哈佛數(shù)學(xué)系150年：從三流學(xué)系到世界中心

文/丘成桐

原籍廣東省蕉嶺縣，1949年出生于廣東汕頭，同年隨父母移居香港，美籍華人，哈佛大學(xué)終身教授，國際知名數(shù)學(xué)家。現(xiàn)任香港中文大學(xué)博文講座教授兼數(shù)學(xué)科學(xué)研究所所長、清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心主任。

最近我與我的朋友Steve Nadis寫了一本 關(guān)於哈佛大學(xué)數(shù)學(xué) 系歷史的書， 由哈佛大學(xué)出版社出版。?

這個寫作計劃開始時，我還是哈佛數(shù)學(xué)系主任。我 對於這個系偉大先驅(qū)者的 人生頗感好奇。因為其中 有些人藉著他個人的研究甚或透過他們的學(xué)生，改變了整個世界數(shù)學(xué)發(fā)展的路徑。?

如果其他地方的人，能懂得欣賞這些數(shù)學(xué)家如何做研究，如何建立起這個優(yōu)秀的學(xué) 系，而且在這段過程里，還協(xié)助建立了哈佛大學(xué)的地位，我認(rèn)為這會是很棒的事。更何況，這些偉大哈佛數(shù)學(xué)家的個人軼事，讀來也饒有興味。?

我喜歡閱讀數(shù)學(xué)史，認(rèn)為好數(shù)學(xué)家需要知道數(shù)學(xué)的重要概念如何演進(jìn)。這些概念的演進(jìn)充滿 了生命力，就像從初生嬰兒慢慢長大成人的過 程，這段路可能很戲劇化，而且充滿了興奮與 刺激。一旦我們了解數(shù)學(xué)發(fā)展的根源，就更能 理解當(dāng)今數(shù)學(xué)的發(fā)展。我相信，哈佛數(shù)學(xué)系從 一個三流學(xué)系成長為世界級領(lǐng)導(dǎo)中心的過程， 提供了很值得參考的個案，或許可以協(xié)助許多 想建立世界級數(shù)學(xué)系的大學(xué)做為借鑒。我非常感謝我的合著者Nadis，他做了十分廣泛的研究，并采訪了許多哈佛的教師與校友。?

一、數(shù)學(xué)系的曙光：Peirce

我們的書是從1825年說起，當(dāng)時16歲的Benjamin Peirce 剛進(jìn)哈佛。當(dāng)他1829年獲得 哈佛學(xué)士學(xué)位時，并沒有機(jī) 會在美國研究數(shù)學(xué)，因為當(dāng)時的美國還沒有學(xué)校設(shè)置博 士班。Peirce因為經(jīng)濟(jì)因素 無法前往歐洲深造，結(jié)果他 先在預(yù)科學(xué)校（preparatory school）教了兩年書，然後在 1831 年回到哈佛當(dāng)導(dǎo)師 （tutor）。此後一直到1880 年去世為止，他一直留在哈佛。?

Peirce是第一位堅持?jǐn)?shù)學(xué)家應(yīng)該做原創(chuàng)性數(shù)學(xué)研究的美 國數(shù)學(xué)家，也就是說，數(shù)學(xué) 家應(yīng)該要證明新定理，解決 那些尚無人能解的問題。當(dāng) 時，不論在哈佛或美國其他 高等教育機(jī)構(gòu)，這樣的態(tài)度 絕非主流。?

Peirce在23歲時，出版了一項關(guān)於完美數(shù)（perfect number）的?證明，其中如果一個正整數(shù)的所 有因數(shù)和（包括1在內(nèi)）等於該 數(shù)本身，就稱為完美數(shù)，例如6 和28。當(dāng)時所有已知的完美數(shù)都 是偶數(shù)，而Peirce證明了如果存 在奇完美數(shù)，它必定至少有4個 質(zhì)因數(shù)。直到56年之後，英國數(shù)學(xué)家James Sylvester和法國數(shù)學(xué) 家Cl. Servais才能夠證出相同的結(jié)果，但他們不曉得，Peirce早在 半個世紀(jì)前就完成了這項證明。?

然而，當(dāng)時的哈佛校長Josiah Quincy卻催促Peirce去編寫教 科書，Peirce質(zhì)問哈佛校方， 是否真要他從事「如此耗費(fèi)時間，內(nèi)容如此基本，對於渴望在科學(xué)達(dá)成更高成就的人完全沒有價值」的工作。當(dāng)時做原創(chuàng)數(shù)學(xué)研究的概念實在太過奇特，在美國幾乎是前所未聞，而且也幾乎沒有人有資格去嘗試。?

多年之後， Peirce才在哈佛校長Thomas Hill身上，找到 志同道合的盟友。Hill 說：「我們最好的教授整天被繁重的教學(xué)與備課責(zé)任所禁錮， 以致於根本沒有時間與精力 去進(jìn)行個人研究，提升科學(xué) 與知識。」?

Peirce花了大量時間在天文學(xué)研究上，并在1839年哈佛 學(xué)院天文臺的建立過程中扮演關(guān)鍵的角色，他對「1843 年大彗星」以及當(dāng)時新發(fā)現(xiàn) 的海王星 的計算 。James Maxwell 和 Lord Kelvin都對Peirce的成就有高度評價 。在 61 歲時 ， Peirce以線性結(jié)合代數(shù)（linear associative algebra）為主題，寫了一篇很長的論 文，被視為美國人第一個在純數(shù)學(xué)中的重要貢獻(xiàn)。?

