講講復數的故事。

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復數是人類數域擴充的一大步，如我一樣的學渣恨它(太難了)，大佬愛它(太美了)。大概從大一高等代數與它相遇開始，這個讓數學愛好者又愛又恨的東西便產生了。

一、復數誕生——代數學家的記號

我猜想復數的引入是一些代數學家干的，當他們在求解方程x^2+1=0時，創造性的假設有±i兩個根，開始引入了復數。

而且顯然，i和1是R-線性無關的(就是說沒有兩個非零實數a、b能滿足a+bi=0)，于是自然而然的張成了一個二維R-線性空間，被記作C。(自然，高中課本更愿意把z∈C看做a+bi也正基于此——二維向量嘛)

隨后他們很快就定義了一套加減法出來，也就像是高中課本所說的那樣。

二、歐拉公式——歐拉的技巧

上過高數的一定忘不了泰勒公式，作為實函數微分學的最高成就，給多少學生留下了心理陰影。

泰勒展開

這個時候，大數學家歐拉來了。歐拉是個天才，天賦應當說除了伽羅瓦以外數學家里應該是在第一梯隊的。當然他也有很多“混”出來的結論，比如說那個著名的π^2/6。在復變領域，他依舊有很敏銳的洞察力——他看到上面exp、sin、cos項泰勒展開都有一樣的系數——除了正負號以外。于是他引入了虛數，帶進去，誒，成立了！

歐拉的技巧

當然把x=π帶進去就是幼兒園小朋友都知道的e^(iπ)+1=0這條爛大街的公式了。

歐拉公式在物理系被經常使用，一般是以傅里葉的形式出現——這個記號大大簡化了傅里葉的形式、體現了傅里葉的性質(評論區大佬提出：主要體現在能夠很好的描述相位)。

三、復分析——分析學的美麗樂章

不同于我們物理系的選手，隔壁數學系的人總是要“浪費”大量時間糾結在定義上。Taylor展開固然美麗，但需要可導這些條件——等等，復空間上exp、cos、sin都沒定義，哪來的可導性質？

數學家開始研究復變函數的嚴格定義。首先復空間上的度量是很好定義的，就按二維歐氏空間來就好了(就是高中的模長)。由此函數的極限就可以定義了，自然，級數、導數的東西也有了。

多項式函數本就是可以定義的，于是數學家干了個事情——把結論當成定義推廣(這是數學發展貫穿始終的一個手法，隨處可見)——用泰勒級數去定義了exp、sin、cos之流的東西。

此外還有一個描述解析性質充要條件的柯西黎曼方程，連起了數分和復分析，將實函數的結論帶入復分析中。

柯西黎曼方程

如果說數學分析最深刻的兩個公式是泰勒公式和牛頓-萊布尼茨-格林-高斯-斯托克斯公式，一個標志著微分學的巔峰，一個標志著積分學的巔峰，復分析最深刻的我猜想是下面的兩個公式。

柯西積分公式

洛朗級數

可以看到復分析的高階導數，其實是用積分定義的，這跟實的完全不一樣，至于洛朗級數——泰勒的推廣，非常深刻。

柯西積分公式也有很多導出結論，比較著名的最小模定理、劉維爾定理、留數定理等等。

我們不妨說一下劉維爾定理：一個全純函數如果(絕對值)有界必然是常函數，柯西積分公式反證法一步出答案(證明留作習題答案略)，作者憑借這個史上最短證明一舉拿下博士學位——他的博士導師是歐姆，沒錯，電阻那個歐姆定律的歐姆。

四、代數閉域——代數學家的喜訊

代數學基本定理，這個高中生人盡皆知的、也是高斯一生(高斯自認為)最偉大的貢獻——一個一元n次復多項式在復平面內有n個根就可以來自這里(雖然高斯本人最早的證法遠不如用復分析證明的簡潔)。

用復分析工具(劉維爾定理)變得異常簡潔：

代數學基本定理的簡要證明：n次多項式只要有一個根，數學歸納即可證明

一般叫基本定理的都很深刻，比如說算數基本定理、微積分基本定理之類的，代數基本定理告訴大家——復數是代數閉域！

有了代數閉域，代數學家就能搞事情了，比如線性代數里折磨每一個大一新生的Jordan標準型。

若爾當標準型

后面若爾當標準型還將在矩陣函數、常微分方程里反復出現，成為學渣心里揮之不去的痛。

五、黎曼猜想——菲爾茨獎在向你招手

還有些人接著在做分析，比如引入了解析延拓什么的。其中最著名的莫過于黎曼猜想。

黎曼函數

如果你能證明上面這個黎曼函數的所有非平凡零點(就是不包括負偶數的零點)實部都是1/2，你將獲得菲爾茲獎——菲爾茨獎在向你招手！

據說這個東西跟數論什么的都有聯系(評論區大佬說與素數分布有關)，在數學界有很重要的地位。具體我就不太懂了，坐等相關領域大佬補充。

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說了一大堆，總結一下，復數引入

實現了一個代數閉域，在代數學有至關重要的地位

為傅里葉分析提供了工具，簡化了記號，能更好的描述相位，除了物理系，據說cs、ee那里數字圖像處理也用這個

產生了黎曼猜想，為你提供了一個獲得菲爾茨獎的選項

(帶個私貨)在我們物理系學相對論的人眼里還提供了一個時空的描述工具

當然還有很多很多……

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最后補充一下復數的不好，站在學渣的角度。

可用的不等式太少，除了三角不等式幾乎啥也沒有，不如實的有那么多工具

于是復數域上的線性代數比實數域的難好多好多

復數不僅沒有很好的序，而且復變函數也不像實函數容易想象——上來就是四維誰受得了，還是兩個兩個維度捆綁的。

所以復空間的幾何也有很多待解之謎

總之從實的到復的難度上去了不是一個層次，掛科更容易了嚶嚶嚶

ps1：復分析還有很多好玩的東西，比如很幾何直觀的共形映射什么的，這里都沒有提及，有興趣的讀者可以在自學完高數以后買本復分析的書讀讀。

ps2：復分析學了一年多了也沒怎么用過，不少都忘了，歡迎大佬斧正

編輯?∑Gemini

作者：萌萌噠小西瓜

來源：授權轉載于知乎

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的虚数填补了数学的哪一个缺口？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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