此前在另外一篇文章嘗試給對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉變換進(jìn)行過稍微直觀點(diǎn)的解釋。本文會(huì)對(duì)公式進(jìn)行細(xì)節(jié)的、代數(shù)上的解釋。

1 對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行分解的猜想

拉格朗日等數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些周期函數(shù)可以由三角函數(shù)的和來(lái)表示，比如下圖中，黑色的斜線就是周期為??的函數(shù)，而紅色的曲線是三角函數(shù)之和，可以看出兩者確實(shí)近似：

而另外一位數(shù)學(xué)家：

讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉男爵（1768 －1830）猜測(cè)任意周期函數(shù)都可以寫成三角函數(shù)之和。

2 分解的思路

假設(shè)??是周期為??的函數(shù)，傅里葉男爵會(huì)怎么構(gòu)造三角函數(shù)的和，使之等于?？

2.1 常數(shù)項(xiàng)

對(duì)于??這樣的常數(shù)函數(shù)：

根據(jù)周期函數(shù)的定義，常數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，周期為任意實(shí)數(shù)。

所以，分解里面得有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。

2.2 通過??進(jìn)行分解

首先，??是周期函數(shù)，進(jìn)行合理的加減組合，結(jié)果可以是周期函數(shù)。

其次，它們的微分和積分都很簡(jiǎn)單。

然后，??是奇函數(shù)，即：

從圖像上也可以看出，??關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)：

而奇函數(shù)與奇函數(shù)加減只能得到奇函數(shù)，即：

其中，??表示奇函數(shù)。

而??是偶函數(shù)，即：

從圖像上也可以看出，??關(guān)于??軸對(duì)稱，是偶函數(shù)：

同樣的，偶函數(shù)與偶函數(shù)加減只能得到偶函數(shù)，即：

其中，??表示偶函數(shù)。

但是任意函數(shù)可以分解和奇偶函數(shù)之和：

所以同時(shí)需要??。

2.3 保證組合出來(lái)周期為?

之前說了，??是周期為??的函數(shù)，我們?cè)趺幢ＷC組合出來(lái)的函數(shù)周期依然為??呢？

比如下面這個(gè)函數(shù)的周期為??：

很顯然，??的周期也是??：

?的周期也是??，雖然最小周期是??：

很顯然，??的周期都是??：

更一般的，如果??的周期為??，那么：

這些函數(shù)的周期都為??。

將這些函數(shù)進(jìn)行加減，就保證了得到的函數(shù)的周期也為??。

2.4 調(diào)整振幅

現(xiàn)在我們有一堆周期為??的函數(shù)了，比如說?：

通過調(diào)整振幅可以讓它們慢慢接近目標(biāo)函數(shù)，比如??看起來(lái)處處都比目標(biāo)函數(shù)低一些：

把它的振幅增加一倍：

?有的地方超出去了，從周期為??的函數(shù)中選擇一個(gè)，減去一點(diǎn)：

調(diào)整振幅，加加減減，我們可以慢慢接近目標(biāo)函數(shù)：

2.5 小結(jié)

綜上，構(gòu)造出來(lái)的三角函數(shù)之和大概類似下面的樣子：

這樣就符合之前的分析：

• 有常數(shù)項(xiàng)

• 奇函數(shù)和偶函數(shù)可以組合出任意函數(shù)

• 周期為?

• 調(diào)整振幅，逼近原函數(shù)

之前的分析還比較簡(jiǎn)單，后面開始有點(diǎn)難度了。即怎么確定這三個(gè)系數(shù)：

3??的另外一種表示方法

直接不好確定，要迂回一下，先稍微介紹一下什么是：??？

3.1?

看到復(fù)數(shù)也不要怕，根據(jù)之前的文章如何通俗易懂地解釋歐拉公式，看到類似于??這種就應(yīng)該想到復(fù)平面上的一個(gè)夾角為??的向量：

那么當(dāng)??不再是常數(shù)，而是代表時(shí)間的變量??的時(shí)候：

隨著時(shí)間??的流逝，從0開始增長(zhǎng)，這個(gè)向量就會(huì)旋轉(zhuǎn)起來(lái)，??秒會(huì)旋轉(zhuǎn)一圈，也就是?：

3.2 通過??表示?