1848 年 ， Peirce 與他的杰出朋友們 ， 包括Alexander Bache·Louis Aggassiz與Joseph Henry， 一起建立了美國科學(xué)促進(jìn)會(American Association for the Advanced of Sciences)。他們也協(xié)助擘建了美國國家科學(xué)院(National Academy of Sciences)， 其中Peirce正是最活躍的成員。當(dāng)1880年P(guān)eirce去 世時，《哈佛磚紅報》表示「上周Peirce教授的過 世，意味著本校失去了最閃耀的科學(xué)明星，甚至 最卓越的教授。」基於他對數(shù)學(xué)系的貢獻(xiàn)，哈佛數(shù)學(xué)系仍稱呼新進(jìn)教師為Peirce講師。?

Peirce的時代， 正是哈佛大 學(xué)數(shù)學(xué)系由教學(xué)開始轉(zhuǎn)往研 究的時代。事實上，1869年就職的Charles Eliot校長─他 也是數(shù)學(xué)與化學(xué)教授─成立了哈佛的數(shù)學(xué)研究所，并由William Byerly在1873年成為 第一位數(shù)學(xué)博士。?

二、轉(zhuǎn)變成研究導(dǎo)向的學(xué)系

哈佛數(shù)學(xué)系在Peirce過世之後， 經(jīng)歷了一段「倒退期」，根據(jù)Julian Coolidge的說法：「....科學(xué)活動是一落千丈。」需要多年之 後才能破繭重生。不過到了二十 世紀(jì)之交，William Fogg Osgood

和Maxime B?cher已經(jīng)將哈佛建立成分析學(xué)領(lǐng)域的熠熠新星，分析學(xué)是數(shù)學(xué)的一支，包括微積分在內(nèi)。他們將數(shù)學(xué)研究轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)系的核心任務(wù)，而不再是像Peirce這樣特立獨(dú)行之士的嗜好。?

面對其他大學(xué)的強(qiáng)大競爭，哈佛數(shù)學(xué)系儼然成為當(dāng)時美國最好的 數(shù)學(xué)系。?

1876年，美國第一個研究型大學(xué)約翰霍普金斯大學(xué)正式 成立。一年後，他們聘請英國著名數(shù)學(xué)家Sylvester來領(lǐng)導(dǎo)一個以研究為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)系。依照歐洲模式，約翰霍普 金斯大學(xué)堅持教師和學(xué)生的研究應(yīng)盡可能在重要的期刊 上 發(fā) 表 。事 實 上 ， Sylvester 與 William Story · Simon Newcomb·Charles Peirce等人出版了美國第一個重要的數(shù)學(xué)研究期刊American Journal of Mathematics，其目標(biāo)在於出版原創(chuàng)數(shù)學(xué)研究。盡管1883年Sylvester離開約翰霍普金斯，前往牛津大學(xué)任教，但他關(guān)於訓(xùn)練研究生與研究的想法被轉(zhuǎn)移到其他大學(xué)，如哈佛·普林斯頓·耶魯?shù)取?

當(dāng)時最受矚目的是芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系， 由Eliakim H. Moore擔(dān)任系主任。1885 年，Moore在耶魯獲得博士學(xué)位，并到德國訪問一年。Moore訓(xùn)練出幾位重要的數(shù)學(xué)家：George D. Birkhoff· Leonard E. Dickson和Oswald Veblen。這些學(xué)生為哈佛·芝加哥·普林斯頓注 入深刻的影響。許多人相信Moore是「主要的驅(qū)動力，最後將美國從數(shù)學(xué)荒原轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者」 （引 自Karen Parshall的專著）。約翰霍普金斯和芝加哥都強(qiáng)調(diào)，他們的教授不但做研究，并且也教育學(xué)生要做相同的事，這樣的態(tài)度導(dǎo)致美國數(shù)學(xué)界在二十世紀(jì)之交的明顯提升。?

由於兩位年輕教授Osgood和B?cher的出現(xiàn)，哈佛數(shù)學(xué)系很快提高了它的國 際聲譽(yù)。在1903年前80位美國數(shù)學(xué)家的排名里， Osgoode和B?cher排在前 四 名 ， 另 兩 位 是 Moore 和 George William Hill（他曾與B. Peirce在麻州劍 橋的航海年鑒局（ Nautical Almanac Office ） 中 共 事 ） 。有趣的是，當(dāng) Osgood和B?cher還是大學(xué)部學(xué)生時，都曾經(jīng)到哥廷根去跟Felix Klein學(xué)習(xí)， 時間分別是兩年與三年。Klein對美國數(shù)學(xué)的發(fā)展有很深的影響。他的學(xué)生 Frank Nelson Cole就是Osgood和B?cher 的哈佛導(dǎo)師。（特別的是，Klein有六 位學(xué)生，包括Osgood和B?cher，都曾經(jīng)擔(dān)任美國數(shù)學(xué)學(xué)會的主席）。?

Osgood在德國埃爾朗根大學(xué)，由Max Noether指導(dǎo)得到博士學(xué)位，并且做了函數(shù)論方面的重要研究，其中包括證明Riemann映射定理。B?cher的論文則是跟Klein做的，他在那兒研究勢論（potential theory），後來并解明Fourier 級數(shù)中的Gibbs現(xiàn)象。B?cher培育了許多學(xué)生，并且在 1908年到1914年擔(dān)任Annals of Mathematics的主編。他同 時也是Transactions of the American Mathematical Society 的創(chuàng)刊人，并且在Moore之後，擔(dān)任該刊的第二任主編達(dá)五年。B?cher和Osgood留下了足以自豪的成就：他們?為美國數(shù)學(xué)界打下了分析領(lǐng)域的堅實基礎(chǔ)。經(jīng)由他們的努力，哈佛數(shù)學(xué)系不僅是美國最好的數(shù)學(xué)系之一，即使 與歐洲最佳的數(shù)學(xué)系相比，也毫不遜色?

三、Birkhoff的崛起

George David Birkhoff的大學(xué)部是在哈佛念的，在此期間 他深受B?cher的影響。接著他到芝加哥大學(xué)，在Moore 的指導(dǎo)下取得博士學(xué)位。哈佛在1910年時提供他教職，但他回絕了，選擇去普林斯頓。兩年後，他改變心意， 於1912年回到哈佛任教。?

