如果隨機變量X的所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數軸上某一區間內的任意點，那么稱之為連續型隨機變量。例如，一批電子元件的壽命、實際中常遇到的測量誤差等都是連續型隨機變量。

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連續型隨機變量X無法像離散型隨機變量一樣，給出其取每一個點時的概率,那么換一種思路，來研究隨機變量落入一個區間??的概率??,當區間??接近無窮小時，這時我們使用概率密度來表示概率值。什么是概率密度？

假設有一組零件，由于各種因素的影響，其長度是各不相同的。具體數值如下。

[171.671,172.04,171.67,172.40,172.70,172.164,171.71,172.68,172.13,171.97,172.266,171.81,172.15,172.45,172.20,172.600,172.24,171.39,172.17,171.2]

按前面離散型隨機變量的思路，要將數據分組，對應每個組計算出其相應的概率值，并繪制概率分布直方圖，如下圖所示。

連續型隨機變量分組后的概率分布直方圖

圖中的橫坐標是隨機變量值，縱坐標是隨機變量落入該值范圍內的概率。直方圖的邊緣看起來有點粗糙，但當我們把樣本數據和分組數同時增加時，輪廓就會越來越細致，接近于如圖所示的曲線，這條曲線對應的函數就稱為概率密度函數。由此思路，得到概率密度的數學描述如下。

考慮連續隨機變量??落入區間區間??的概率，由概率分布函數?? 的定義可知??，令??，則設

??

如果該極限存在，則稱??為在??點處的概率密度。

概率密度??反映出概率在??點處的密集程度，可以設想一根的質量不均勻的金屬桿，總質量為1，概率密度相當于桿上各點處的質量密度。

根據導數的定義可知：

??

從上式中可得結論：若??在處連續，則概率密度函數??是分布函數??的導函數。

設??為連續型隨機變量，??在任意區間(a,b]上的概率可以表示為：

??

其中??就叫作X的概率密度函數。

下圖形象描繪出概率密度函數??和概率??之間的關系。概率??被看成曲線下的面積，用數學公式描述就是一個積分形式。

??

概率密度函數和概率P

連續型隨機變量X的分布函數，也可寫成：

??

概率密度函數和分布函數具有以下性質。

（1）非負函數：??。

（2）規范性：??。

（3）對于任何常數a<b，有：

??

假設某零件誤差量在區間(－4,4)均勻分布，計算誤差量為1~3的概率。

解：設隨機抽取一個零件的誤差量為X，隨機變量X在區間(－4,4)上均勻分布，X落在該區間任意點的概率相同，即概率密度為一常量。

設??，??，即??

可得：概率密度函數 ?其他?

??在區間[1,3]之間的概率??。

下圖中顯示均勻分布對應的概率密度函數和分布函數。

均勻分布對應的概率密度函數和分布函數

在Python中輸出正態分布概率密度函數和對應的概率分布函數。

解：如果一個隨機變量X具有概率密度函數

??

則稱隨機變量X為正態分布隨機變量，并記為??。

下面代碼模擬實現了一個均值??為0和方差σ²為1的正態分布。

【代碼如下】

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stats def test_norm_pmf(): # 正態分布是一種連續分布，其函數可以在實線上的任何地方取值 # 正態分布由兩個參數描述：分布的平均值μ和方差σ2 mu = 0 # mean sigma = 1#standard deviation x = np.arange(－5,5,0.1) #生成隨機數x #得到對應的概率值y y = (1/(np.sqrt(2*np.pi*sigma*sigma)))*np.exp(－(((x－mu)**2)/(2*sigma*sigma))) fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(ncols=2, figsize=(10, 5)) ax0.plot(x, y) ax1.plot(x,stats.norm.cdf(x,0,1)) ax0.set_title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu,sigma)) ax0.set_xlabel('x') ax0.set_ylabel('Probability density', fontsize=15) ax1.set_title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu, sigma)) ax1.set_xlabel('x') ax1.set_ylabel('Cumulative density', fontsize=15) fig.subplots_adjust(wspace=0.4) plt.show() test_norm_pmf()

【運行結果】

如下圖所示。

正態分布對應的概率密度函數和分布函數

自然界中許多隨機指標都服從一種“中間高，兩頭低”的概率特性。例如，一門課程的考試成績，人的身高、體重等。

正態分布這種“鐘形曲線”很好地反映了現實世界中的中間高、兩頭低的隨機現象。

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