以下內容節選自《代數的歷史（修訂版）》第6章《獅子的爪子》。

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從16世紀末到18世紀初，盡管不列顛群島經歷了內戰（1642~1651年）、軍事獨裁（1651~1660年）、光榮革命（1688年）以及兩個朝代的更迭（1603年，斯圖亞特王朝推翻都鐸王朝；1714年，漢諾威王朝推翻斯圖亞特王朝），但這里仍然出現了一些優秀的數學家。

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我之前提到過哈里奧特，他的精巧的字母符號體系在很大程度上被忽視了（也許笛卡兒曾關注過）。蘇格蘭人約翰·納皮爾（1550—1617）雖然作為代數學家不出名，但他發現了對數并于1614 年將其公布于世，還普及了小數點。威廉·奧特雷德（1574—1660）是英國的一位鄉村牧師，他寫了一部關于代數和三角學的著作，并發明了乘號“×”。約翰·沃利斯（1616—1703）是第一個使用笛卡兒的解析幾何技術和符號的人（他是早已不在人世的哈里奧特的擁護者，他堅持認為笛卡兒從哈里奧特那里知道了這些記號）。

1859年“邁爾斯名人肖像系列雕刻版畫”之

《艾薩克·牛頓》

然而，所有這些人物都不過是牛頓出場的前奏。這位杰出的天才被公認為科學史上最偉大的人物。他出生于1642年的圣誕節，是英國林肯郡一個比較富裕的農場主的遺腹子。介紹他的人生經歷和性格特點的作品已經很多了。下面是我自己以前寫過的一段話。

牛頓的人生故事并不吸引人。他從未離開過英格蘭東部，也沒有從商或從軍經歷。盡管當時英國憲政史上發生了一些重大事件，但是他似乎對公共事務毫無興趣。他代表劍橋大學短暫擔任國會議員的經歷并沒有在政治舞臺上激起漣漪。牛頓與其他人沒有任何親密關系。據他自述，他終生未娶，這一點似乎毋庸置疑。他同樣對友誼也漠不關心，出版著作也是迫于無奈，因此他常常使用假名，因為他擔心“公眾的持續關注也許會提升我的知名度，但這會影響我最主要的研究工作”。當他不那么無所謂的時候，他與同事總是為一些小事而爭吵，他帶著令人惱怒的一絲不茍的態度與人交往，從來沒有出現過讓人愉快的情況。正如英國人常說的一句俗語，他是一個“冷漠的人”（cold fish）。

此時此刻，我忍不住要講一個我最喜歡的關于牛頓的故事，盡管我知道這個故事廣為人知。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利（1667—1748）向歐洲數學家提出了兩道難題。牛頓在看到這兩道題目的當天就解決了它們，并把解答交給英國皇家學會會長。會長把解答寄給伯努利，但是沒有告訴伯努利是誰解出來的。伯努利一看到這個匿名解答就知道這是牛頓寫的，他說：“我從爪子就能認出這頭獅子。”

這只鋒利的爪子在代數學歷史上留下了重要的痕跡。

牛頓因對科學的貢獻和發明微積分而聞名，但是他的代數學家身份不是很有名。事實上，從1673年到1683年，他在劍橋大學講授過代數，他把講稿存放在大學的圖書館里。很多年后，當他離開學術界去擔任皇家鑄幣廠廠長時，他的劍橋繼任者威廉·惠斯頓（1667—1752）把這些講稿集結成書出版了，書名是《普遍算術》。牛頓非常不情愿地同意出版此書，他似乎從未喜歡過該書。他拒絕署名，甚至打算把所有出版的書都買下來以便銷毀。牛頓的名字既沒有出現在 1720年出版的該書的英文版本上，也沒有出現在 1722年出版的拉丁文版本上。

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然而，讓代數歷史學家感興趣的不是《普遍算術》本身，而是年輕的牛頓在 1665年或 1666年寫下的一些簡短筆記，這些筆記可以在他的《數學全集》第一卷中找到。它們是用英文而不是拉丁文寫的，開頭是這樣的：

