線性代數：矩陣基本運算

在本文中，我們將介紹矩陣的大部分基本運算，依次是矩陣的加減法、矩陣的標量乘法、矩陣與矩陣的乘法、求轉置矩陣，以及深入了解矩陣的行列式運算。本文將不會涉及逆矩陣、矩陣的秩等概念，將來再探討它們。

矩陣的加減法

矩陣的加法與減法運算將接收兩個矩陣作為輸入，并輸出一個新的矩陣。矩陣的加法和減法都是在分量級別上進行的，因此要進行加減的矩陣必須有著相同的維數。

為了避免重復編寫加減法的代碼，我們先創建一個可以接收運算函數的方法，這個方法將對兩個矩陣的分量分別執行傳入的某種運算。然后在加法、減法或者其它運算中直接調用它就行了：class Matrix{

// ...

componentWiseOperation(func, { rows }) {

const newRows = rows.map((row, i) =>

row.map((element, j) => func(this.rows[i][j], element))

)

return new Matrix(...newRows)

}

add(other) {

return this.componentWiseOperation((a, b) => a + b, other)

}

subtract(other) {

return this.componentWiseOperation((a, b) => a - b, other)

}

}

const one = new Matrix(

[1, 2],

[3, 4]

)

const other = new Matrix(

[5, 6],

[7, 8]

)

console.log(one.add(other))

// Matrix { rows: [ [ 6, 8 ], [ 10, 12 ] ] }

console.log(other.subtract(one))

// Matrix { rows: [ [ 4, 4 ], [ 4, 4 ] ] }

矩陣的標量乘法

矩陣的標量乘法與向量的縮放類似，就是將矩陣中的每個元素都乘上標量：class Matrix{

// ...

scaleBy(number) {

const newRows = this.rows.map(row =>

row.map(element => element * number)

)

return new Matrix(...newRows)

}

}

const matrix = new Matrix(

[2, 3],

[4, 5]

)

console.log(matrix.scaleBy(2))

// Matrix { rows: [ [ 4, 6 ], [ 8, 10 ] ] }

矩陣乘法

當 A、B 兩個矩陣的維數是兼容的時候，就能對這兩個矩陣進行矩陣乘法。所謂維數兼容，指的是 A 的列數與 B 的行數相同。矩陣的乘積 AB 是通過對 A 的每一行與矩陣 B 的每一列計算點積得到：

class Matrix{

// ...

multiply(other) {

if (this.rows[0].length !== other.rows.length) {

throw new Error('The number of columns of this matrix is not equal to the number of rows of the given matrix.')

}

const columns = other.columns()

const newRows = this.rows.map(row =>

columns.map(column => sum(row.map((element, i) => element * column[i])))

)

return new Matrix(...newRows)

}

}

const one = new Matrix(

[3, -4],

[0, -3],

[6, -2],

[-1, 1]

)

const other = new Matrix(

[3, 2, -4],

[4, -3, 5]

)

console.log(one.multiply(other))

// Matrix {

// rows:

// [ [ -7, 18, -32 ],

// [ -12, 9, -15 ],

// [ 10, 18, -34 ],

// [ 1, -5, 9 ] ]}

我們可以把矩陣乘法 AB 視為先后應用 A 和 B 兩個線性變換矩陣。為了更好地理解這種概念，可以看一看我們的 linear-algebra-demo。

下圖中黃色的部分就是對紅色方塊應用線性變換 C 的結果。而線性變換 C 就是矩陣乘法 AB 的結果，其中 A 是做相對于 y 軸進行反射的變換矩陣，B 是做剪切變換的矩陣。

如果在矩陣乘法中調換 A 和 B 的順序，我們會得到一個不同的結果，因為相當于先應用了 B 的剪切變換，再應用 A 的反射變換：

轉置

轉置矩陣

由公式

定義。換句話說，我們通過關于矩陣的對角線對其進行翻轉來得到轉置矩陣。需要注意的是，矩陣對角線上的元素不受轉置運算影響。class Matrix{

// ...

transpose() {

return new Matrix(...this.columns())

}

}

const matrix = new Matrix(

[0, 1, 2],

[3, 4, 5],

[6, 7, 8],

[9, 10, 11]

)

console.log(matrix.transpose())

// Matrix {

// rows: [

// [ 0, 3, 6, 9 ],

// [ 1, 4, 7, 10 ],

// [ 2, 5, 8, 11 ]

// ]

// }

行列式運算

矩陣的行列式運算將計算矩陣中的所有系數，最后輸出一個數字。準確地說，行列式可以描述一個由矩陣行構成的向量的相對幾何指標(比如在歐式空間中的有向面積、體積等空間概念)。更準確地說，矩陣 A 的行列式相當于告訴你由 A 的行定義的方塊的體積。

矩陣的行列式運算如下所示：

矩陣的行列式運算如下所示：

我們的方法可以計算任意大小矩陣(只要其行列的數量相同)的行列式：class Matrix{

// ...

determinant() {

if (this.rows.length !== this.rows[0].length) {

throw new Error('Only matrices with the same number of rows and columns are supported.')

}

if (this.rows.length === 2) {

return this.rows[0][0] * this.rows[1][1] - this.rows[0][1] * this.rows[1][0]

}

const parts = this.rows[0].map((coef, index) => {

const matrixRows = this.rows.slice(1).map(row => [ ...row.slice(0, index), ...row.slice(index + 1)])

const matrix = new Matrix(...matrixRows)

const result = coef * matrix.determinant()

return index % 2 === 0 ? result : -result

})

return sum(parts)

}

}

const matrix2 = new Matrix(

[ 0, 3],

[-2, 1]

)

console.log(matrix2.determinant())

// 6

const matrix3 = new Matrix(

[2, -3, 1],

[2, 0, -1],

[1, 4, 5]

)

console.log(matrix3.determinant())

// 49

const matrix4 = new Matrix(

[3, 0, 2, -1],

[1, 2, 0, -2],

[4, 0, 6, -3],

[5, 0, 2, 0]

)

console.log(matrix4.determinant())

// 20

行列式可以告訴我們變換時對象被拉伸的程度。因此我們可以將其視為線性變換改變面積的因子。為了更好地理解這個概念，請參考 linear-algebra-demo：

在下圖中，我們可以看到對紅色的 1×1 方形進行線性變換后得到了一個 3×2 的長方形，面積從 1 變為了 6，這個數字與線性變換矩陣的行列式值相同。

如果我們應用一個剪切變換，可以看到方形會變成一個面積不變的平行四邊形。因此，剪切變換矩陣的行列式值等于 1：

如果行列式的值是負數，則說明應用線性變換后，空間被反轉了。比如在下圖中，我們可以看到變換前

在

的左邊，而變換后

在

的右邊。

如果變換的行列式為 0，則表示它會將所有空間都壓縮到一條線或一個點上。也就是說，計算一個給定矩陣的行列式是否為 0，可以判斷這個矩陣對應的線性變換是否會將對象壓縮到更小的維度去。

在三維空間里，行列式可以告訴你體積縮放了多少：

變換行列式等于 0，意味著原來的空間會被完全壓縮成體積為 0 的空間。如前文所說，如果在 2 維空間中變換的行列式為 0，則意味著變換的結果將空間壓縮成了一條線或一個點；而在 3 維空間中變換的行列式為 0 意味著一個物體會被壓扁成一個平面，如下圖所示：

出處：https://juejin.im/post/5d107b00f265da1b67211a21

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python矩阵运算与线形代数_[译] 线性代数：矩阵基本运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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