在討論曲線坐標系的積分時，通常都會出現行列式這個東西，作為“體積元”的因子。在廣義相對論中，愛因斯坦場方程的作用量就帶有度規的行列式，而在對其進行變分時，自然也就涉及到了行列式的求導問題。我參考了朗道的《場論》以及《數理物理基礎--物理需用線性高等數學導引》，了解到相關結果，遂記錄如下。

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設

是一個n階矩陣，其中每個矩陣元素都是t的函數。其行列式為|A|，自然地，考慮

由行列式的基本性質，有

其中|A(aij+ε)|是將矩陣A的aij換成aij+ε后的行列式的值，而Aij是行列式|A|關于aij的代數余子式。上式給出

也就是說，代數余子式可以表示為行列式的偏導數。

那么

（為了得出第一個等式，只需要給矩陣A的每個元素都增加一個無窮小量，然后把增量后的矩陣的行列式展開，保留一階無窮小項。）

所以

其中

正好是矩陣A的逆陣A?1的元素，而daijdt則是矩陣dAdt的元素。第一次求和即把兩個矩陣相乘，得

而第二次求和則相當于取行列式的跡，所以

用張量分析中的符號，則更加簡單了，記
，則

—THE END—

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的行列式的导数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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