in V$，有$x+y\in V$.
3.標(biāo)量乘法封閉性.對(duì)于任意$a\in F,x\in V$，有$ax\in V$.
4.向量加法結(jié)合律.對(duì)于任意$x,y,z\in V$，有$x+y+z=x+(y+z)$.
5.向量加法交換律.對(duì)于任意$x,y\in V$，有$x+y=y+x$.
6.向量加法單位元.存在$e_V\in V$滿足對(duì)于任意$x\in V$，均有$x+e_V=x$.
7.向量加法可逆性.對(duì)于任意元素$x\in V$，均存在$y\in V$滿足$x+y=e_V$.
8.標(biāo)量乘法關(guān)于向量加法滿足分配律.對(duì)于任意$a\in F,x,y\in V$，滿足$a(x+y)=ax+ay$.
9.標(biāo)量乘法關(guān)于域加法滿足分配律.對(duì)于任意$a,b,c\in F$，滿足$a(b+c)=ab+ac$.
10.標(biāo)量乘法與標(biāo)量域乘法一致.對(duì)于任意$a,b\in F,x\in V$，滿足$abx=a(bx)$.
11.標(biāo)量乘法單位元.存在$e_F\in F$滿足對(duì)于任意$x\in V$，均有$e_{F}x=x$.

可能這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)中的某些專業(yè)名詞有些難懂，這里解釋一下.

標(biāo)量域：線性空間中的域$(F,+,\times )$稱為標(biāo)量域.

標(biāo)量：集合$F$中的元素稱為標(biāo)量.

向量集：線性空間中的集合$V$稱為向量集.

向量：集合$V$中的元素稱為向量.

向量加法：即向量集$V$中兩個(gè)元素$x,y$之間的加法，記為$x+y$.

標(biāo)量乘法：又稱數(shù)乘，即標(biāo)量域$(F,+,\times )$中的某個(gè)元素$a$與向量集中某個(gè)元素$x$的乘法，記為$ax$.

標(biāo)量域加法：即標(biāo)量域$(F,+,\times )$中兩個(gè)元素$a,b$之間的加法，記為$a+b$.

標(biāo)量域乘法：即標(biāo)量域$(F,+,\times )$中兩個(gè)元素$a,b$之間的乘法，記為$ab$.

線性空間還可以拓展出一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，稱為模，本質(zhì)是把標(biāo)量域變成了標(biāo)量環(huán).

有關(guān)線性空間的理論參考線性空間與高斯消元.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数相关概念的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。