講講復(fù)數(shù)的故事。

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復(fù)數(shù)是人類數(shù)域擴(kuò)充的一大步，如我一樣的學(xué)渣恨它(太難了)，大佬愛(ài)它(太美了)。大概從大一高等代數(shù)與它相遇開(kāi)始，這個(gè)讓數(shù)學(xué)愛(ài)好者又愛(ài)又恨的東西便產(chǎn)生了。

一、復(fù)數(shù)誕生——代數(shù)學(xué)家的記號(hào)

我猜想復(fù)數(shù)的引入是一些代數(shù)學(xué)家干的，當(dāng)他們?cè)谇蠼夥匠蘹^2+1=0時(shí)，創(chuàng)造性的假設(shè)有±i兩個(gè)根，開(kāi)始引入了復(fù)數(shù)。

而且顯然，i和1是R-線性無(wú)關(guān)的(就是說(shuō)沒(méi)有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b能滿足a+bi=0)，于是自然而然的張成了一個(gè)二維R-線性空間，被記作C。(自然，高中課本更愿意把z∈C看做a+bi也正基于此——二維向量嘛)

隨后他們很快就定義了一套加減法出來(lái)，也就像是高中課本所說(shuō)的那樣。

二、歐拉公式——?dú)W拉的技巧

上過(guò)高數(shù)的一定忘不了泰勒公式，作為實(shí)函數(shù)微分學(xué)的最高成就，給多少學(xué)生留下了心理陰影。

泰勒展開(kāi)

這個(gè)時(shí)候，大數(shù)學(xué)家歐拉來(lái)了。歐拉是個(gè)天才，天賦應(yīng)當(dāng)說(shuō)除了伽羅瓦以外數(shù)學(xué)家里應(yīng)該是在第一梯隊(duì)的。當(dāng)然他也有很多“混”出來(lái)的結(jié)論，比如說(shuō)那個(gè)著名的π^2/6。在復(fù)變領(lǐng)域，他依舊有很敏銳的洞察力——他看到上面exp、sin、cos項(xiàng)泰勒展開(kāi)都有一樣的系數(shù)——除了正負(fù)號(hào)以外。于是他引入了虛數(shù)，帶進(jìn)去，誒，成立了！

歐拉的技巧

當(dāng)然把x=π帶進(jìn)去就是幼兒園小朋友都知道的e^(iπ)+1=0這條爛大街的公式了。

歐拉公式在物理系被經(jīng)常使用，一般是以傅里葉的形式出現(xiàn)——這個(gè)記號(hào)大大簡(jiǎn)化了傅里葉的形式、體現(xiàn)了傅里葉的性質(zhì)(評(píng)論區(qū)大佬提出：主要體現(xiàn)在能夠很好的描述相位)。

三、復(fù)分析——分析學(xué)的美麗樂(lè)章

不同于我們物理系的選手，隔壁數(shù)學(xué)系的人總是要“浪費(fèi)”大量時(shí)間糾結(jié)在定義上。Taylor展開(kāi)固然美麗，但需要可導(dǎo)這些條件——等等，復(fù)空間上exp、cos、sin都沒(méi)定義，哪來(lái)的可導(dǎo)性質(zhì)？

數(shù)學(xué)家開(kāi)始研究復(fù)變函數(shù)的嚴(yán)格定義。首先復(fù)空間上的度量是很好定義的，就按二維歐氏空間來(lái)就好了(就是高中的模長(zhǎng))。由此函數(shù)的極限就可以定義了，自然，級(jí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的東西也有了。

多項(xiàng)式函數(shù)本就是可以定義的，于是數(shù)學(xué)家干了個(gè)事情——把結(jié)論當(dāng)成定義推廣(這是數(shù)學(xué)發(fā)展貫穿始終的一個(gè)手法，隨處可見(jiàn))——用泰勒級(jí)數(shù)去定義了exp、sin、cos之流的東西。

此外還有一個(gè)描述解析性質(zhì)充要條件的柯西黎曼方程，連起了數(shù)分和復(fù)分析，將實(shí)函數(shù)的結(jié)論帶入復(fù)分析中。

柯西黎曼方程

如果說(shuō)數(shù)學(xué)分析最深刻的兩個(gè)公式是泰勒公式和牛頓-萊布尼茨-格林-高斯-斯托克斯公式，一個(gè)標(biāo)志著微分學(xué)的巔峰，一個(gè)標(biāo)志著積分學(xué)的巔峰，復(fù)分析最深刻的我猜想是下面的兩個(gè)公式。

柯西積分公式

洛朗級(jí)數(shù)

可以看到復(fù)分析的高階導(dǎo)數(shù)，其實(shí)是用積分定義的，這跟實(shí)的完全不一樣，至于洛朗級(jí)數(shù)——泰勒的推廣，非常深刻。

