这个数学问题，打一局台球就解决了
小時候的數學課上我們都學習過最大公因數和最小公倍數。而在娛樂數學中，數學臺球是一種利用幾何手段來確定兩個自然數的最大公因數和最小公倍數的方法。這也是動態臺球領域中軌跡分析的一個簡單例子。
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數學臺球是我們平時在普通臺球桌上打球的一個理想化的產物。在數學臺球中，球會遵循和普通臺球一樣的規律彈跳，但是這時的球本身是沒有質量的，因而也不會有摩擦存在。同時桌邊和桌角也沒有球袋來吞球，這意味著球會在球桌的側邊無限次地彈來彈去，永不停息。
數學臺球的一個迷人之處，在于它提供給我們一種用于尋找兩個自然數的最大公因數和最小公倍數的幾何手段。如下面這個圖所示這樣（球從左下角出發，經多次反彈后到右下角停止），我們取自然數40和15，最后得到的最大公因數是5，最小公倍數則是120。那么這個結構的工作原理是什么呢？我們接下來就來看一看。
自然數40和15的最大公因數是5，最小公倍數是120
完整動畫可以戳這里
基礎知識
這里是一些基礎概念。設想給定兩個正整數a和b，兩者中的任何一個都不是另一個倍數（一個是另一個的倍數這種情況比較簡單，我們留給讀者自己證明）。對于臺球桌，我們采用一個長寬為a和b的矩形。我們從桌子的一角同側邊成45°把球擊出，臺球從桌子側邊彈來彈去，在這過程中速度不會減弱減小，并且根據反射定律，臺球每次到達一個側邊時都會以45°反射（這樣一來路徑只會向左或向右轉90°）。臺球的路徑就由這些線段組成。
我們可以斷定，在這樣一組路徑之后，球最終會擊中另一個角。而球擊中這個角落之前所經過的路徑長度除以，就是a和b的最小公倍數；如果我們把臺球桌分解成一個一個單位方塊（即邊長為1的正方形），最小公倍數就等于臺球走過的路徑上單位方塊的數目。
我們同時還能斷定，整個路徑一定會出現相交點。在起點不遠處就會出現一個相交點。兩個給定自然數的最大公因數就等于從起點到最近的相交點的距離除以。它還等于從起點到第一個自交點的路徑穿過的單位方塊數。
鏡像的臺球
在鏡中觀察一個物體時，你會覺得這個物體就在鏡子后面。值得注意的是，這時有三個點是對齊的：標記位置的點、在鏡子上看到物體的反射點以及你“看到”的鏡中的虛點。為了證明我們上面的幾個推斷，我們將利用這個簡單的想法，把臺球桌的側邊看成鏡面。
我們把a和b的最小公倍數寫作??，它是同時是a和b的倍數的最小的自然數。再給出某些正整數m和n，我們可以把寫出?。舉個例子，對于和，然后我們可以寫出來
在這里m=3，n=2。
這里給定的兩個數字a和b，其中哪一個都不是另一個的倍數，我們先做一個邊長為??的正方形。它可以分解成??個長寬為a和b的長方形。顯然這是因為m個a相加，和n個b相加都等于??。因為??是a和b的最小公倍數，我們的正方形是用長寬為a和b的長方形能鋪滿的最小的正方形了。我們把這些長方形中左下角的記作R，右上角的記作S（如下圖所示）。
在這個例子中a=4，b=6，最小公倍數就是3x4=2x6=12，所以這個正方形的邊長是12，里面包含了3x2=6個長方形。
現在我們從左下角開始，到右上角結束，畫出這個正方形的對角線d。
從d中我們要畫一條曲折的路徑t，通過重復反射之后，它整個都落在長方形R中。路徑t就是數學臺球在長方形R內移動的路徑。
我們從右上角的S開始，沿同對角線d相交的側邊做一個鏡像，在我們這個例子中，這條側邊也是長方形S下方的長方形的側邊，我們把那個長方形記作S’。
沿S的底邊做一個鏡面反射，把部分對角線反射到下面的長方形中去
現在把S’沿與d交叉的邊再次反射（在我們的例子中，是沿S’的左邊，注意不是往上反射回S）。
把S’反射到左邊
一直這樣操作下去，不停把長方形沿與d交叉的側邊進行反射，直到最終到達左下角的長方形R里。這樣重復的反射之后，我們就由對角線d得到了曲折路徑t。
最后的反射就得到了在長方形R內部的路徑t。
路徑t就是從R的左下角射出的球在R的側邊成45°反射之后得到的路徑。從下圖可以更清楚地看到。（動畫可以戳這里）
為了證明確實如此，我們先回想一下，球每次和側邊撞擊之后，都會向左或者向右轉90°彎?？梢钥吹铰窂絫確實是這樣。從下面的圖里也很好解釋這一點。
路徑t每次碰上R的側邊都會轉90°彎。
因為路徑t是S的不斷沿長方形的側邊反射得到的，t的終點也是S的右上角頂點不斷反射得到的，所以t的終點也是R的一個頂點。
路徑t的長度則是等于對角線d。因為任意正方形的對角線長度都等于邊長的倍（這一點來自于畢達哥拉斯定理），所以有：
是路徑t的長度。重新組合一下，我們有：
