無論在外在的物質(zhì)世界里，還是在內(nèi)在的精神世界里，都不能沒有數(shù)學(xué)。最早悟出萬物背后都有數(shù)的法則在起作用的，是生活在公元前6世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯；而他及其學(xué)派無論在代數(shù)上還是幾何上都有很多貢獻(xiàn)。其中舉世聞名的“完美數(shù)”(perfect number，又稱“完全數(shù)”和“完滿數(shù)”)就是他們首先發(fā)現(xiàn)的。

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完美數(shù)優(yōu)美而稀少，如同璀璨明珠

所謂完美數(shù)，就是“除其本身以外全部因數(shù)之和等于本身”的數(shù)。例如，前兩個完美數(shù)分別是：6，28。畢達(dá)哥拉斯曾說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不過，有人認(rèn)為或許印度人和希伯來人早就知道完美數(shù)的存在了。有些《圣經(jīng)》注釋家認(rèn)為6和28是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本數(shù)字；他們指出，創(chuàng)造世界花了6天，28天則是月亮繞地球一周的天數(shù)。這使得完美數(shù)充滿了神秘的色彩，所以有些書籍稱之為“上帝之?dāng)?shù)”。法國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾曾公開預(yù)言：“能找出完美數(shù)是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。”可見這種數(shù)既優(yōu)美又稀少。

由于完美數(shù)有許多有趣的性質(zhì)和無與倫比的魅力，2500多年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對它進(jìn)行探究。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn) 47 個完美數(shù)，而且都是偶完美數(shù)。至于偶完美數(shù)是否無窮和有沒有奇完美數(shù)，至今沒有定論；這已成為數(shù)學(xué)中的著名難題。

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在名著《幾何原本》中證明了素數(shù)有無窮多個，并論述完美數(shù)時提出：如果2^p-1是素數(shù)(其中指數(shù)p也是素數(shù))，則2^p-1(2^p-1)是完美數(shù)。瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉證明所有的偶完美數(shù)都有這種形式。因此，人們只要找到2^p-1型素數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)偶完美數(shù)了。

數(shù)學(xué)界將2^p-1型素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”(Mersenne prime)，因為法國數(shù)學(xué)家和法蘭西科學(xué)院奠基人梅森在這方面的研究成果較為卓著。梅森素數(shù)貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進(jìn)行艱巨的計算。

1772年，有“數(shù)學(xué)英雄”美名的歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2³¹-1(即2147483647)是第8個梅森素數(shù)。這個具有10位的素數(shù)，堪稱當(dāng)時已知的最大素數(shù)。第8個偶完美數(shù)——2³⁰(2³¹-1)也由此而來。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人贊嘆不已；法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

值得提出的是：在梅森素數(shù)的基礎(chǔ)研究方面，法國數(shù)學(xué)家魯卡斯和美國數(shù)學(xué)家雷默都做出了重要貢獻(xiàn)；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數(shù)素性的最佳方法。此外，中國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中給出了梅森素數(shù)分布的精確表達(dá)式，為人們尋找梅森素數(shù)提供了方便；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

為了激勵人們尋找梅森素數(shù)，設(shè)在美國的電子新領(lǐng)域基金會(EFF)曾向全世界宣布了為通過一個名為“因特網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”(GIMPS)項目來尋找梅森素數(shù)而設(shè)立的獎金。它規(guī)定向第一個找到超過1000萬位數(shù)的個人或機構(gòu)頒發(fā)10萬美元。后面的獎金依次為：超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。當(dāng)然，絕大多數(shù)研究者參與該項目并不是為了金錢，而是出于興趣、榮譽感和探索精神。

美國加州大學(xué)洛杉磯分校的計算機專家史密斯通過參加GIMPS項目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素數(shù)2^43112609-1；該數(shù)也是目前已知的最大素數(shù)。這個素數(shù)有12978189位；如果用普通字號(4號)將它連續(xù)打下來，其長度可超過50公里！人類也因此發(fā)現(xiàn)了迄今已知的最大偶完美數(shù)——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發(fā)明”之一。前不久，他獲得了EFF頒布的10萬美元大獎。

目前，世界上有180多個國家和地區(qū)超過25萬人參加了GIMPS項目，并動用了近50萬臺計算機聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。該項目采取網(wǎng)格計算方式，利用大量普通計算機的閑置計算資源來獲得相當(dāng)于超級計算機的運算能力。著名的《自然》雜志說：GIMPS項目不僅會進(jìn)一步激發(fā)人們對梅森素數(shù)尋找的熱情，而且會引起人們對網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用研究的高度重視。

梅森素數(shù)在當(dāng)代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大偶完美數(shù)的唯一途徑；其探究推動了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，促進(jìn)了計算技術(shù)、密碼技術(shù)、網(wǎng)格技術(shù)、程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展以及快速傅立葉變換的應(yīng)用；另外它還可用來測試計算機硬件運算是否正確。由于梅森素數(shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認(rèn)為：梅森素數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。

可以在此預(yù)言：完美數(shù)這顆數(shù)學(xué)寶庫中的璀璨明珠正以其獨特魅力，吸引著更多的有志者去探尋和研究。

—THE END—

編輯?∑Gemini

來源：劉志堅寫于紐約大學(xué)，轉(zhuǎn)自騰訊網(wǎng)

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的完美数：数学宝库中的一颗璀璨明珠的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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