以前做過(guò)這種題，可是又給忘了。腦子還是活動(dòng)不開(kāi)……
在網(wǎng)上搜了搜，發(fā)現(xiàn)這種問(wèn)題有很多種解法，并且衍生出來(lái)很多新的問(wèn)題。貼出來(lái)給大家看看。
轉(zhuǎn)自http://summerbell.javaeye.com/blog/510394
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所謂“第（前）k大數(shù)問(wèn)題”指的是在長(zhǎng)度為n(n>=k)的亂序數(shù)組中S找出從大到小順序的第（前）k個(gè)數(shù)的問(wèn)題。

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解法1：我們可以對(duì)這個(gè)亂序數(shù)組按照從大到小先行排序，然后取出前k大，總的時(shí)間復(fù)雜度為O(n*logn+k)。

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解法2：利用選擇排序或交互排序，K次選擇后即可得到第k大的數(shù)。總的時(shí)間復(fù)雜度為O(n*k)

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解法3：利用快速排序的思想，從數(shù)組S中隨機(jī)找出一個(gè)元素X，把數(shù)組分為兩部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。這時(shí)有兩種情況：

1.Sa中元素的個(gè)數(shù)小于k，則Sb中的第k-|Sa|個(gè)元素即為第k大數(shù)；

2.Sa中元素的個(gè)數(shù)大于等于k，則返回Sa中的第k大數(shù)。時(shí)間復(fù)雜度近似為O(n)

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回憶一下快速排序，快排中的每一步，都是將待排數(shù)據(jù)分做兩組，其中一組的數(shù)據(jù)的任何一個(gè)數(shù)都比另一組中的任何一個(gè)大，然后再對(duì)兩組分別做類(lèi)似的操作，然后繼續(xù)下去……

在本問(wèn)題中，假設(shè)N個(gè)數(shù)存儲(chǔ)在數(shù)組S中，我們從數(shù)組S中隨機(jī)找出一個(gè)元素X，把數(shù)組分為兩部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。

這時(shí)，有兩種可能性：

1.???Sa中元素的個(gè)數(shù)小于K，Sa中所有的數(shù)和Sb中最大的K-|Sa|個(gè)元素（|Sa|指Sa中元素的個(gè)數(shù)）就是數(shù)組S中最大的K個(gè)數(shù)。

2.???Sa中元素的個(gè)數(shù)大于或等于K，則需要返回Sa中最大的K個(gè)元素。

這樣遞歸下去，不斷把問(wèn)題分解成更小的問(wèn)題，平均時(shí)間復(fù)雜度O（N * log2K）。

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解法4：二分[Smin,Smax]查找結(jié)果X，統(tǒng)計(jì)X在數(shù)組中出現(xiàn)，且整個(gè)數(shù)組中比X大的數(shù)目為k-1的數(shù)即為第k大數(shù)。時(shí)間復(fù)雜度平均情況為O(n*logn)

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解法5：用O(4*n)的方法對(duì)原數(shù)組建最大堆，然后pop出k次即可。時(shí)間復(fù)雜度為O(4*n+k*logn)

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解法6：維護(hù)一個(gè)k大小的最小堆，對(duì)于數(shù)組中的每一個(gè)元素判斷與堆頂?shù)拇笮?#xff0c;若堆頂較大，則不管，否則，彈出堆頂，將當(dāng)前值插入到堆中。時(shí)間復(fù)雜度O(n*logk)

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解法7：利用hash保存數(shù)組中元素Si出現(xiàn)的次數(shù)，利用計(jì)數(shù)排序的思想，線性從大到小掃描過(guò)程中，前面有k-1個(gè)數(shù)則為第k大數(shù)，平均情況下時(shí)間復(fù)雜度O(n)

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上面類(lèi)快速排序的方法平均時(shí)間復(fù)雜度是線性的。能否有確定的線性算法呢？是否可以通過(guò)改進(jìn)計(jì)數(shù)排序、基數(shù)排序等來(lái)得到一個(gè)更高效的算法呢？答案是肯定的。但算法的適用范圍會(huì)受到一定的限制。

如果所有N個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，且它們的取值范圍不太大，可以考慮申請(qǐng)空間，記錄每個(gè)整數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，然后再?gòu)拇蟮叫∪∽畲蟮腒個(gè)。比如，所有整數(shù)都在（0, MAXN）區(qū)間中的話，利用一個(gè)數(shù)組count[MAXN]來(lái)記錄每個(gè)整數(shù)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)（count[i]表示整數(shù)i在所有整數(shù)中出現(xiàn)的個(gè)數(shù)）。我們只需要掃描一遍就可以得到count數(shù)組。然后，尋找第K大的元素。

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附注：

1.STL中可以用nth_element求得類(lèi)似的第n大的數(shù)（由謂詞決定），使用的是解法3中的思想，還可以用partial_sort對(duì)區(qū)間進(jìn)行部分排序，得到類(lèi)似前k大的數(shù)（由謂詞決定），它采用的是解法5的思想。

2.求中位數(shù)實(shí)際上是第k大數(shù)的特例。

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《編程之美》2.5節(jié)課后習(xí)題：

1.如果需要找出N個(gè)數(shù)中最大的K個(gè)不同的浮點(diǎn)數(shù)呢？比如，含有10個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)組（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，-1.5，3.5）中最大的3個(gè)不同的浮點(diǎn)數(shù)是（5，3.5，2.5）。

