文章目錄

• 十六、平穩序列的決定性
• • 1.非決定性平穩序列
  • 2.平穩序列的長期預測
  • 3.決定性平穩序列舉例
  • 回顧總結

十六、平穩序列的決定性

1.非決定性平穩序列

上一篇文章中，討論了隨機變量的最佳線性預測，而時間序列是隨機變量構成的序列，我們要考慮的是對時間序列進行預測，而預測用到的歷史信息，就來源于時間序列的歷史觀測。

由于最佳線性預測源自歷史與未來的相關性，所以如果想對時間序列進行預測，未來必須與過去存在一定程度的關聯，否則預測就沒有意義。但是，未來與過去存在的關聯程度可能是不一樣的，看以下幾個例子：

$\{X_t\}:X_t=X_{t?1}+t$；

$\{Y_t\}:Y_t={\epsilon }_t$；

$\{Z_t\}:Z_t=0.5Z_{t?1}+{\epsilon }_t$。

這三個例子代表的過去與未來的關聯程度是各不相同的，對于$\{X_t\}$，只要知道$X_{t?1}$的值就可以直接推出$X_t$，也就是說$X_t=L(X_t|X_{t?1})$，這種情況下不存在預測誤差；對于$\{Y_t\}$，不論知道多少歷史信息$Y_{t?1},Y_{t?2},?$，對$Y_t$的預測都沒有任何幫助，$L(Y_t|Y_{t?1},?)=0$；而第三種情況稍微復雜一些，任意歷史信息對未來都會造成一定程度的影響（0.5是影響消退因子），但即便知道所有歷史信息，也不可能對未來作出精準預測，因為存在偏差項${\epsilon }_t$。

鑒于這種區別，我們將平穩序列分為兩種，一種是由歷史信息可以對未來作出精準預測的，稱為決定性平穩序列；另一種是由歷史信息不可能完全預測未來的，稱之為非決定性平穩序列。

這種定義未免有點粗糙，以下假設平穩序列是零均值的。我們現在假設我們能夠獲得所有$t$時刻前的歷史信息$X_t,X_{t?1},?$，記
$${\mathbf{X}}_{t,m}=(X_t,X_{t?1},?,X_{t?m+1}{)}_m,$$
這樣當$m\to \infty$時就代表所有歷史信息。精準預測意味著預測不存在誤差，也就是方差為0，如果$X_t$是決定性平穩序列，那么就有
$$\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+1}?L(X_{t+1}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2=0.$$
事實上，即使不是決定性平穩序列，這個極限也是存在的，因為隨著$m$的增大，這個均方誤差會回來越小（因為$m$越大蘊含的信息越多，由最佳線性預測的性質可以得到），也就是單調遞減有下界0。正因此，我們將這個極限定義為一步預測的均方誤差，這里的下標就是預測步數：
$${\sigma }_1^2=\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+1}?L(X_{t+1}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2.$$

一步預測的均方誤差：定義
$${\sigma }_{1,m}^2=\mathrm{E}[X_{t+1}?L(X_{t+1}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2,$$
這表示用$m$個歷史信息對下一個時間點進行預測的均方誤差。定義
$${\sigma }_1^2=\underset{m\to \infty }{\lim }{\sigma }_{1,m}^2,$$
這表示用全部歷史信息對下一個時間點進行預測的均方誤差，即一步預測的均方誤差。

平穩序列的決定性：

如果${\sigma }_1^2=0$，就稱$\{X_t\}$是決定性平穩序列；

如果${\sigma }_1^2>0$，就稱$\{X_t\}$是非決定性平穩序列，${\sigma }_1^2$是一步預測的均方誤差。

這就是決定性平穩序列的嚴格定義。注意到以上的符號表示${\sigma }_1^2,{\sigma }_{1,m}^2$都不含$t$，盡管在定義時使用了$t$，這也說明${\sigma }_1^2,{\sigma }_{1,m}^2$的取值是與$t$無關的，這一點源自序列的平穩性。

