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python牛顿法寻找极值_python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例...

發布時間：2024/8/23 python 43 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 python牛顿法寻找极值_python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例... 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

Rosenbrock函數的定義如下：

其函數圖像如下：

我分別使用梯度下降法和牛頓法做了尋找Rosenbrock函數的實驗。

梯度下降

梯度下降的更新公式：

圖中藍色的點為起點，橙色的曲線(實際上是折線)是尋找最小值點的軌跡，終點(最小值點)為 (1,1)(1,1)。

梯度下降用了約5000次才找到最小值點。

我選擇的迭代步長 α=0.002α=0.002，αα 沒有辦法取的太大，當為0.003時就會發生振蕩：

牛頓法

牛頓法的更新公式：

Hessian矩陣中的每一個二階偏導我是用手算算出來的。

牛頓法只迭代了約5次就找到了函數的最小值點。

下面貼出兩個實驗的代碼。

梯度下降：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib import ticker

def f(x, y):

return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x * x) ** 2

def H(x, y):

return np.matrix([[1200 * x * x - 400 * y + 2, -400 * x],

[-400 * x, 200]])

def grad(x, y):

return np.matrix([[2 * x - 2 + 400 * x * (x * x - y)],

[200 * (y - x * x)]])

def delta_grad(x, y):

g = grad(x, y)

alpha = 0.002

delta = alpha * g

return delta

# ----- 繪制等高線 -----

# 數據數目

n = 256

# 定義x, y

x = np.linspace(-1, 1.1, n)

y = np.linspace(-0.1, 1.1, n)

# 生成網格數據

X, Y = np.meshgrid(x, y)

plt.figure()

# 填充等高線的顏色, 8是等高線分為幾部分

plt.contourf(X, Y, f(X, Y), 5, alpha=0, cmap=plt.cm.hot)

# 繪制等高線

C = plt.contour(X, Y, f(X, Y), 8, locator=ticker.LogLocator(), colors='black', linewidth=0.01)

# 繪制等高線數據

plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)

# ---------------------

x = np.matrix([[-0.2],

[0.4]])

tol = 0.00001

xv = [x[0, 0]]

yv = [x[1, 0]]

plt.plot(x[0, 0], x[1, 0], marker='o')

for t in range(6000):

delta = delta_grad(x[0, 0], x[1, 0])

if abs(delta[0, 0]) < tol and abs(delta[1, 0]) < tol:

break

x = x - delta

xv.append(x[0, 0])

yv.append(x[1, 0])

plt.plot(xv, yv, label='track')

# plt.plot(xv, yv, label='track', marker='o')

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.title('Gradient for Rosenbrock Function')

plt.legend()

plt.show()

牛頓法：