每一個形如:

x⁸+px⁷+qx⁶+rx⁵+sx⁴+tx³+vxx+yx+z=0 的方程的 根的個數都等于其次數，所有根之和是-p，每兩個根之積的和是+q，每三個根之積的和是-r，每四個根之積的和是+s，等等。

這些筆記沒有陳述任何定理。但是，其中隱含了一個定理，這個定理太令人震撼了，數學家們（實際上和《數學全集》的編輯一樣）就把這個隱含的定理稱作牛頓定理。

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在給出這個定理之前，我需要解釋對稱多項式的概念。為了方便處理，下面考慮3個未知量，分別記為α、β和γ。下面是一些包含這3個未知量的對稱多項式：

αβ+βγ+γα?

α²βγ+αβ²γ+αβγ²

5α³+5β³+5γ³-15αβγ

下面是α、β和γ?的非對稱多項式：

αβ+2βγ+3γα?

αβ²-α²β+βγ²-β²γ+γα²-γ²α?

α³-β³-γ³+2αβγ

第一組多項式與第二組多項式之間的區別是什么？從表面上看，它們之間的差異是這樣的：在第一組中，對α做的操作也作用在β和γ上，對β做的操作也作用在γ和α上，對γ做的操作也作用在α和β上；這些操作就是加法、乘法和組合，它們都以同等的方式作用在所有未知量上；而第二組多項式就沒有這些性質。

我在這里已經說得很清楚了，不過我們還可以用更精確的數學語言來描述對稱多項式：如果以任意方式置換α、β和γ，表達式都不變。

實際上，有 5 種置換?α、β?和?γ?的方式：

● 交換?β?和?γ，保持?α?不變；?

● 交換?γ?和?α，保持?β?不變；?

● 交換?α?和?β，保持?γ?不變；?

● 用?β?取代?α，γ?取代?β，α?取代?γ；?

● 用?γ?取代?α，α?取代?β，β?取代?γ。

（注意：數學家可能會試圖說服你一共有6種置換，第六種置換是“恒等置換”，即什么都不動的置換。我將在第7章中采用這種觀點。）

如果你對第一組多項式中的任一個多項式進行上述任意置換，最后得到的多項式都與原來的多項式一樣，只是可能需要重新排列。比如，如果對αβ+βγ+γα進行第五種置換，最終得到的是αβ+βγ+γα。它與原來的多項式一樣，只是寫法不同。

從另一個角度來看，當多項式很大而且很難處理時，一個有用（盡管不總是正確）的辦法是給 α、β和γ隨機賦值，于是多項式可以算出一個數。如果你把這些值用所有可能的順序賦給?α、β和γ后算出的數都一樣，那么這個多項式就是對稱的。如果我用6種可能的方式給α、β和γ賦值0.550?34、0.812 17和0.161 10，計算得出αβ²-α2β+βγ²β²γ+γα²-γ²α的6個對應值，其中3個值為0.066 353 6，3個值為?-0.066 353 6。這就不是一個對稱多項式：置換未知量將得出兩個不同的值。（這件事本身很有意思，為什么是兩個值？我稍后會詳細說明。）

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所有這些想法可以推廣到任意多個未知量和任何復雜的表達式上。下面是一個包含兩個未知量的 11 次對稱多項式：

α⁸β³+α³β⁸-12α -12β

下面還有一個包含 11 個未知量的二次對稱多項式：

α²+β²+γ²+δ²+ε²+ζ²+η²+θ²+ι²+κ²+λ²

并非所有對稱多項式都同等重要。有一類多項式被稱為初等對稱多項式。比如，包含三個未知量的初等對稱多項式是：

1次：α+β+γ?

2次：βγ+γα+αβ?