Birkhoff代表了下一代完全在美國受教育的學(xué)者。他的數(shù)學(xué)才能聞名全世界，證明了即使不去歐洲，也可以得到世界級的數(shù)學(xué)教育。他和其他一些由美國大學(xué)栽培的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家， 都充分具備了將來能夠領(lǐng)導(dǎo)學(xué)術(shù)領(lǐng)域和數(shù)學(xué)系所的能力。美國本土的數(shù)學(xué)根基已在形成， 從而完成了Peirce生前未能實現(xiàn)的夢 想 。Birkhoff以及他同時代的數(shù)學(xué)家，將會證明重要的定理，做出許多卓越的貢獻(xiàn)。?

Birkhoff的重大成就多不勝數(shù)，首先是他關(guān)於有限制條件三體問題的著名研究 。這是Henri Poincaré在 1912 年去世前想解決的問 題 ， 結(jié)果Birkhoff在Poincaré去世後三個月內(nèi)解決了這個問題，不過， Birkhoff告訴他的學(xué)生Marshall Stone，做這個問題，讓他體重減輕了三十磅。這個證明成為將分析學(xué)的存在性證明連結(jié)到拓樸不動點(diǎn)定理的首例。?

麻省理工學(xué)院的知名數(shù)學(xué)家Norbert Wiener，把 Birkhoff比喻為「出現(xiàn)在哈佛數(shù)學(xué)蒼穹上的璀燦明星。……更獨(dú)特的是，Birkhoff的研究全是在美國完成，并未受益於任何國外的訓(xùn)練。」 Birkhoff標(biāo)志了美國數(shù)學(xué)成熟期的起點(diǎn)。他直到 1926年才造訪歐洲，當(dāng)時距他開始在哈佛教書 已有14年。?

附帶一提，Wiener在1913年從哈佛大學(xué)得到博士學(xué)位，正是Birkhoff回到哈佛的第二年。Wiener是一位年輕的天才，改變了機(jī)率和資訊論的面貌。但他極不善於待人接物，無法和系上每個人相處 融洽。他轉(zhuǎn)到麻省理工或許對數(shù)學(xué)界是最好的結(jié) 果，因為在那里他能夠更自由的鉆研應(yīng)用數(shù)學(xué)， 并且對工程科學(xué)的基礎(chǔ)做出巨大貢獻(xiàn)。?

Birkhoff的眾多成就使得他成為20世紀(jì) 最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在廣義動力系統(tǒng)的工作為他贏得了首屆的 B?cher 獎。1927年，Birkhoff出版了經(jīng)典著作《動力系統(tǒng)》(Dynamical Systems)。它把動力系統(tǒng)的架構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)擴(kuò)展到星球軌 道的課題之外。該書包含了許多創(chuàng)見 不過并未包含他在這個主題上最重要 的 貢 獻(xiàn) ：遍 歷 性 定 理 （ ergodic theorem）。Wiener稱贊Birkhoff的遍歷 性定理是一項精心力作；「遍歷性假設(shè)的正確表述及其定理的證明，是美國數(shù)學(xué)界·乃至全球數(shù)學(xué)界，近來的 最 重 要 成 就 之 一 ， 這 兩 者 都 是 由Birkhoff完成的。」這個卓越的定理可 以上溯到Maxwell 和 Ludwig Boltzmann 試圖建構(gòu)氣體動力論的努力。?

Birkhoff是第一位數(shù)學(xué)家，把變分學(xué)的極大極小論證，用在與球面拓樸等價的曲面上，得出不無聊的簡單封閉測地線。這可以視為是威力強(qiáng)大的Morse理論的起點(diǎn)。創(chuàng)造這個理論 的Marston Morse正是Birkhoff的學(xué)生。Birkhoff對廣義相對論 也有重要貢獻(xiàn)，他證明了一個（和黑洞有關(guān)的）定理，說愛 因斯坦方程只有一個球?qū)ΨQ的解。他還提供了解決四色問題 的重要工具，這個數(shù)學(xué)名題在60年後的1976年才由Kenneth Appel和Wolfgang Haken解出。?

除了數(shù)學(xué)成就之外，Birkhoff還指導(dǎo)了46名博士生，迄今為止，出自他門下的數(shù)學(xué)家已超過7300名。他有四名學(xué)生日後成為美國數(shù)學(xué)會的主 席：Stone·Joseph Walsh·Charles Morrey和Morse。他的學(xué)生又再栽培出許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。例如，Walsh在取得博士學(xué)位後留在哈佛，帶出了 31名學(xué)生，其中包括Lynn Loomis和 Joseph Doob 。Birkhoff 有三位門生——Morse·Hassler Whitney和Stone─獲得國家科學(xué)獎?wù)隆Ｋ钠渌S多 學(xué)生都有卓越的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，并且在 哈佛或是美國的其他系所成為領(lǐng)導(dǎo)人。?

四、分析·代數(shù)與拓樸的相遇

Morse·Whitney和Mac Lane·Marston Morse是Birkhoff的博士生，他的論文題目是關(guān)於如何建立分析與拓樸的關(guān) 聯(lián) ， 這是一個已由 Riemann · Poincaré 和 Birkhoff奠立的傳統(tǒng)。Morse特別感興趣的是函數(shù)達(dá)到極大值·極小值或某種平穩(wěn)值 的（臨界）點(diǎn)。這屬於古典變分學(xué)的一部分，其歷史可以回溯至Euler，乃至Fermat。Birkhoff已用它來證明與球面同胚的閉曲面 上的封閉測地線的存在性定理。但Morse 更進(jìn)一步把臨界點(diǎn)的存在性連結(jié)到該函數(shù) 定義空間的拓樸性質(zhì)。他的方法在現(xiàn)代拓 樸學(xué)有深刻的用途，因此被稱為Morse理論。?

