π里包含了所有可能的数字组合吗?
“π,圓周長與其直徑之比,這是開始。后面一直有,無窮無盡。永不重復(fù)。就是說在這串?dāng)?shù)字中,包含每種可能的組合。你的生日,儲物柜密碼,你的社保號碼,都在其中某處。如果把這些數(shù)字轉(zhuǎn)換為字母,就能得到所有的單詞,無數(shù)種組合。你嬰兒時發(fā)出的第一個音節(jié),你心上人的名字,你一輩子從始至終的故事,我們做過或說過的每件事,宇宙中所有無限的可能,都在這個簡單的圓中。用這些信息做什么,它有什么用,取決于你們。”
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在《疑犯追蹤》S02E11里,“宅總”哈羅德·芬奇說了這段話
很多觀眾看到這一段之后十分感動,還有人感慨:為什么我們的數(shù)學(xué)老師沒有這么教我們呢?
之所以我們的老師不講,是因為這段話在數(shù)學(xué)上是不對的。
無理
宅總的前兩句話正確地描述了π的一個屬性:無窮無盡且永不重復(fù)——換句話說,π是個“無限不循環(huán)小數(shù)”,也就是“無理數(shù)”。
但是,一個無理數(shù)并不一定能包含“每種可能的數(shù)字組合”。
舉個簡單的反例:0.909009000900009000009……
(除非特別聲明,所有數(shù)字都是10進制的,下同。)
這個數(shù)的特點是,兩個“9”之間的距離會越來越長,每次多一個0,直到無限。它是無窮無盡的,也是不循環(huán)的,因此是無理的;但別說“每種可能的數(shù)字組合”了,它連0到9這十個數(shù)字都湊不齊呢!
合取
包含所有數(shù)字組合的數(shù),叫做“合取數(shù)”。無理數(shù)并不都是合取數(shù)。
一個典型的合取數(shù)是這樣的:0.10200300040000500000600……000110000000000012000……
在越來越長的0串中間,夾雜著從1開始的所有自然數(shù),直到無限。既然包含了所有自然數(shù),當(dāng)然也就包含了所有的數(shù)字組合。
正規(guī)
但是寫這么多0,多費紙費電啊。如果把這些零去掉呢?
得到的數(shù)就是這樣:0.123456789101112131415……
這個數(shù)不但是合取的,還是“正規(guī)”的——從0到9的每一個數(shù)字,出現(xiàn)的頻率都趨向于一樣的值。
隨機
如果我們再進一步,連生成規(guī)律都不要了,而是用某種真隨機生成器(比如哥本哈根解釋下的量子隨機性)造出一個每位都隨機的數(shù),那么它當(dāng)然就是“隨機”的了——不光每一個數(shù)字的長期頻率趨于一致,任何位置出現(xiàn)的概率也都一樣。
那pi是什么?
非常遺憾的是,目前為止我們只證明了pi是個無理數(shù)。pi是合取(包含所有可能)的嗎?是正規(guī)(所有數(shù)字出現(xiàn)頻率趨于一致)的嗎?是隨機(每一位上的數(shù)字都隨機)的嗎?
答案是:全都不知道。
我們很容易構(gòu)造出一個合取數(shù)或者正規(guī)數(shù),甚至能證明“幾乎所有”實數(shù)都是合取而且正規(guī)的,但是隨便拿一個具體的數(shù)字,要想判斷它是否合取、是否正規(guī),卻極其困難。我們甚至都不知道pi里面是不是有無限個數(shù)字2。至于隨機?別跟我提什么隨機。
合取數(shù)和正規(guī)數(shù)有另一個有趣的性質(zhì):和進制有關(guān)。有個常數(shù)叫斯通漢姆數(shù)(Stoneham number),在二進制、四進制、八進制……下已經(jīng)證明全都是正規(guī)的了,可是在六進制下卻能證明它不是正規(guī)的。如果一個數(shù)在任何進制下都正規(guī),可以稱之為“絕對正規(guī)”。不幸的是,pi在任何進制下都沒能證明正規(guī)——離得最近的是2,有論文證明,假如某個猜想是對的,那么pi就是二進制正規(guī);但那個猜想本身也只是“很可能正確”,還沒有得到嚴格證明。
當(dāng)然,我們都已經(jīng)計算出pi的幾百億位了,可以看看它們的分布來猜規(guī)律;也可以通過一些其他數(shù)學(xué)方法拐彎抹角地試圖推斷。從已知事實來看,pi和正規(guī)性吻合得非常之好,換做任何別的人文、社科、自然科學(xué),都可以當(dāng)做定論來用了,因此幾乎所有人都“覺得”它該是正規(guī)的。可惜,這是數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)是靠證明說話的,只要拿不出證明,數(shù)學(xué)家就不能安心睡好覺。
平面上的一個隨機行走路線,每一步隨機選擇上下左右四個方向之一。本組行
David H. Bailey and Jonathan Borwein,下同。
用四進制pi前1000億位生成的行走路線,0123分別對應(yīng)上下左右。看起來和隨機的很像。但只是看起來。
—THE END—
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的π里包含了所有可能的数字组合吗?的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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