3次：αβγ

在我之前給出的對稱多項式的3個例子中，第一個是初等對稱多項式，其他兩個都不是初等對稱多項式。

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對于任意多個未知量，初等對稱多項式有：

1 次：所有未知量相加（“所有單項”）。

2 次：所有可能的兩個未知量之積相加（“所有對”）。

3 次：所有可能的三個未知量之積相加（“所有三元組”）。

以此類推。

如果考慮n?元多項式，那么這個列表有n?行，因為n?個未知量不可能構造出?(n+1) 個未知量之積。

現在我可以陳述牛頓定理了。

牛頓定理?

任意?n?元對稱多項式都可以用?n?元初等對稱多項式來表示。

因此，盡管我之前給出的另外兩個對稱多項式不是初等對稱多項式，但是它們可以用剛才給出的三個初等對稱多項式來表示。用初等對稱多項式表示第二個對稱多項式很容易：

α²βγ+αβ²γ+αβγ²=αβγ(α+β+γ)

第三個對稱多項式寫起來有點兒麻煩，但是很容易驗證：

按照習慣，同時為了方便理解，我們研究未知量個數固定的多項式（上面是三元多項式），初等對稱多項式通常用小寫希臘字母表示，用下標表明次數。對于上面的情況，三元一次、三元二次和三元三次初等對稱多項式分別記為σ₁、σ₂ 和 σ₃，所以第三個對稱多項式可以寫成：

5α³+5β³+5γ³-15αβγ=5σ³₁-15σ₁σ₂

這就是牛頓定理：包含任意多個未知量的任意對稱多項式都可以用初等對稱多項式來表示。

這些與解方程有什么關系呢？回顧一下第5章中韋達寫下的那些 α、β 和γ的多項式。它們都是初等對稱多項式！對于一般五次方程：

x⁵+px⁴+qx³+rx²+sx+t=0，如果它的解是α、β、γ、δ和ε，那么有σ₁=-p，σ₂=q，σ₃=-r，σ₄=s，σ₅=-t，其中這些σ是包含5個未知量的初等對稱多項式，這些多項式已經在第5章中寫出來了。對于x的任意次一般方程也是如此。

正如我之前提到的，牛頓的這些筆記讓我們知道了牛頓定理，它們是牛頓在其數學生涯早期（1665年或 1666年）寫下的。當時他21歲，剛剛獲得學士學位。由于瘟疫暴發，劍橋大學被迫停課，牛頓不得不回到鄉下他母親的家中。兩年后，學校復課，為了獲得獎學金和碩士學位，牛頓回到了學校。在鄉下的那兩年時間里，牛頓提出了奠定他后來在數學和科學上的發現的所有基本想法。人們常說，數學家在 30 歲之后就做不出任何原創性的工作了。這種說法難免有些苛刻，但是，人們的確可以透過一名數學家的早期工作發現其思維方式和他最感興趣的主題。

實際上，在做這些筆記的時候，牛頓心里有一個特殊的問題，這個問題是確定兩個三次方程何時有一個公共解。然而，以下研究對方程理論的進一步發展和所有源于它的全新代數領域都至關重要：

（1）?一般的對稱多項式；

（2）?方程的系數與這個方程的解表示的對稱多項式之間的關系。

17世紀末，在解決了三次方程和四次方程問題的120年后，諸如對稱、方程的系數、解的多項式等都是解決多項式方程理論中一個最著名的問題的關鍵，這個問題就是尋找一般五次方程的代數解。

總的來說，與17世紀和19世紀相比，18世紀是代數發展比較緩慢的時期。牛頓和萊布尼茨在17世紀六七十年代發明的微積分開辟了大量新的數學領域，但不包括本書中我所指的代數，而是如今被我們稱為“分析”的領域——研究極限、無窮序列、級數、函數、微分和積分等，分析在當時是一個具有魅力的嶄新領域，數學家們投入了極大的熱情。