在Morse及其追隨者Raoul Bott· Stephen Smale 等人手中 ， Morse理論成為研究微分拓樸 的基本工具。一些重要的方法， 像 Smale 發(fā)展出來的柄把空間分解 （ handle-body decomposition ） ， 是根據(jù)Morse 理論而來的。Smale是Bott的 學(xué)生 。四維以上的Poincaré猜想即是用Morse理論解決的。?

Hassler Whitney也是Birkhoff的學(xué)生， 他發(fā)展了把流形浸入歐氏空間的理論。流形上的向量叢，即是由此研究衍生的課題。特別是，Whitney引入了向量叢 的 Stiefel-Whitney 類。這種示性類的想法， 又被Pontryagin 和陳省身進(jìn)一步發(fā)展。

示性類和纖維叢的理論協(xié)助奠立了現(xiàn)代幾何和拓樸的礎(chǔ)石。它是規(guī)范場論的基礎(chǔ)，規(guī)范場論是用 於描述所有粒子基本作用力的理論。在發(fā)展示性類理論的過程中， Whitney也引入了上同調(diào)理論，這是現(xiàn)代拓樸和代數(shù)的基本觀念。（James W. Alexander獨(dú)立發(fā)明了上同調(diào)的觀念。）?

我任職普林斯頓高等研究院時遇見Whitney，他那時顯得 相當(dāng)孤單。他跟我說，他是我在柏克萊的老師Morrey的好友。Morrey也是Birkhoff的學(xué)生，他是偏微分方程現(xiàn)代非線性理論的創(chuàng)始人。Morrey的一項知名成果是1949年 時解決Plateau問題─他證明三維空間中的任何閉曲線，如果符合適當(dāng)條件 ， 就會是某肥皂膜的邊 界 。受到 Plateau問題的啟發(fā)，Morrey向Whitney請教：可以浸入平 面的閉曲線該如何分類？Whitney告訴我，他把Morrey的 問題當(dāng)成挑戰(zhàn)。Whitney的方法又在Smale手中得到進(jìn)一步發(fā)展。這個理論的最廣義形式現(xiàn)在被Mikhail Gromov稱 為h原理，據(jù)他所云，這理論具有廣泛的用途。?

Saunders Mac Lane不是哈佛的畢業(yè)生，他是在哥廷根受 Hermann Weyl 指導(dǎo)的學(xué)生 。當(dāng) William Caspar Graustein當(dāng)哈佛系主任時，Mac Lane接受了Peirce講師的教職。他在哈佛待到 1947年，然後轉(zhuǎn)到芝加哥大學(xué)。他和Samuel Eilenberg合作，把拓樸和代數(shù)這兩門重要的數(shù) 學(xué)分支融合成一門兩者緊密結(jié)合的新學(xué)問；他 們一起發(fā)展出同調(diào)理論的公設(shè)化研究理路；建構(gòu)了在同倫理論計算中非常重要的Eilenberg-MacLane空間。這些想法也引發(fā)了代數(shù)和群論的重大發(fā)展。?

五、 復(fù)分析與幾何

芬蘭人Lars Ahlfors 1907年出生於赫爾辛基，他是第一個在哈佛數(shù)學(xué)系獲得終身教職的歐洲數(shù)學(xué)家。當(dāng)加入哈佛時，他已經(jīng)是第一流的國際 明 星 。他在1936年 ， 與麻省理工的 Jesse Douglas共同獲得第一屆的費(fèi)爾茲獎。Ahlfors後來還獲得沃爾夫獎?

1935年時 ， 在 Constantin Caratheodory 的大力推薦 之下，Graustein提供給他 為期三年的客座講師職。他最後在1946 年加入數(shù) 學(xué) 系 ， 1977年退休 。Ahlfors是繼19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家Riemann之後，又一個復(fù)分析領(lǐng)域（特別是從 幾何角度來探討）的偉大開拓者。?

Ahlfors是芬蘭大數(shù)學(xué)家Rolf Nevanlinna的弟子，後者帶他認(rèn)識了Denjoy猜想，這是一個關(guān)於復(fù)平面上全純函數(shù)漸近行為的著名猜想。Ahlfors在1930年解決這個問題。約略同時，瑞典數(shù)學(xué)家Arne Beurling在巴拿馬獵鱷魚時，也獨(dú)立 提出他的證明。（Beurling在1948至1949年任教於哈佛， 然後去了普林斯頓的高等研究院。）Ahlfors還曾提到：「我不知道德國數(shù)學(xué)家Gr?tzsch已經(jīng)發(fā)表了數(shù)篇和我想法 類似的論文。」Beurling成為他畢生的摯友和競爭者，而 Ahlfors 也把 Herbert Gr?tzsch 的 一些想法運(yùn)用到準(zhǔn)保角（quasi-conformal）映射的研究上。?

Ahlfors創(chuàng)立并且觸及復(fù)分析的每一面向，大部分是從幾何的角 度。他在證明Denjoy猜想時，已經(jīng)研究了保角映射中長度和面 積的扭曲。他廣泛的發(fā)展這些幾何想法，然後將成果總結(jié)成一 篇 名 為 〈 覆蓋空間的主定理 〉 （ Zur Theorie der überlagerungsfl?chen ）的論文 ， 於1935年發(fā)表在Acta Mathematica。這篇論文為他在次年贏得費(fèi)爾茲獎。關(guān)於這面獎牌有個逸聞：1944年，當(dāng)Ahlfors需要籌集從瑞典到瑞士的旅費(fèi)，他把獎牌送進(jìn)了當(dāng)鋪（後來經(jīng)由幾位瑞典友人的協(xié)助，獎 牌被贖了回來）。在1939至1940年芬蘭冬季戰(zhàn)爭期間，他花了 大量時間躲在防空掩體里， 撰寫一篇名為〈 半純曲線論〉（The Theory of Meromorphic Curves）的專題論文，該文以非常幾何的方式，把Nevanlinna的理論推廣到多維空間中的復(fù)曲線。?