解答：上面的解法均適用，需要注意的是浮點(diǎn)數(shù)比較時(shí)和整數(shù)不同，另外求hashkey的方法也會(huì)略有不同。

2.如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的數(shù)呢？

解答：如果把問(wèn)題看做m-k+1個(gè)第k大問(wèn)題，則前面解法均適用。但是對(duì)于類(lèi)似前k大這樣的問(wèn)題，最好使用解法5或者解法7，總體復(fù)雜度較低。

3.在搜索引擎中，網(wǎng)絡(luò)上的每個(gè)網(wǎng)頁(yè)都有“權(quán)威性”權(quán)重，如pagerank。如果我們需要尋找權(quán)重最大的K個(gè)網(wǎng)頁(yè)，而網(wǎng)頁(yè)的權(quán)重會(huì)不斷地更新，那么算法要如何變動(dòng)以達(dá)到快速更新（incremental update）并及時(shí)返回權(quán)重最大的K個(gè)網(wǎng)頁(yè)？

提示：堆排序？當(dāng)每一個(gè)網(wǎng)頁(yè)權(quán)重更新的時(shí)候，更新堆。還有更好的方法嗎？

解答：要達(dá)到快速的更新，我們可以解法5，使用映射二分堆，可以使更新的操作達(dá)到O(logn)

4.在實(shí)際應(yīng)用中，還有一個(gè)“精確度”的問(wèn)題。我們可能并不需要返回嚴(yán)格意義上的最大的K個(gè)元素，在邊界位置允許出現(xiàn)一些誤差。當(dāng)用戶(hù)輸入一個(gè)query的時(shí)候，對(duì)于每一個(gè)文檔d來(lái)說(shuō)，它跟這個(gè)query之間都有一個(gè)相關(guān)性衡量權(quán)重f(query,d)。搜索引擎需要返回給用戶(hù)的就是相關(guān)性權(quán)重最大的K個(gè)網(wǎng)頁(yè)。如果每頁(yè)10個(gè)網(wǎng)頁(yè)，用戶(hù)不會(huì)關(guān)心第1000頁(yè)開(kāi)外搜索結(jié)果的“精確度”，稍有誤差是可以接受的。比如我們可以返回相關(guān)性第10001大的網(wǎng)頁(yè)，而不是第9999大的。在這種情況下，算法該如何改進(jìn)才能更快更有效率呢？網(wǎng)頁(yè)的數(shù)目可能大到一臺(tái)機(jī)器無(wú)法容納得下，這時(shí)怎么辦呢？

提示：歸并排序？如果每臺(tái)機(jī)器都返回最相關(guān)的K個(gè)文檔，那么所有機(jī)器上最相關(guān)K個(gè)文檔的并集肯定包含全集中最相關(guān)的K個(gè)文檔。由于邊界情況并不需要非常精確，如果每臺(tái)機(jī)器返回最好的K’個(gè)文檔，那么K’應(yīng)該如何取值，以達(dá)到我們返回最相關(guān)的90%*K個(gè)文檔是完全精確的，或者最終返回的最相關(guān)的K個(gè)文檔精確度超過(guò)90%（最相關(guān)的K個(gè)文檔中90%以上在全集中相關(guān)性的確排在前K），或者最終返回的最相關(guān)的K個(gè)文檔最差的相關(guān)性排序沒(méi)有超出110%*K。

解答：正如提示中所說(shuō)，可以讓每臺(tái)機(jī)器返回最相關(guān)的K’個(gè)文檔，然后利用歸并排序的思想，得到所有文檔中最相關(guān)的K個(gè)。最好的情況是這K個(gè)文檔在所有機(jī)器中平均分布，這時(shí)每臺(tái)機(jī)器只要K’=K/n（n為所有機(jī)器總數(shù)）；最壞情況，所有最相關(guān)的K個(gè)文檔只出現(xiàn)在其中的某一臺(tái)機(jī)器上，這時(shí)K’需近似等于K了。我覺(jué)得比較好的做法可以在每臺(tái)機(jī)器上維護(hù)一個(gè)堆，然后對(duì)堆頂元素實(shí)行歸并排序。

5.如第4點(diǎn)所說(shuō)，對(duì)于每個(gè)文檔d，相對(duì)于不同的關(guān)鍵字q1,q2,…,qm，分別有相關(guān)性權(quán)重f（d,q1），f（d,q2）,…,f（d,qm）。如果用戶(hù)輸入關(guān)鍵字qi之后，我們已經(jīng)獲得了最相關(guān)的K個(gè)文檔，而已知關(guān)鍵字qj跟關(guān)鍵字qi相似，文檔跟這兩個(gè)關(guān)鍵字的權(quán)重大小比較靠近，那么關(guān)鍵字qi的最相關(guān)的K個(gè)文檔，對(duì)尋找qj最相關(guān)的K個(gè)文檔有沒(méi)有幫助呢？

解答：肯定是有幫助的。在搜索關(guān)鍵字qj最相關(guān)的K個(gè)文檔時(shí)，可以在qj的“近義詞”相關(guān)文檔中搜索部分，然后在全局的所有文檔中在搜索部分。

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類(lèi)別：算法學(xué)習(xí)?查看評(píng)論

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[转]第（前）k大数问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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