文章目錄

• 三、.正態(tài)時間序列與嚴平穩(wěn)序列
• • 1.多元統(tǒng)計基礎(chǔ)
  • 2.多維正態(tài)分布與正態(tài)時間序列
  • 3.嚴平穩(wěn)序列
  • 回顧總結(jié)

三、.正態(tài)時間序列與嚴平穩(wěn)序列

1.多元統(tǒng)計基礎(chǔ)

首先對多元統(tǒng)計中的基本概念作簡要介紹。如果有一個$n$維隨機向量$X=(X_1,?,X_n{)}^{\prime }$，這里每一個$X_i$是隨機變量，那么其均值向量為$\mu =\mathrm{E}X=(\mathrm{E}{X}_1,?,\mathrm{E}{X}_n{)}^{\prime }$，自協(xié)方差矩陣為
$$\mathrm{D}X={\Sigma }_X=({\sigma }_{ij}{)}_{n\times n},{\sigma }_{ij}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j).$$
可以證明$\mathrm{D}X=\mathrm{E}[(X?\mu )(X?\mu {)}^{\prime }]$（對矩陣求期望相當于對矩陣的每一項求期望）。

對于$m$維列向量$a$和$m\times n$常數(shù)矩陣$B$，定義線性變換為$Y=a+BX$，則有
$$\mathrm{E}Y=a+B(\mathrm{E}X),\mathrm{D}Y=B(\mathrm{D}X)B^{\prime }.$$
隨機向量也有特征函數(shù)，且定義方式與隨機變量類似，即對于$n$維實數(shù)向量$t=(t_1,?,t_n{)}^{\prime }$和$n$維隨機向量$X$，有
$${\phi }_X(t)=\mathrm{E}{e}^{\mathrm{i}{t}^{\prime }X}=\mathrm{E}\exp \left\{\mathrm{i}\left(\sum _{j=1}^n{t}_j{X}_j\right)\right\}.$$

2.多維正態(tài)分布與正態(tài)時間序列

時間序列中，正態(tài)分布依然是很重要的部分，這里簡要提一下多元正態(tài)分布。

多維正態(tài)分布：如果存在$m$維常數(shù)列向量$\mu$，$m\times n$常數(shù)陣$B$和相互獨立的標準正態(tài)隨機變量構(gòu)成的向量$X=(X_1,?,X_n{)}^{\prime }～N_n(0,I)$，使得$Y=\mu +BX$，則稱隨機向量$Y$服從$m$維正態(tài)分布。

我們將多維正態(tài)分布，定義為標準正態(tài)向量的線性變換，這與一維情形下，正態(tài)隨機變量可以看成$X～N(0,1)$的線性變換是一致的。顯然，這里$\mathrm{E}Y=\mu ,\Sigma =\mathrm{D}Y=B{B}^{\prime }$。

從特征函數(shù)的角度來說，對于標準正態(tài)向量有
$${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\exp (\mathrm{i}{t}^{\prime }X)=\prod _{j=1}^n\exp (?t_j^2/2)=\exp (?\frac{t^{\prime }t}{2}),$$
所以
$${\phi }_Y(t)=\mathrm{E}\exp (\mathrm{i}{t}^{\prime }Y)=\mathrm{E}\exp [\mathrm{i}(t^{\prime }\mu +t^{\prime }BX)]=\exp [\mathrm{i}{t}^{\prime }\mu ?\frac{1}{2}{t}^{\prime }\Sigma t].$$
在實際應(yīng)用時，我們?nèi)绾闻袛嘁粋€隨機向量是正態(tài)隨機向量呢？要知道，隨機向量的正態(tài)性驗證要比隨機變量的正態(tài)性驗證困難得多，所以我們會想到從隨機變量的正態(tài)性入手驗證隨機向量的正態(tài)性，即有以下定理：