我的老師陳省身，在Ahlfors這篇論文發(fā)表四十年後，曾予以透澈研究。事實上，Ahlfors 透過Riemann面的幾何，給出了Schwarz引理的完美詮釋。它展示出負(fù)曲率如何有助於控制全純映射的行為。Ahlfors的這項原理激發(fā)了近五十年來高維復(fù)分析的發(fā)展。Ahlfors在極值長度（extremal length）·準(zhǔn)保角映射·Riemann面模空間·Klein群等主題的研究，開啟了現(xiàn)代復(fù)分析的新地平線。?

六、大戰(zhàn)馀波：Gleason·Mackey以及Hilbert空間

二次大戰(zhàn)時，由於教師參軍或自愿投入研發(fā)支 援同盟國，哈佛數(shù)學(xué)系大幅縮減。例如Stone 擔(dān)任美國數(shù)學(xué)學(xué)會的戰(zhàn)爭政策委員會主席；Walsh應(yīng)召入伍進(jìn)入海軍；Coolidge在七十歲的高齡還從退休重返教職，替正在保衛(wèi)國家的教授同僚教微積分。?

Mac Lane則領(lǐng)導(dǎo)以哥倫比亞大學(xué)為本營的應(yīng)用數(shù)學(xué)群，專門研究戰(zhàn)爭相關(guān)的問題。成員包括哈佛的拓樸學(xué)家Whitney；擔(dān)任Peirce 講師的Irving Kaplansky，他原來 是Mac Lane的博士生；另外還有哈佛講師George Mackey，他是Stone以前的學(xué)生。?

Garrett Birkhoff（G. D. Birkhoff的兒子和Loomis以及麻省理工學(xué)院的Norman Levinson合作，預(yù)測 空中發(fā)射魚雷的水底軌跡。他也和Morse與John von Neumann加入一個委員會，分析如何促進(jìn)防空炮彈的效用，以及穿射坦克裝甲的問題。戰(zhàn)後， Garrett Birkhoff開始探索混合純數(shù)與應(yīng)數(shù)的數(shù)學(xué)問題。G. D. Birkhoff則為哈佛的Howard Aiken尋找資金，建造當(dāng)時世界上最大·威力最強(qiáng)的計算器─哈佛馬克1號，用來做射擊彈道的計算，後來 也為曼哈頓計畫作計算。?

Stanislaw Ulam在1936至1940年成為哈佛學(xué)會（Harvard Society of Fellows）的年輕學(xué)者與數(shù)學(xué)系講師。他後來加入曼哈頓計畫負(fù)責(zé)繁復(fù)的數(shù)值計算，幫助設(shè)計出第一顆原子彈。Ulam後來發(fā)明蒙地卡羅法，以統(tǒng)計方法來解決數(shù)學(xué)問題。他也是發(fā)展氫彈的關(guān)鍵人物。物理學(xué)家 Edward Teller 曾經(jīng)這樣評價Ulam：在真正危急的時候，數(shù)學(xué)家仍然勝出，只要他真的很好的話。?

Andrew Gleason是耶魯?shù)拇髮W(xué)生， 1942年畢業(yè)之後旋即加入位於華 盛頓特區(qū)的海軍密碼分析小組。他曾協(xié)助破解日軍的密碼，偉大的計算機(jī)科學(xué)家Turing盛贊他的研究聰穎。1946 年Gleason離開海軍，先成為哈佛學(xué)院的年輕教師，後來成為數(shù)學(xué)系的教授直到退休。一直到1990年為止，他一 直都是政府情報體系的顧問。他引入了許多分析密碼的重要數(shù)學(xué) 技術(shù)，結(jié)合了他的編碼理論研究與龐大的純數(shù)學(xué)課題研究。?

Gleason非常著迷於Ramsey理論，這是一門和數(shù)算東西·尋找秩序有關(guān)的理論，可以從似乎無 秩序的結(jié)構(gòu)中找出有組織的子結(jié)構(gòu)。他和Robert Greenwood 算出R(4, 4)等於18，也就是說你必須找到18個人，才能確保其中至少有4個人完全不認(rèn)識對 方，或是彼此都認(rèn)識。

不過Gleason最知名的工作是Hilbert第五問題。這個問題屬於1900年Hilbert在巴黎世界數(shù)學(xué)家大 會所提出的23個問題。第五問題是局部歐氏群 是否必然是李群。許多偉大的拓樸學(xué)家都曾經(jīng)試 圖解決這個問題但卻都失敗。Gleason為這個問 題做出最關(guān)鍵的貢獻(xiàn)，最後才由高等研究院的 Deane Montgomery與紐約城市大學(xué)皇后學(xué)院的 Leo Zippin聯(lián)合解決。?

Gleason并沒有博士學(xué)位， 他自認(rèn) Mackey是他的恩師。Mackey是現(xiàn)代 群表現(xiàn)論的鑄造者，他也在量子物 理基礎(chǔ)上有重要貢獻(xiàn)。Mackey對他 的指導(dǎo)教授Stone與von Neumann所 構(gòu)筑的理論很感興趣，這項理論試圖解釋Heisenberg的測不準(zhǔn)原理，也就是一個粒子的位置測量精確度與其動量測量精確度成反比 。Mackey 可以將 Stone-von Neumann 的理論擺置在一個廣義的數(shù)學(xué)脈絡(luò) 中。Andre Weil隨後注意到Mackey 理論中的特例，和數(shù)論中的一些深 刻理論很有關(guān)系。?