柯西積分公式也有很多導(dǎo)出結(jié)論，比較著名的最小模定理、劉維爾定理、留數(shù)定理等等。

我們不妨說(shuō)一下劉維爾定理：一個(gè)全純函數(shù)如果(絕對(duì)值)有界必然是常函數(shù)，柯西積分公式反證法一步出答案(證明留作習(xí)題答案略)，作者憑借這個(gè)史上最短證明一舉拿下博士學(xué)位——他的博士導(dǎo)師是歐姆，沒(méi)錯(cuò)，電阻那個(gè)歐姆定律的歐姆。

四、代數(shù)閉域——代數(shù)學(xué)家的喜訊

代數(shù)學(xué)基本定理，這個(gè)高中生人盡皆知的、也是高斯一生(高斯自認(rèn)為)最偉大的貢獻(xiàn)——一個(gè)一元n次復(fù)多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)有n個(gè)根就可以來(lái)自這里(雖然高斯本人最早的證法遠(yuǎn)不如用復(fù)分析證明的簡(jiǎn)潔)。

用復(fù)分析工具(劉維爾定理)變得異常簡(jiǎn)潔：

代數(shù)學(xué)基本定理的簡(jiǎn)要證明：n次多項(xiàng)式只要有一個(gè)根，數(shù)學(xué)歸納即可證明

一般叫基本定理的都很深刻，比如說(shuō)算數(shù)基本定理、微積分基本定理之類的，代數(shù)基本定理告訴大家——復(fù)數(shù)是代數(shù)閉域！

有了代數(shù)閉域，代數(shù)學(xué)家就能搞事情了，比如線性代數(shù)里折磨每一個(gè)大一新生的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。

若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

后面若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型還將在矩陣函數(shù)、常微分方程里反復(fù)出現(xiàn)，成為學(xué)渣心里揮之不去的痛。

五、黎曼猜想——菲爾茨獎(jiǎng)在向你招手

還有些人接著在做分析，比如引入了解析延拓什么的。其中最著名的莫過(guò)于黎曼猜想。

黎曼函數(shù)

如果你能證明上面這個(gè)黎曼函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)(就是不包括負(fù)偶數(shù)的零點(diǎn))實(shí)部都是1/2，你將獲得菲爾茲獎(jiǎng)——菲爾茨獎(jiǎng)在向你招手！

據(jù)說(shuō)這個(gè)東西跟數(shù)論什么的都有聯(lián)系(評(píng)論區(qū)大佬說(shuō)與素?cái)?shù)分布有關(guān))，在數(shù)學(xué)界有很重要的地位。具體我就不太懂了，坐等相關(guān)領(lǐng)域大佬補(bǔ)充。

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說(shuō)了一大堆，總結(jié)一下，復(fù)數(shù)引入

實(shí)現(xiàn)了一個(gè)代數(shù)閉域，在代數(shù)學(xué)有至關(guān)重要的地位

為傅里葉分析提供了工具，簡(jiǎn)化了記號(hào)，能更好的描述相位，除了物理系，據(jù)說(shuō)cs、ee那里數(shù)字圖像處理也用這個(gè)

產(chǎn)生了黎曼猜想，為你提供了一個(gè)獲得菲爾茨獎(jiǎng)的選項(xiàng)

(帶個(gè)私貨)在我們物理系學(xué)相對(duì)論的人眼里還提供了一個(gè)時(shí)空的描述工具

當(dāng)然還有很多很多……

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最后補(bǔ)充一下復(fù)數(shù)的不好，站在學(xué)渣的角度。

可用的不等式太少，除了三角不等式幾乎啥也沒(méi)有，不如實(shí)的有那么多工具

于是復(fù)數(shù)域上的線性代數(shù)比實(shí)數(shù)域的難好多好多

復(fù)數(shù)不僅沒(méi)有很好的序，而且復(fù)變函數(shù)也不像實(shí)函數(shù)容易想象——上來(lái)就是四維誰(shuí)受得了，還是兩個(gè)兩個(gè)維度捆綁的。

所以復(fù)空間的幾何也有很多待解之謎

總之從實(shí)的到復(fù)的難度上去了不是一個(gè)層次，掛科更容易了嚶嚶嚶

ps1：復(fù)分析還有很多好玩的東西，比如很幾何直觀的共形映射什么的，這里都沒(méi)有提及，有興趣的讀者可以在自學(xué)完高數(shù)以后買(mǎi)本復(fù)分析的書(shū)讀讀。

ps2：復(fù)分析學(xué)了一年多了也沒(méi)怎么用過(guò)，不少都忘了，歡迎大佬斧正

編輯?∑Gemini

作者：萌萌噠小西瓜

來(lái)源：授權(quán)轉(zhuǎn)載于知乎

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總結(jié)

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