定理：$\xi =({\xi }_1,?,{\xi }_n{)}^{\prime }～N_n(\mu ,\Sigma )$等價于對任何常數(shù)向量$a=(a_1,?,a_n{)}^{\prime }$，有
$$Y=a^{\prime }\xi ～N(a^{\prime }\mu ,a^{\prime }\Sigma a).$$

證明可以從特征函數(shù)入手，如果$\xi ～N_n(\mu ,\Sigma )$，則
$${\phi }_Y(t)=\exp [\mathrm{i}t(a^{\prime }\mu )?\frac{1}{2}{t}^2(a^{\prime }\Sigma a)]$$
說明$Y～N(a^{\prime }\mu ,a^{\prime }\Sigma a)$。反過來，如果對任何$a$都有$Y～N(a^{\prime }\mu ,a^{\prime }\Sigma a)$，那么$Y$的特征函數(shù)如上式子，只要取$t=1$，就得到
$${\phi }_{\xi }(a)=\mathrm{E}{e}^{i{a}^{\prime }\xi }={\phi }_Y(1)=\exp [\mathrm{i}{a}^{\prime }\mu ?\frac{1}{2}{a}^{\prime }\Sigma a].$$
所以${\phi }_{\xi }(t)=\exp [\mathrm{i}{t}^{\prime }\mu ?\frac{1}{2}{t}^{\prime }\Sigma t]$。這樣，我們就能夠驗證一個向量是正態(tài)隨機向量。在正態(tài)隨機向量的基礎(chǔ)上，可以定義正態(tài)時間序列了。

正態(tài)時間序列：對于時間序列$\{X_t\}$，如果對于任何$n\ge 1$和$t_1,?,t_n\in \mathbb{N}$，都有$(X(t_1),?,X(t_n))$是正態(tài)隨機向量，就稱$\{X_t\}$是正態(tài)時間序列。

正態(tài)平穩(wěn)序列：如果正態(tài)時間序列$\{X_t\}$還是平穩(wěn)的，則$\{X_t\}$是正態(tài)平穩(wěn)序列。

$\{X_t:t\in {\mathbb{N}}_{+}\}$是正態(tài)時間序列的充分必要條件，是對任何正整數(shù)$m$，$(X_1,?,X_m)$服從$m$維正態(tài)分部；$\{X_t:t\in \mathbb{Z}\}$是正態(tài)時間序列的充分必要條件，是對任何正整數(shù)$m$，$(X_{?m},?,X_m)$服從$2m+1$維正態(tài)分布。

正態(tài)隨機向量相比其他隨機向量的優(yōu)越性，在于它的運算封閉性，即正態(tài)隨機向量經(jīng)過線性變換，得到的仍然是正態(tài)隨機向量。

3.嚴平穩(wěn)序列

嚴平穩(wěn)序列看似平穩(wěn)，但其實與平穩(wěn)序列之間存在著一些細微差別，并且二者不存在包含關(guān)系。下面給出嚴平穩(wěn)序列的定義。

嚴平穩(wěn)序列：如果$\{X_t:t\in \mathbb{N}\}$是時間序列，對任何正整數(shù)$n$和$k\in \mathbb{N}$，有$(X_1,?,X_n{)}^{\prime }$與$(X_{1+k},?,X_{n+k}{)}^{\prime }$同分布，就稱$\{X_t\}$是嚴平穩(wěn)序列。

這個定義表明，對嚴平穩(wěn)序列而言，取出一組變量，將其任意平移都不會改變聯(lián)合分布，即嚴平穩(wěn)序列具有平移不變性。特別當取$n=1$時，能夠證明嚴平穩(wěn)序列中每一個隨機變量都是同分布的。但我們不能得出各個隨機變量中的相關(guān)性，因為嚴平穩(wěn)序列中對相關(guān)性的唯一要求，就是平移不影響向量的內(nèi)部結(jié)構(gòu)（即自相關(guān)性）。