Mackey對於Max Born法則很感興趣，亦即在某時某地找到一 物的機(jī)率密度等於其波函數(shù)絕 對值的平方。Von Neumann與 Mackey想要從第一原理出發(fā)， 說明以單位向量表示狀態(tài)是數(shù) 學(xué)上可證明的 。由 於 Von Neumann用的一些公設(shè)約束性太大，Mackey想要移除它們。Mackay重新將這個問題用精準(zhǔn) 的數(shù)學(xué)形式來呈現(xiàn)，寫成一個 猜想。Gleason被這個猜想所激 勵，投入研究最後證明它。?

Mackey的表現(xiàn)論著重於酉表現(xiàn)（ unitary representation），他以導(dǎo)出表現(xiàn)（induced representation） 為基礎(chǔ)， 發(fā)展了所謂的「Mackey 機(jī)器」。這個理論在包括量子 物理與數(shù)論的幾項主題的發(fā)展上有很深刻的影響。

七、歐洲人：Zariski·Brauer與Bott

二次大戰(zhàn)之後，有好幾位一流歐洲數(shù)學(xué)家加入 哈佛數(shù)學(xué)系的陣容。除了 Ahlfors(1946)之外， 還有Oscar Zariski (1947)·Richard Brauer (1952) 和Raoul Bott (1959)。每一位都對這個系以及他們的專長領(lǐng)域造成巨大的影響，這些領(lǐng)域主要 分別是代數(shù)幾何·群論和拓樸。?

雖然Zariski是第一位在哈佛數(shù)學(xué)系拿到終身教職的猶太人，他在數(shù)學(xué)上的宏大沖擊和宗教信仰并無關(guān)系（事實上他自認(rèn)是無神論者）。Zariski和Weil重新整頓了代數(shù)幾何，將它置於比從前更堅實·也更代數(shù)的基礎(chǔ) 之上，他們形塑了代數(shù)幾何領(lǐng)域的日後發(fā) 展，為未來幾十年的進(jìn)步奠下基石。?

1899年Zariski出生於俄羅斯的科布林，1918年就讀於基輔大學(xué)。他在當(dāng)時的俄國革命中受傷，離開俄羅斯到羅馬薩皮恩札大學(xué)讀書，當(dāng)時這里是研究代數(shù)幾何的世界中心，教師陣容中有三位偉大的代數(shù)幾何家：Guido Castelnuovo·Federigo Enriques與Francesco Severi。他們就是（義大利）古典代數(shù)幾何的象徵與本尊。代數(shù)幾何是一個以各種方式結(jié)合代數(shù)與幾何的領(lǐng)域，運(yùn)用代數(shù)技巧來解決幾何問題。?

Zariski在羅馬待了三年，并深深受到義大利幾何學(xué)家的影響。不過Castelnuovo卻告訴他：「你雖然在這兒和我們一起，卻不是我們的一 員。」Castelnuovo此言并非斥責(zé)，而是一種敦厚的善意，因為Castelnuovo曾告訴Zariski，義大利學(xué)派的方法已經(jīng)窮竭所有可能，走到盡頭，不適合再往前發(fā)展。後來Zariski發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)義大利學(xué)派的代數(shù)幾何「基礎(chǔ)搖晃不安。」他需要修正Severi的證明，但Severi卻說：「我們貴族 是不 做證明 的 ， 證明是你們庶民的事 。」?

Zariski將代數(shù)幾何基礎(chǔ)的重建視為己任，并在抵達(dá)美國之後才完成。?

Castelnuovo和Severi鼓勵Zariski去研究Solomon Lefschetz新穎的拓樸研究，他接受這項建議，并透過Lefschetz協(xié)助找到工作，1927年成為約翰霍普金 斯的研究員，一年之後就升任副教授 Zariski在約翰霍普金斯任職大約20年後，成為哈佛的一員。?

在這段期間，Zariski決定從嶄新的角度探索代數(shù)幾何，1935年，他出版《代數(shù)曲面》，在二維曲面上實踐他的新觀點(diǎn)。事實 上，Zariski重建了代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，而他所使用的語言是現(xiàn)代的交換代數(shù) ， 這 是 他1934至1935年在普林斯頓高等研究院，從Emmy Noether那里學(xué)到的。?

在1937年，Zariski曾說：「我的研究特性經(jīng)歷了劇烈的改變，不論是使用的方法或是問題 的敘述方式，其特徵都益發(fā)代數(shù)取向。」 但 是他也補(bǔ)充說：「純粹形式的代數(shù)或形式數(shù)學(xué)并非我天生的性向，我和真實的生活也有 非常多的接觸，那就是幾何學(xué)，幾何才是真實的生活。」?

關(guān)於這個新的代數(shù)取徑 ，Zariski 的博士廣中平佑（Heisuke Hironaka）說，一旦證明是以代數(shù)為基礎(chǔ)，嚴(yán)格性 就是自然的結(jié)果，這也幫忙數(shù)學(xué)家處理那些無法眼見的高維度形體 。這個想法對 Weil 和 Zariski發(fā) 展以任意體為基之幾何也極為重要，也就是說他們 所處理的代數(shù)空間并不只限於實數(shù)或復(fù)數(shù)坐標(biāo)。其中最奇特的是有限代數(shù)解形（variety），事後證明這對現(xiàn)代數(shù)論非常重要。?

1940年，在Birkhoff的強(qiáng)力推薦下，哈佛準(zhǔn)備提供Zariski終身教職，填補(bǔ)剛退 休的Coolidge與1941年初Graustein過世所留下的空缺。於是，該年Zariski到哈 佛訪問一年。不幸的是，由於日本轟 炸珍珠港， 大學(xué)當(dāng)局凍結(jié)了教職 ， Zariski只能回約翰霍普金斯大學(xué)擔(dān)任教學(xué)吃重的職務(wù)。不過在這段期間， Zariski證明了他知名的「主定理」以及連通性定理。根據(jù)他的博士生David Mumford所言，他運(yùn)用代數(shù)中的基進(jìn)概念，并萃取了幾何的內(nèi)涵。這正是Zariski長久努力為代數(shù)幾何奠基研究的 一環(huán)。整體而言，Zariski成功撐起代數(shù)幾何基礎(chǔ)的成就，也許比他證明的任 一個別定理都還更重要。?