這就是我們想要證明的結論：球的路徑長度除以，就是a和b的最小公倍數。
對于我們所舉的例子而言，這個方法很完美，但是我們能保證它對任意值的a和b（它們彼此不是對方的倍數）都成立嗎？唯一可能出錯的地方在于，對角線d在正方形內部就經過了一個長方形的某一個頂點，這樣的話，我們就無法確定哪一邊能反射到角上了。
我們接下來證明這一點是不可能發生的。我們很容易知道，對角線上的任何一點P都能確定一個正方形：只要垂直向下、水平向左畫直線與原正方形相交就可以了。
對角線上的任何一點都能確定一個正方形。
如果這樣一個點也正好是某一個長方形的頂點，那么我們這個小正方形就應該能夠被長寬為a和b的長方形鋪滿——但這是不可能的，正如我們之前所說，邊長為??的正方形已經是能夠被鋪滿的最小正方形了。
我們已經說明了??等于路徑t的長度除以，接下來我們來看看單位方塊。
路徑穿過的方塊
要數一下路徑t穿過的單位方塊（即邊長為1的正方形）的個數，我們要先把長方形R畫成坐標系統的形式。橫軸和縱軸如下圖所示，單位方塊的頂點的坐標都是整數。
長方形R和它構成的坐標系統。其中路徑t經過的單位方塊的頂點的坐標用紅色標出。
很明顯如果t穿過了一個單位方塊，它同時會沿著其對角線運動。我們還可以看到，如果一個單位方塊的頂點落在了路徑t上，它的橫縱坐標加起來等于一個偶數。任何一個單位方塊都只有兩個這樣的頂點，它們位于一條對角線的兩端，所以，t只能經過單位方塊的兩條對角線中的一條。
路徑t同時也不可能兩次經過單位方塊的對角線，無論是兩次方向相同還是兩次方向相反。這一點我們留給讀者自己證明。讀者需要證明t的終點不同于它的起點。這樣的話，m和n中至少有一個是偶數，同時要注意t的終點是由S的右上角的頂點不斷反射而成的。
我們現在知道，路徑t不會穿過某個單位方塊超過一次，同時它總是沿著單位方塊的對角線方向。因為單位方塊的對角線長度是，t經過的單位方塊的個數就是：
這和我們之前的推斷一致。
最大公因數
我們之前斷言說，a和b的最大公因數??是從起點到最近的自交點的距離除以，也等于從起點到第一個自交點的路徑穿過的單位方塊數。
我們先假設??，這樣的話a和b的最小公倍數等于二者的乘積?（這一點讀者可以自己證明）。根據我們之前的結果，那路徑穿過的單位方塊的個數也是??。因為長方形的長寬是a和b，那它內部就一共有??個單位方塊。而因為路徑不會穿過任何一個單位方塊超過一次，那么路徑就必須穿過了所有單位方塊。
在這個例子中a=3，b=8，最大公因數是1，最小公倍數是24。
我們已經知道，落在路徑t上的單位方塊的頂點的橫縱坐標相加都等于偶數。反過來，路徑t經過了每一個單位方塊，意味著每一個坐標和為偶數的頂點都落在了t上。
這意味著(0,0)?、(0,2)?、(2,0)??和(2,2)這些點都在t上。而這只有當(1,1)是t的一個自交點時才成立。
因而(1,1)是t和自身相交得到的一個交點，它也是沿著t離(0,0)最近的點。(1,1)到(0,0)的距離是，除以就得到了1，即上面例子中a和b的最大公因數。從(0,0)到(1,1)沿t穿過的單位方塊的數目也是1。這就證明了在這個例子中我們的推斷。
如果??，我們可以通過一個因子??來重新調整整個坐標的標度：把a和b除以它們的最大公因數??，我們會得到兩個最大公因數為1的正整數。這時再重復上面的構造，然后再把橫縱坐標軸乘以??，把整個坐標系統放大。單位方塊就變成邊長為??的正方形。所有和具體長度值無關的幾何性質（比如路徑形狀，經過的頂點等等）都不會受坐標縮放的影響。
在這個例子中a=9，b=24，最大公因數是3。除以3之后我們得到3和8，和我們舉的例子一樣。把前面的例子中的情況擴大3倍，就得到了新的圖像，單位方塊就變成了邊長9的正方形。
路徑第一段中離起點最近的自交點，距離起點的長度是??，從而?是等于從起點到第一個自交點的路徑穿過的單位方塊數。
原文鏈接：
https://plus.maths.org/content/arithmetic-billiards-0
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_billiards
—THE END—
作者：Antonella Perucca
翻譯：Dannis
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的这个数学问题，打一局台球就解决了的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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