對比嚴平穩(wěn)序列與寬平穩(wěn)序列的要求，可以發(fā)現(xiàn)，嚴平穩(wěn)序列的平移不變性，能夠直接推出均值的一致性與自協(xié)方差函數(shù)與時間差的一一對應(yīng)關(guān)系，所以只要嚴平穩(wěn)序列是二階矩存在的，就一定是寬平穩(wěn)序列。注意嚴平穩(wěn)序列并不要求隨機變量是存在二階矩的。

而寬平穩(wěn)序列只對均值、自協(xié)方差函數(shù)做出了要求，而沒有對每個隨機變量的分布作具體要求。但如果通過均值、方差能夠直接推得分布，就由均值方差的一致性，自然得到每個時間點隨機變量是同分布的。特別地，如果寬平穩(wěn)序列是正態(tài)序列，就一定是嚴平穩(wěn)序列。

嚴平穩(wěn)序列有一個重要的要求是其遍歷性，這指的是從它的一次實現(xiàn)（樣本軌道）就可以推得其有限維分布，由于現(xiàn)實生活中時間是單向進行的，遍歷性無疑具有重要價值。需要注意，并不是所有的嚴平穩(wěn)序列都具有遍歷性，但我們上一篇中討論的線性平穩(wěn)序列，在一定條件下具有遍歷性，定理如下。

定理1：如果$\{{\epsilon }_t\}$是獨立同分布的$\mathrm{W}\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$，且$\{a_j\}$平方可和，則無窮滑動和$X_t=\sum _{j=?\infty }^{\infty }{a}_j{\epsilon }_{t?j},t\in \mathbb{Z}$是嚴平穩(wěn)遍歷的。

定理2：如果$\{X_t\}$嚴平穩(wěn)遍歷，則強大數(shù)律$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{t=1}^n{X}_t=\mathrm{E}{X}_1$幾乎必然成立，且對任何多元函數(shù)$\phi (x_1,?,x_m)$，$Y_t=\phi (X_{t+1},?,X_{t+m})$是嚴平穩(wěn)遍歷的。

正因為線性平穩(wěn)序列具有嚴平穩(wěn)序列具有的遍歷性，由其一次觀測結(jié)果就可以推得有限維分布，所以線性平穩(wěn)序列具有重要的地位，且對線性平穩(wěn)序列估計參數(shù)時，往往會用到遍歷性。

回顧總結(jié)

多元統(tǒng)計的相關(guān)結(jié)論：如果$Y=A+BX$，則$\mathrm{E}Y=A+(B\mathrm{E})X,\mathrm{D}Y=B(\mathrm{D}X)B^{\prime }$。

我們將正態(tài)隨機向量定義為標準正態(tài)向量的線性變換$Y=\mu +BX$，在這種定義下，$Y$的均值為$\mu$，方差為$B{B}^{\prime }$。

對隨機向量正態(tài)性的驗證具有以下的等價條件：只要隨機向量的任意線性組合仍然是正態(tài)隨機變量，則隨機向量是正態(tài)向量，反之也成立。

正態(tài)時間序列定義為，任意有限維時間點組成的向量都是正態(tài)隨機向量，這樣的時間序列稱為正態(tài)時間序列。特別當時間序列還是平穩(wěn)的時，稱為正態(tài)平穩(wěn)序列。

嚴平穩(wěn)序列指的是具有平移不變性的時間序列，即任意有限維向量經(jīng)過平移后與原向量具有相同的聯(lián)合分布。其遍歷性，指的是從一次實現(xiàn)可推出任意有限維分布的性質(zhì)。

嚴平穩(wěn)的二階矩序列是寬平穩(wěn)的，寬平穩(wěn)的正態(tài)序列是嚴平穩(wěn)的。

特別地，當$\{{\epsilon }_t\}$是獨立同分布白噪聲序列時，線性平穩(wěn)序列是具有遍歷性的嚴平穩(wěn)序列。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【时间序列分析】03.正态时间序列与严平稳序列的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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