Zariski在1947年終於成為哈佛教席的一員，他讓哈佛在接續(xù)而來的三十年中，成為代數(shù)幾何 的世界中心，就像幾十年前的羅馬大學(xué)一樣。Zariski將頂尖的學(xué)者帶進(jìn)哈佛，他推動關(guān)鍵的教席任命，邀請明星級的訪問學(xué)者如Jean Pierre Serre與Alexander Grothendieck，并且以他研究的高度與個人魅力，吸引了一批優(yōu)秀的研究生。?

Zariski在四十年代的重要數(shù)學(xué)成就，是關(guān)於代數(shù)曲線與代數(shù)曲面 奇點(diǎn)的解消（ resolution ）， 這導(dǎo)致數(shù)十年後，1964年廣中平佑所有維度奇點(diǎn)解消的偉大定理， 他另一位學(xué) 生 Shreeram Abhyankar 在1956年解決了有限體代數(shù)流形（不超過二維）的解消問題，約十年後，Abhyankar 又解決了三維的情況。?

除了廣中平佑與Abhayankar之外，Zariski所訓(xùn)練的杰出學(xué)生還有Mumford與Michael Artin， Zariski學(xué)生的整體成就改變了整個代數(shù)幾何的主題。今天關(guān)於代數(shù)幾何最核心的部分，大多得歸功於這一群數(shù)學(xué)家。?

Richard Brauer在他職業(yè)生涯的中期來到哈佛，當(dāng)時他的整體成就已經(jīng)令人印象深刻，但是此後他還有更多的成 果。他是Issai Schur在柏林大學(xué)的學(xué)生， 博士論文的主題是群表現(xiàn)。1933年， 他離開德國，在高等研究院待了一段時間 ， 1934至1935年成為大數(shù)學(xué)家Weyl的助理，隨後在經(jīng)歷多倫多大學(xué) 與密西根大學(xué)的教職後，加入哈佛的教席。在多倫多時，Brauer投入有限群及其群表現(xiàn)的研究，在這個主題里， 他獲得許多優(yōu)異的成就，并結(jié)合成一 個宏大的理論：有限單群的分類，這是所有有限群的基礎(chǔ)。他在1955年的論文〈偶數(shù)階的群〉中提出一個分類單群的策略，後來被稱為「Brauer綱領(lǐng)」。?

Walter Feit說是Brauer踏出關(guān)鍵的第一步，才讓他們有可能證明出知名的Feit-Thompson定理：「所有奇數(shù)階有限群都是可解的。」John G. Thompson因為這個定理獲得費(fèi)爾茲獎。?

1972年，Zariski的另一個學(xué)生Daniel Gorenstein提出一個16步驟的綱領(lǐng)，試圖證明所有有限單群若不隸屬於18族群，就只屬於例外的26種「異散群」（sporadic groups）。這個綱領(lǐng)的最後一塊拼圖， 是一篇長達(dá)1200頁的論文，作者是加州理工學(xué)院 的Michael Aschbacher與伊利諾大學(xué)芝加哥校區(qū)的 Stephen Smith。?

1923年，Raoul Bott生於布達(dá)佩斯，他畢業(yè)於加拿大麥基爾大學(xué)，并在Richard J. Duffin的 指導(dǎo)下，在卡內(nèi)基美侖大學(xué)就讀應(yīng)用數(shù)學(xué)研 究所。他和Duffin解決了電路網(wǎng)理論中一個 十分有挑戰(zhàn)性的問題，Weyl十分欣賞這項研究，邀請Bott到普林斯頓高等研究院訪問。在那里Bott結(jié)識了Morse，學(xué)習(xí)Morse的臨界點(diǎn)理論，并將它推廣到臨界點(diǎn)非孤立的情況。

運(yùn)用這個推廣的Morse理論，Bott進(jìn)行了計算李群同倫群的卓越研究，還發(fā)現(xiàn)人意外的現(xiàn)象：他發(fā)現(xiàn)當(dāng)n很大 時，SO(n)的同倫群竟然出現(xiàn)周期8的現(xiàn)象。而SU(n)的同倫群則出現(xiàn)周期2。根據(jù)Michael Atiyah的說法，Bott這篇1957年的論文是一枚「炸彈」，現(xiàn)在這項定理稱為「Bott周期性定理」。這個發(fā)現(xiàn)影響極大，開始了拓樸與幾何一波接一波的發(fā)展，尤其是K理論的進(jìn)展，這是關(guān)於向量叢的研究，肇 始於 Grothendieck · Serre · Atiyah 與 Friedrich Hirzebruch。這是Bott在他還 是密西根大學(xué)教授時所完成的工作。?

在John Tate的大力推薦下，Bott於1959年來到哈佛就職，系主任Zariski說：「Bott 正是讓他感覺無聊沉悶的系可以再度鮮活起來的最佳人選。」Bott在哈佛一直待到他退休為止。?

Bott其他極具影響力的工作包括了1964年的Atiyah-Bott固定點(diǎn)公式，以及他與Atiyah合作的等變上同調(diào)理論 （ equivariant cohomology）。?

Bott對數(shù)學(xué)社群與數(shù)學(xué)系的影響遠(yuǎn)超出他所發(fā)表的論文。他訓(xùn)練出好幾位杰出的數(shù)學(xué)家， 包括在密西根時期的Smale，哈佛時的Daniel Quillen與Robert McPherson。?

雇用Ahlfors·Zariski·Brauer·Bott以及隨之而來的其他數(shù)學(xué)家，哈佛向大洋另一邊的數(shù) 學(xué)家打開大門，更豐富了數(shù)學(xué)系·數(shù)學(xué)領(lǐng)域· 甚至數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。?

