以前做過這種題，可是又給忘了。腦子還是活動不開……
在網上搜了搜，發現這種問題有很多種解法，并且衍生出來很多新的問題。貼出來給大家看看。
轉自http://summerbell.javaeye.com/blog/510394
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所謂“第（前）k大數問題”指的是在長度為n(n>=k)的亂序數組中S找出從大到小順序的第（前）k個數的問題。

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解法1：我們可以對這個亂序數組按照從大到小先行排序，然后取出前k大，總的時間復雜度為O(n*logn+k)。

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解法2：利用選擇排序或交互排序，K次選擇后即可得到第k大的數。總的時間復雜度為O(n*k)

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解法3：利用快速排序的思想，從數組S中隨機找出一個元素X，把數組分為兩部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。這時有兩種情況：

1.Sa中元素的個數小于k，則Sb中的第k-|Sa|個元素即為第k大數；

2.Sa中元素的個數大于等于k，則返回Sa中的第k大數。時間復雜度近似為O(n)

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回憶一下快速排序，快排中的每一步，都是將待排數據分做兩組，其中一組的數據的任何一個數都比另一組中的任何一個大，然后再對兩組分別做類似的操作，然后繼續下去……

在本問題中，假設N個數存儲在數組S中，我們從數組S中隨機找出一個元素X，把數組分為兩部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。

這時，有兩種可能性：

1.???Sa中元素的個數小于K，Sa中所有的數和Sb中最大的K-|Sa|個元素（|Sa|指Sa中元素的個數）就是數組S中最大的K個數。

2.???Sa中元素的個數大于或等于K，則需要返回Sa中最大的K個元素。

這樣遞歸下去，不斷把問題分解成更小的問題，平均時間復雜度O（N * log2K）。

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解法4：二分[Smin,Smax]查找結果X，統計X在數組中出現，且整個數組中比X大的數目為k-1的數即為第k大數。時間復雜度平均情況為O(n*logn)

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解法5：用O(4*n)的方法對原數組建最大堆，然后pop出k次即可。時間復雜度為O(4*n+k*logn)

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解法6：維護一個k大小的最小堆，對于數組中的每一個元素判斷與堆頂的大小，若堆頂較大，則不管，否則，彈出堆頂，將當前值插入到堆中。時間復雜度O(n*logk)

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解法7：利用hash保存數組中元素Si出現的次數，利用計數排序的思想，線性從大到小掃描過程中，前面有k-1個數則為第k大數，平均情況下時間復雜度O(n)

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上面類快速排序的方法平均時間復雜度是線性的。能否有確定的線性算法呢？是否可以通過改進計數排序、基數排序等來得到一個更高效的算法呢？答案是肯定的。但算法的適用范圍會受到一定的限制。

如果所有N個數都是正整數，且它們的取值范圍不太大，可以考慮申請空間，記錄每個整數出現的次數，然后再從大到小取最大的K個。比如，所有整數都在（0, MAXN）區間中的話，利用一個數組count[MAXN]來記錄每個整數出現的個數（count[i]表示整數i在所有整數中出現的個數）。我們只需要掃描一遍就可以得到count數組。然后，尋找第K大的元素。

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附注：

1.STL中可以用nth_element求得類似的第n大的數（由謂詞決定），使用的是解法3中的思想，還可以用partial_sort對區間進行部分排序，得到類似前k大的數（由謂詞決定），它采用的是解法5的思想。

2.求中位數實際上是第k大數的特例。

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《編程之美》2.5節課后習題：

1.如果需要找出N個數中最大的K個不同的浮點數呢？比如，含有10個浮點數的數組（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，-1.5，3.5）中最大的3個不同的浮點數是（5，3.5，2.5）。

解答：上面的解法均適用，需要注意的是浮點數比較時和整數不同，另外求hashkey的方法也會略有不同。

2.如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的數呢？

解答：如果把問題看做m-k+1個第k大問題，則前面解法均適用。但是對于類似前k大這樣的問題，最好使用解法5或者解法7，總體復雜度較低。

3.在搜索引擎中，網絡上的每個網頁都有“權威性”權重，如pagerank。如果我們需要尋找權重最大的K個網頁，而網頁的權重會不斷地更新，那么算法要如何變動以達到快速更新（incremental update）并及時返回權重最大的K個網頁？

提示：堆排序？當每一個網頁權重更新的時候，更新堆。還有更好的方法嗎？

解答：要達到快速的更新，我們可以解法5，使用映射二分堆，可以使更新的操作達到O(logn)

4.在實際應用中，還有一個“精確度”的問題。我們可能并不需要返回嚴格意義上的最大的K個元素，在邊界位置允許出現一些誤差。當用戶輸入一個query的時候，對于每一個文檔d來說，它跟這個query之間都有一個相關性衡量權重f(query,d)。搜索引擎需要返回給用戶的就是相關性權重最大的K個網頁。如果每頁10個網頁，用戶不會關心第1000頁開外搜索結果的“精確度”，稍有誤差是可以接受的。比如我們可以返回相關性第10001大的網頁，而不是第9999大的。在這種情況下，算法該如何改進才能更快更有效率呢？網頁的數目可能大到一臺機器無法容納得下，這時怎么辦呢？

提示：歸并排序？如果每臺機器都返回最相關的K個文檔，那么所有機器上最相關K個文檔的并集肯定包含全集中最相關的K個文檔。由于邊界情況并不需要非常精確，如果每臺機器返回最好的K’個文檔，那么K’應該如何取值，以達到我們返回最相關的90%*K個文檔是完全精確的，或者最終返回的最相關的K個文檔精確度超過90%（最相關的K個文檔中90%以上在全集中相關性的確排在前K），或者最終返回的最相關的K個文檔最差的相關性排序沒有超出110%*K。

解答：正如提示中所說，可以讓每臺機器返回最相關的K’個文檔，然后利用歸并排序的思想，得到所有文檔中最相關的K個。最好的情況是這K個文檔在所有機器中平均分布，這時每臺機器只要K’=K/n（n為所有機器總數）；最壞情況，所有最相關的K個文檔只出現在其中的某一臺機器上，這時K’需近似等于K了。我覺得比較好的做法可以在每臺機器上維護一個堆，然后對堆頂元素實行歸并排序。

5.如第4點所說，對于每個文檔d，相對于不同的關鍵字q1,q2,…,qm，分別有相關性權重f（d,q1），f（d,q2）,…,f（d,qm）。如果用戶輸入關鍵字qi之后，我們已經獲得了最相關的K個文檔，而已知關鍵字qj跟關鍵字qi相似，文檔跟這兩個關鍵字的權重大小比較靠近，那么關鍵字qi的最相關的K個文檔，對尋找qj最相關的K個文檔有沒有幫助呢？

解答：肯定是有幫助的。在搜索關鍵字qj最相關的K個文檔時，可以在qj的“近義詞”相關文檔中搜索部分，然后在全局的所有文檔中在搜索部分。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的[转]第（前）k大数问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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