2.平穩序列的長期預測

剛才我們定義了一步預測的均方誤差${\sigma }_1^2$，現在轉向$k$步預測，也就是$L(X_{t+k}|{\mathbf{X}}_{t,m})$，相應地也可以定義$k$步預測的均方誤差${\sigma }_k^2$。

$k$步預測的均方誤差：定義
$${\sigma }_k^2=\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k}?L(X_{t+k}|{\mathbf{X}}_{t,m})]$$
為$k$步預測的均方誤差。

這樣，可以構建一個新序列$\{{\sigma }_1^2,{\sigma }_1^2,?,{\sigma }_k^2,?\}$，可以驗證${\sigma }_k^2$是關于$k$單調不減少的。直觀上想象，隨著預測距離的增大，我們能對遙遠未來的把控就越小，所以預測的誤差肯定會越來越大，實際上也有
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_k^2=& \underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k}?L(X_{t+k}|X_t,?,X_{t?m}){]}^2\\ =& \underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k?1}?L(X_{t+k?1}|X_{t?1},?,X_{t?1?m}){]}^2\\ \ge & \underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k?1}?L(X_{t+k?1}|X_t,?,X_{t?1?m}){]}^2\\ =& {\sigma }_{k?1}^2.\end{array}$$
但是${\sigma }_k^2$也不可能無限增大，因為${\sigma }_{k,m}^2=\mathrm{E}[X_{t+k}?L(X_{t+k}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2\le \mathrm{E}{X}_{t+k}^2={\gamma }_0$，因此$\{{\sigma }_k^2\}$單調不減有上界，故極限存在，且極限的上界為${\gamma }_0$。

當然，$k\to \infty$時如果${\sigma }_k^2={\gamma }_0$，這個預測跟不存在也沒有區別了，所以定義純非決定性平穩序列。

純非決定性平穩序列：如果對于平穩序列，有
$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\sigma }_k^2={\gamma }_0,$$
就稱$\{X_t\}$是純非決定性的。

剛才我們推知，如果${\sigma }_k^2\to {\gamma }_0$，這個預測與不存在無異，其實也可以證明：
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[L(X_{t+k}|X_t,X_{t?1},?,X_{t?m}){]}^2=0,$$
也就是$L(X_{t+k}|X_t,?,X_{t?m})$隨著$k$的增大均方收斂到0，這說明對于非決定性平穩序列，無法做長期預測。

3.決定性平穩序列舉例

最簡單的決定性平穩序列，是$\{X_t\}:X_t=\xi$，這樣，從變量的一個觀測值就可以得到全部時間序列。這里，$\{X_t\}$的二階協方差矩陣為
$${\Gamma }_2=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }^2& {\sigma }^2\\ {\sigma }^2& {\sigma }^2\end{array}\right],|{\Gamma }_2|=0.$$
也就是說，$\{X_t\}$的二階協方差矩陣不滿秩，正因此，只需要一個歷史信息就可以對未來作出精準預測。能否對這個結論進行推廣呢？事實上，如果平穩序列$\{X_t\}$的$n+1$階自協方差矩陣退化，那么這個平穩序列一定是決定性的，且可以由其前$n$個歷史信息完全預測。