Bott說過他感謝「這個國家，以崇高的心靈與慷慨的胸懷接受這麼多來自不同海岸的人， 不介意我們的口音與其他差異，讓我們能適才適性，竭盡所能。」?

八、結(jié)論

今天的哈佛數(shù)學(xué)系和往日一樣優(yōu)秀，承續(xù)著開系先賢的傳統(tǒng)。在2009年的一次晚宴中，Tate宣稱現(xiàn)在是本系的全盛時期。這句話也許略嫌夸張，但是我必須承認(rèn)，這個系繼承了讓它在過去150年如此偉大的恢弘傳統(tǒng)。?

哈佛數(shù)學(xué)系規(guī)模仍然很小，只有18位資深教席。我們依然相信品質(zhì)是聘任終身教職時最重要的標(biāo)準(zhǔn)，也繼續(xù)開放給所有族裔與國籍的杰出數(shù)學(xué)家，只要他們愿意奉獻(xiàn)於研究， 并且為哈佛大學(xué)訓(xùn)練出最好的學(xué)生。?

Birkhoff於1912年來到哈佛，從那時開始，在世界上最優(yōu)秀的心智領(lǐng)導(dǎo)之下，數(shù)學(xué)系已經(jīng)發(fā)展了100年的高階研究。?

回顧這段歷史，再比較其他國家還在奮力發(fā)展一流數(shù)學(xué)研究的大學(xué)，我們有下列結(jié)論：

1. 20世紀(jì)之交正是美國發(fā)展高層科學(xué)研究的恰當(dāng)時機(jī)，主要的大學(xué)如約翰霍普金斯·耶魯·芝加哥·哈佛都戮力於爭取歐洲最好的學(xué)者（例如Sylvester），并盡全力培育最好的學(xué)生（如Birkhoff·Whitney·Morse…）。這些 努力也受到大學(xué)校長（如Eliot）與院長（如 Graustein）的強(qiáng)力支持。他們都有極力成為 世界上最好大學(xué)的遠(yuǎn)大愿景。?

2. 在十九世紀(jì)下半， 美國的經(jīng)濟(jì)狀況大有改善， 其盛勢持續(xù)至今。私人捐贈者捐獻(xiàn)大量的金錢給大學(xué)，例如John D. Rockfeller捐給耶魯與芝加哥 ， Leland Stanford則捐贈他所有的錢財建立了史丹福大學(xué)。他們對高等教育的無私態(tài)度， 舉世無匹。而且這樣的奉獻(xiàn)態(tài)度依然保持到今天。

3. 基於大學(xué)所提供的良好環(huán)境，以及優(yōu)秀大學(xué)彼此之間的良性競爭（相較於某些新發(fā)展國家大學(xué)的臺面下競爭）， 教授與學(xué)生於是能奉獻(xiàn)精力於原創(chuàng)性的研究。?我們也能體認(rèn)到當(dāng)時研究者研究數(shù)學(xué)時的強(qiáng)大自信。例如Birkhoff在無人指導(dǎo)的情況下，竟然敢孤身嘗試解決Poincaré留下來的有限制條件三體問題，顯示了當(dāng)時數(shù)學(xué)領(lǐng)導(dǎo)者的自信。Birkhoff不覺得他有需要前往德國跟隨大師學(xué)習(xí)，自己就開展了許多新穎的領(lǐng)域，也栽培了具有同等創(chuàng)造力的學(xué)生。他之所以能完成這份艱難的工作，部分得歸功於哈佛能夠匯聚一批資賦優(yōu)異的學(xué)生，這些哈佛大學(xué)部與研究所學(xué)生的總體貢獻(xiàn)讓哈佛成為名校，他們跟隨大師學(xué)習(xí)，開辟自己的領(lǐng)域與研究子題。?

4. 這些領(lǐng)導(dǎo)人心胸開闊，愿意嘗試新穎的研究方向。從Birkhoff時期一直到今天，哈佛的 教師與學(xué)生在變換新研究方向時從來不畏縮。因此開拓了很多新領(lǐng)域：現(xiàn)代拓樸學(xué)·動力系統(tǒng)·遍歷論·資訊論·非線性偏微分方程·幾何觀點(diǎn)的復(fù)變分析·基於代數(shù)的代數(shù)幾何基礎(chǔ)·群論·數(shù)論等等，幾乎包括所有對數(shù) 學(xué)具有根本重要性的領(lǐng)域。?

5. 數(shù)學(xué)系的氣氛非常友善，因此許多絕對一流的訪問學(xué)者都能與我們的教授和學(xué)生進(jìn)行交流。在這樣的環(huán)境中，新理論逐一誕 生，并進(jìn)而刺激年輕學(xué)生繼續(xù)向前探索。?

6. 盡管資深教師的人數(shù)很少，但他們都投入大量努力去教導(dǎo)學(xué)生。教師和學(xué)生愉快的 一起工作，他們以哈佛為榮，愿意維護(hù)哈佛的崇高名聲。?

7. 美國是最大的移民國家，十八世紀(jì)前開發(fā)東部和南部，獨(dú)立戰(zhàn)爭更要聯(lián)合法國對付英國在海上的威脅，十九世紀(jì)時向西部殖民，充滿冒險開創(chuàng)的作風(fēng)，影響及於學(xué)術(shù)。同時多民族的社會鼔勵良性的學(xué)術(shù)競爭，開國至今，社會大致上兼容并蓄，這在其 他國家并不多見。?

讓哈佛如此偉大的也許還有其他原因，但我相信以上是最關(guān)鍵的因素。

—THE END—

編輯?∑Gemini

來源：翻譯教學(xué)與研究

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的建设“一流本科专业”？急啥，先看看哈佛数学系从三流到一流的150年的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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