可以構成平面五重晶格鋪砌的五種凸形磚

每當宗傳明開始“閉關”，謝絕一切會議、邀約時，熟悉他的人就能大致猜出，他又要“憋大招”了。

數(shù)學研究以抽象聞名，外行往往難以理解。但是，有些外行看起來自然簡單的問題，卻同樣能讓世界上最聰明的大腦感到束手無策。例如，什么形狀的瓷磚能夠無縫隙地鋪滿整個平面，就是這樣一個問題。

近日，《美國數(shù)學會通報》（Notices of the American Mathematical Society）在2020年第五期上以“重點論文”形式發(fā)表了天津大學長江特聘教授宗傳明的一項研究成果，對數(shù)學中的經(jīng)典鋪砌問題他給出了一系列完整的答案。

世紀難題

早在古希臘時期，亞里士多德和阿基米德等先哲就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些鋪砌構圖；1619年，開普勒對阿基米德鋪砌取得了完整的分類；1885年，俄國科學家費德洛夫系統(tǒng)地研究了最有規(guī)律的鋪砌，也奠定了晶體學理論的基石。

然而，時間到了1916年前后，當?shù)聡鴶?shù)學家比伯巴赫首次提出平面全等鋪砌體的分類問題之后，數(shù)學家前進的腳步卻似乎慢了下來。

“這樣一個貌似簡單的幾何問題難倒了許多杰出的數(shù)學家?！弊趥髅髡f，“比伯巴赫問題的研究歷程異常復雜曲折，在過去的一個世紀中，它曾至少3次被錯誤地宣布徹底解決。”

在尋找平面全等鋪砌體的過程中，不僅有數(shù)學家和計算機專家的系統(tǒng)研究，一些業(yè)余愛好者也做出了驚人的貢獻。例如，1978年，僅有高中數(shù)學水平的賴斯夫人就發(fā)現(xiàn)了其中的四種，為此美國數(shù)學協(xié)會特意用賴斯夫人發(fā)現(xiàn)的一種五邊形地板磚鋪砌他們?nèi)A盛頓總部走廊的一部分。

歷經(jīng)一個世紀，除三角形和四邊形外，人們共發(fā)現(xiàn)了3類六邊形和15類五邊形全等鋪砌體。最后一種五邊形鋪砌體是在2016年被3位歐美數(shù)學家借助計算機發(fā)現(xiàn)的。

“毫無進展的6年”之后

數(shù)學家總喜歡給自己出難題。從上世紀30年代開始，富特文格勒, 哈堯什和羅賓森等杰出數(shù)學家開始研究多重鋪砌問題，并取得了一系列重要成果。通過自然疊加，單重鋪砌可以產(chǎn)生任意重數(shù)的鋪砌。但是，數(shù)學家想知道的是，除去費德洛夫所發(fā)現(xiàn)的四邊形和六邊形外，還有哪些幾何形狀可以通過平移構成二重、三重或多重鋪砌？

這引起了宗傳明的興趣。2006年，他在劍橋大學出版社出版了一本專著，專門介紹了上述三人的成果，并開始組織研究生每周一次定期學習研討他們的相關工作，試圖在分類問題上取得突破。

然而，6年過去了，他們在這個問題上毫無進展。

2012年，三位歐美學者發(fā)現(xiàn)了一個可以構成七重晶格鋪砌的八邊形。這一結果再次激起了宗傳明團隊的研究熱情?！拔覀冎匦略O計了研究方案。一方面，我的研究生利用計算機尋找更好的多重鋪砌實例；另一方面，我利用多年來在堆積理論所積累的成果與思想方法，集中研究較低重數(shù)的晶格鋪砌。”

歷經(jīng)多年的辛勤耕耘，特別是多次的失敗后，2017年前后，宗傳明和他的學生終于迎來了意想不到的收獲。首先，他們證明，除去費德洛夫所發(fā)現(xiàn)的兩種多邊形外，任何其它形狀的凸形磚都不可能構成二重，三重或四重的晶格鋪砌；進而，他們發(fā)現(xiàn)了一個能構成五重晶格鋪砌的十邊形；而通過逐步實現(xiàn)預先設計的研究方案，宗傳明獨立證明，有且僅有五種凸形磚可以構成平面的五重晶格鋪砌，它們是平行四邊形、中心對稱的六邊形、兩類特殊的八邊形和一類非常特殊的十邊形。

“我們將這些結果先后發(fā)布在科學預印本網(wǎng)站arXiv上。在接下來的幾天里，我收到了多位歐美同行的祝賀?！弊趥髅魈寡?#xff0c;國外同行的高度關注，既讓他們感受到收獲的喜悅，也感受到巨大的競爭壓力。

他決定再努力一把，把這個故事講完。

“像做藝術品一樣做數(shù)學研究”

非歐幾何得到證實，羅巴切夫斯基死后被正名

到了1868年，意大利數(shù)學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》

“多重晶格鋪砌是多重平移鋪砌最重要的一類，也是最特殊的一類，但是一個完美的理論應該包括所有多重平移鋪砌?！痹谡J真分析了解決一般平移多重鋪砌問題所面臨的關鍵困難之后，宗傳明意識到，要徹底解決這樣一個歷史悠久的基本問題，沒有出奇制勝的新思想是不可能的。

經(jīng)過反復推敲，他設計了一套系統(tǒng)的研究方案，在每個鋪砌頂點引入了一個組合計數(shù)公式。接下來，他組織課題組分塊實施這一方案。

這期間，宗傳明婉拒了所有的會議，評審，報告等活動，集中精力實現(xiàn)他的研究計劃。

2018年，宗傳明和他的博士研究生楊琪終于實現(xiàn)了他的證明方案。他們發(fā)現(xiàn)并證明，除去費德洛夫所發(fā)現(xiàn)的兩種多邊形外，任何形狀的凸形磚都不可能構成二重，三重或四重的平移鋪砌；五重平移鋪砌一定是五重晶格鋪砌，也只有平行四邊形，中心對稱的六邊形，兩類特殊的八邊形和一類非常特殊的十邊形能夠實現(xiàn)。而后，宗傳明又完整刻畫了能構成六重格鋪砌的所有鋪磚，它們是平行四邊形，中心對稱的六邊形，一類特殊的八邊形和兩類非常特殊的十邊形。

2020年五月，這一系列成果在《美國數(shù)學會通報》上刊登。這是近5年來該雜志發(fā)表的唯一一篇國內(nèi)學者的“重點論文”。論文發(fā)表以來受到了柏林大學校長齊格勒，美國數(shù)學會前副主席摩根等十多位著名歐美學者的祝賀和稱贊。前不久，中國科學院院士、中國數(shù)學會理事長田剛在他的《數(shù)學內(nèi)外》講座中也專門提到了這項工作。

“數(shù)學研究有時就像是創(chuàng)作藝術品，我們總是希望能夠完成一件永恒的作品，就像達·芬奇和米開朗基羅的杰作那樣。我們這項成果遠達不到屹立于世界數(shù)學之林的高度，但它是一項完整的基本成果，是宏偉的數(shù)學殿堂中一塊小小的鋪地磚?！?/p>

正如宗傳明所說的那樣，有些東西是永恒的。在優(yōu)美的數(shù)學成果背后，那些數(shù)學家立志、奮斗、失敗、癡迷、頓悟的故事，相信也同樣會為后人所傳頌。

編輯?∑Gemini

來源：中國科學報

DOI: https://doi.org/10.1090/noti2075

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總結

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