這是因為，$n+1$階自協方差矩陣退化，意味著$X_1,?,X_{n+1}$必定線性相關；如果再加上${\Gamma }_n$滿秩的條件，就一定有$X_{n+1}$可以被$X_1,?,X_n$線性表示，這樣就有
$$\begin{gathered} L(X_{n+1}|X_1,?,X_n)=X_{n+1}, \\ \mathrm{E}[X_{n+1}?L(X_{n+1}|X_1,?,X_n){]}^2=0. \end{gathered}$$
由此推出離散譜序列也是決定性平穩序列。設$\mathrm{E}({\xi }_j)=\mathrm{E}({\eta }_k)=0,\mathrm{E}({\xi }_j{\eta }_k)=0$，且$\mathrm{E}({\xi }_j^2)=\mathrm{E}({\eta }_k^2)={\sigma }_j^2$，對每一個確定的$j$定義簡單譜序列
$$Z_j(t)={\xi }_j\cos (t{\lambda }_j)+{\eta }_j\sin (t{\lambda }_j),t\in \mathbb{Z}.$$
顯然$Z_j(t)$的每一次實現是一個周期函數，其周期$T=2\pi /{\lambda }_j$和振幅可以由歷史信息決定，實際上它的3階自協方差矩陣退化，所以$Z_j(t)$是決定性的。定義離散譜序列
$$Z_t=\sum _{j=1}^p{Z}_j(t),t\in {\mathbb{N}}^{+},$$
這時$Z_t$的自協方差矩陣也是$2p+1$階內退化的（所以是決定性的），用到如下引理：

(1)簡單離散譜序列：設$\mathrm{E}(\xi )=\mathrm{E}(\eta )=\mathrm{E}(\xi \eta )=0,\mathrm{E}({\xi }^2)=\mathrm{E}({\eta }^2)={\sigma }^2,{\lambda }_0\in (0,\pi ]$，$\{Z_t\}$的定義為
$$Z_t=\xi \cos (t{\lambda }_0)+\eta \sin (t{\lambda }_0),t\in \mathbb{N},$$
定義$A=\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2},\cos \theta =\xi /A,\sin \theta =\eta /A$，則
$$Z_t=A\cos (t{\lambda }_0?\theta ),t\in {\mathbb{N}}^{+}.$$
這樣$\mathrm{E}{Z}_t=0$，${\gamma }_k={\sigma }^2\cos (k{\lambda }_0)$，故$Z_t$是一個平穩序列，稱為調和平穩序列。并且，這個平穩序列的譜函數是階梯函數，稱之為離散譜序列。

(2)多個頻率成分的離散譜序列：設${\xi }_j,{\eta }_k(j,k=1,2,?,p)$兩兩正交，滿足上面的條件，對于正整數$p$和${\lambda }_j\in (0,\pi ]$，定義時間序列
$$Z_t=\sum _{i=1}^p[{\xi }_j\cos (t{\lambda }_j)+{\eta }_j\sin (t{\lambda }_j)]=\sum _{j=1}^p{A}_j\cos (t{\lambda }_j?{\theta }_j),t\in {\mathbb{N}}^{+},$$
這里$A_j=\sqrt{{\xi }_j^2+{\eta }_j^2},\cos ({\theta }_j)={\xi }_j/A_j,\sin ({\theta }_j)={\eta }_j/A_j$，它的譜函數也是階梯函數。

(3)${\Gamma }_n$退化定理：設離散譜序列$\{X_t\}$如(2)中定義，如果它的譜函數$F(\lambda )$恰有$n$個跳躍點，則${\Gamma }_n$正定，${\Gamma }_{n+1}$退化；如果$F(\lambda )$有無窮多個跳躍點，則$?n\ge 1$，${\Gamma }_n$正定。

由此，如果${\Gamma }_n$退化，就認為$\{X_n\}$是離散譜序列，具有周期性。

回顧總結

非決定性平穩序列指的是將來信息不能由全部歷史信息所確定的平穩序列，更具體的定義是
$${\sigma }_1^2=\underset{m\to \infty }{\lim }{\sigma }_{1,m}^2=\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{n+1}?L(X_{n+1}|{\mathbf{X}}_{n,m}){]}^2=0.$$
否則，稱為決定性平穩序列。

$\{{\sigma }_k^2\}$是單調不減有上界的數列，其上界是${\gamma }_0$，如果${\sigma }_k^2\to {\gamma }_0(k\to \infty )$，則稱平穩序列是純非決定性平穩序列。對于這種平穩序列，進行長期預測是不合適的。

如果平穩序列的$n+1$階自協方差矩陣${\Gamma }_{n+1}$退化，則矩陣必是$n$步決定的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【时间序列分析】16.平稳序列的决定性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。