根據(jù)歐拉公式，有：

所以，在時(shí)間??軸上，把??向量的虛部（也就是縱坐標(biāo)）記錄下來(lái)，得到的就是?：

代數(shù)上用??表示虛部：

在時(shí)間??軸上，把??向量的虛部記錄下來(lái)，得到的就是??：

如果在時(shí)間??軸上，把??的實(shí)部（橫坐標(biāo)）記錄下來(lái)，得到的就是??的曲線：

代數(shù)上用??表示實(shí)部：

在??的圖像中，可以觀察到旋轉(zhuǎn)的頻率，所以稱為頻域；而在??中可以看到流逝的時(shí)間，所以稱為時(shí)域：

4 通過頻域來(lái)求系數(shù)

4.1 函數(shù)是線性組合

假設(shè)有這么個(gè)函數(shù)：

是一個(gè)??的函數(shù)：

如果轉(zhuǎn)到頻域去，那么它們是下面這個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)的虛部：

先看看??，其中??是常數(shù)，很顯然這是兩個(gè)向量之和：

現(xiàn)在讓它們動(dòng)起來(lái)，把??變成流逝的時(shí)間??，那么就變成了旋轉(zhuǎn)的向量和：

很顯然，如果把虛部記錄下來(lái)，就得到??：

4.2 函數(shù)向量

前面畫了一大堆圖，就想說明一個(gè)觀點(diǎn)，??是向量，并且是旋轉(zhuǎn)的向量。

而根據(jù)歐拉公式，有：

從圖像上看：

所以??也是向量。

?稱為函數(shù)向量，并且函數(shù)向量的點(diǎn)積是這么定義的：

其中，??是函數(shù)向量，??是??的周期。

關(guān)于函數(shù)向量，關(guān)于函數(shù)向量的點(diǎn)積，更嚴(yán)格的討論可以參考無(wú)限維的希爾伯特空間。

4.3??是線性組合

雖然比較倉(cāng)促，讓我們先接受??是函數(shù)向量，那么它們的線性組合得到的也是函數(shù)向量：

根據(jù)剛才的點(diǎn)積的定義有：

根據(jù)點(diǎn)積的代數(shù)和幾何意義（關(guān)于點(diǎn)積的幾何意義可以參考這篇文章），?說明了，這兩個(gè)函數(shù)向量正交、線性無(wú)關(guān)，是正交基。

如果寫成這樣：

可以理解為??在正交基??下的坐標(biāo)為??。

4.4 如何求正交基的坐標(biāo)

我們來(lái)看個(gè)例子，假設(shè)：

其中?

通過點(diǎn)積：

可知這兩個(gè)向量正交，是正交基。圖示如下：

?在基??下的坐標(biāo)為??，其中在基??下的坐標(biāo)可以通過點(diǎn)積這么來(lái)算（對(duì)于正交基才可以這么做）：

4.5 如何求??基下的坐標(biāo)

對(duì)于：

其中，??是向量，??是正交基，周期??。

所以是正交基，那么根據(jù)剛才的分析，可以這么求坐標(biāo)??上的坐標(biāo)：

4.6 更一般的

對(duì)于我們之前的假設(shè)，其中??周期為??：

可以改寫為這樣：

也就是說向量??是以下正交基的線性組合：

是的，??也是基。

那么可以得到：

?也可以通過點(diǎn)積來(lái)表示，最終我們得到：

其中：

5 傅立葉級(jí)數(shù)的另外一種表現(xiàn)形式

根據(jù)歐拉公式：

我們可以推出：

根據(jù)上式，我們可以寫出傅立葉級(jí)數(shù)的另外一種形式：

其中：

解讀一下：

對(duì)于復(fù)數(shù)函數(shù)，定義的點(diǎn)積為：

其中，??為復(fù)數(shù)函數(shù)，??是??的共軛，所以??的代數(shù)表達(dá)式中有一個(gè)負(fù)號(hào)。

順便說一下，這樣定義點(diǎn)積是為了保證：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何理解傅立叶级数、傅立叶变换公式？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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