剛體運動學

剛體模型

剛體是一個特殊的質點系， 剛體上任意兩質點間距離保持不變。

剛體模型可以看成是現實中勁度系數極大的物體的抽象化，這類物體本身的形變對其運動的影響可以忽略，比如一個籃球，當其與地面碰撞時必然會產生形變，但這個形變對其運動的印象是微乎其微的（有些人認為，如果忽略形變，那么彈力怎么解釋？我個人對剛體模型的理解是，剛體雖然忽略了形變，但是保留了由形變而產生的彈力）， 我們完全可以將其抽象成一個具有一定質量分布的剛體球，考察它在與地面時，地面摩擦力和彈力對它的影響。

剛體模型具有兩個顯然的性質：

（1）剛體上任意兩點的速度沿兩點連線方向的分量相等

（2）剛體內任意兩質點間的一對相互作用力做功始終為零

剛體的平動與轉動，剛體運動的自由度

平動：保持了剛體上任意兩點間的連線矢量方向不變的運動。剛體平動的特征是，剛體上任意兩點的速度始終相同，加速度始終相同，因此在描述剛體平動時只需選擇剛體上的一點即可，通常我們選擇質心作為描述對象。

轉動：圍繞剛體上某一點（軸）的旋轉運動。剛體的轉動可以分為定點轉動（繞一點）和定軸轉動（繞一軸）。

剛體任意運動可以被分解為剛體的一次平動與繞某一點的轉動的疊加。

完全自由的剛體擁有六個自由度：三個平動自由度和三個轉動自由度。

剛體的定軸轉動

剛體圍繞空間中一個固定軸轉動的運動叫做剛體的定軸轉動，定軸轉動只有一個自由度，可以用一個參量角速度

來完全描述一個定軸轉動，設剛體上任一點 到轉軸的距離為 ，方向背離轉軸，則該點的速度 ，加速度 ，其中第一項為切向加速度，第二項為法向加速度（向心加速度）。

剛體的平面運動

剛體上任一點的運動都限制在同一平面上的運動稱為剛體的平面運動，顯然此時所有的平面都平行，我們只需要研究剛體在某一平面上投影的運動即可，該被選定的平面被稱為“基面”，選定基面上一個隨剛體運動的點為“基點”，于是剛體的平面運動可以分解為基點的平面運動與剛體繞基點的轉動，故剛體的平面運動具有三個自由度。穿過基點與基面垂直的軸為“基軸”。剛體的平面運動可以由基點速度

與繞基點轉動角速度 確定，此時剛體讓任一點 到基點的位置矢量為 （方向背離基點），則該點的速度表示為 ，加速度表示為 。

剛體角速度矢量的唯一性

剛體在任意運動中的任意時刻具有唯一的角速度矢量，這個角速度矢量會隨剛體的運動而變化，但在任意時刻，始終唯一確定，角速度矢量是屬于剛體整體的物理量，源自于剛體本身的性質。

定軸轉動慣量

剛體的定軸轉動慣量

如圖所示，剛體繞z軸以角速度

轉動，其總角動量表示為

得到角動量沿三個軸的分量，

，也可以說成是剛體分別繞三個軸的角動量。

定義：定軸轉動慣量，

，其中 為第 個質點到轉軸z的距離。（有些教材中轉動慣量記為 ，也有些教材轉動慣量記為 ，似乎是有區別的，但我不太清楚，鑒于力學中已經有其它物理量被記為 了，所以在我本人習慣用 表示轉動慣量）

于是剛體繞z軸的角動量可以表示為

。

定軸轉動慣量的計算公式

對于由離散質點系構成的剛體，

對于具有質量線分布的剛體，

對于具有質量面分布的剛體，

對于具有質量體分布的剛體，

常見剛體模型的轉動慣量

勻質圓盤繞中心軸的轉動慣量：

勻質球殼繞某一直徑的轉動慣量：

勻質球體繞某一直徑的轉動慣量：

關于定軸轉動慣量的兩個定理

（1）平行軸定理

平行軸定理

平行軸定理：剛體繞與質心軸平行的轉軸的轉動慣量等于剛體繞質心的轉動慣量和質心繞該軸的轉動慣量的和，可以表示為

，其中m為剛體總質量，d為兩個軸之間的距離。

推導：

當A軸穿過剛體質心時，求和式結果為零，故第三項為零，從而平行軸定理得證。

（2）垂直軸定理

垂直軸定理

垂直軸定理：剛體繞三條互相垂直的軸的轉動慣量之和

。

特別的，對于薄板而言，我們有薄板的垂直軸定理：假設x，y軸在薄板面內，z軸垂直于薄板面，則有

。

剛體定軸轉動的動力學

定軸轉動定理

剛體的定軸轉動定理實際上是第五講中質點系的角動量定理的特殊化，后者指出，質點系的角動量變化量等于質點系所受外力的沖量矩，做變形易得，剛體定軸轉動角加速度與轉動慣量的乘積等于剛體所受的繞轉軸的力矩，表示為，

。

同時我們可以知道剛體定軸轉動角動量守恒條件，

。

定軸轉動的動能定理

剛體定軸轉動的動能表示為，

從而可以得到定軸轉動動能定理，

，其中 為剛體轉過的角度的微元。

剛體平面運動的動能

之前講到剛體平面運動任一點的速度

，在第六講質心運動學中，我們講到了柯尼希定理， ，對于剛體平面運動而言， ， ，從而剛體平面運動的動能 。

小結

本講引入了剛體這一力學模型，介紹了剛體運動學基本知識，隨后介紹了剛體繞軸的轉動慣量這一重要物理量以及其相關定理，最后介紹了剛體定軸轉動的動力學定理。

在文章最后推薦一個回答

大學物理第六章剛體問題基本的解題思路有哪些？?www.zhihu.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平移刚体上各点的加速度和速度_物理-力学|第七讲|刚体力学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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