戈特弗里德·萊布尼茨

Gottfried von Leibniz

1646—1716

放飛了想象力

還有一門更普遍的數學分支開始覺醒。這就是韋達和笛卡兒為研究代數發展起來的現代字母符號體系，依靠“放飛想象力”使數學研究更容易。另外，對復數的進一步接納也拓寬了數學的充滿想象力的邊界。棣莫弗定理可以被視為18世紀初期純數學的代表，這個定理的完整形式最早出現于1722年，即：

(cos?θ+i sin?θ)n =cos?nθ+i sin?nθ

這個定理在三角學和分析學之間架起了一座橋梁，使得復數對分析學是不可或缺的。

這里講的只是純數學。隨著科學的崛起、第一次工業革命的興起以及宗教戰爭之后歐洲國家體制的逐步確立，數學家也越來越受到君主和軍隊的青睞。比如，歐拉為腓特烈二世的無憂宮設計了管道系統，傅里葉是拿破侖在遠征埃及時的科學顧問。

18世紀中葉，達朗貝爾（1717—1783）在微分方程領域所做的開創性工作是非常具有代表性的，拉普拉斯（1749—1827）方程▽2Φ=0描述了一個量（密度、溫度或電勢）在某個平面區域或空間范圍上光滑分布的眾多物理系統，這可以被視為18世紀末期應用數學的代表。

從某種程度上說，代數學是所有這些迷人的進展的旁觀者。一般三次方程和四次方程已經被解決，但是還沒有人知道在這個方向上如何進一步發展。韋達、牛頓和其他一兩位最具想象力的數學家已經開始注意到多項式方程的解的奇妙對稱性，但是他們還不知道如何從這些觀察中獲得有益的數學結論。

但是，數學家們在整個18世紀還在努力解決另一個問題，所以我應該在這里討論一下這個問題。這個問題就是尋找所謂的代數基本定理的證明，我之所以使用“所謂”一詞，是因為人們總是這樣稱呼這個定理，但是“基本定理”這個名稱所代表的地位還是有爭議的。有些數學家甚至會用伏爾泰嘲諷神圣羅馬帝國的口吻說，代數基本定理既不基本，也不是定理，也不屬于代數的范疇。我希望我可以馬上澄清這一切。

代數基本定理的陳述很簡單，如果用多項式方程粗略地描述就是每一個方程都有一個解。更精確的陳述如下。

代數基本定理?

設 xⁿ +px^n-1+qx^n-2+…=0 是關于未知量x 的多項式方程， 該多項式的系數 p, q, …都是復數，n?大于0，那么存在某個復數滿足這個多項式方程。

在這里，通常的實數被看成復數的特殊情況，即實數a被當作復數a+0i。所以，我在前文中列出的所有實系數方程都屬于代數基本定理討論的范圍。每一個這樣的方程都有一個解，當然，這個解可能是復數，如在方程?x²+1=0中，復數i滿足這個方程（而且復數-i也滿足這個方程）。

代數基本定理最早是在笛卡兒的《幾何學》（1637 年）中出現的，當時笛卡兒是以一種假設的形式陳述的，因為他不習慣于復數。所有18世紀的偉大數學家都嘗試證明這一定理。1702年，萊布尼茨認為他證否了這個定理，但是他的論證中有一處錯誤，這處錯誤在40年后被歐拉指出。1799年，偉大的高斯把代數基本定理作為他博士論文的主題。然而，直到1816年才出現一個完全無懈可擊的證明，這也是高斯給出的。

為了澄清代數基本定理的數學地位，我們需要仔細研究一個證明。這個證明并不難，只要熟悉復平面（圖NP-4）即可，這個證明可以在任何一本好的高等代數教材中找到。下面僅僅是證明梗概。

復數同實數的情況一樣，方程中的高次冪可以很輕松地“蓋過”低次冪，我曾在“數學基礎知識：三次方程和四次方程”中介紹過這一點。立方增大的速度比平方快，四次方比立方更快，等等。（注意：對于復數的情況，“大”的意思是“遠離原點”或等價于“有較大的模”。）因此，對于較大的x，定理中的多項式方程看起來更接近xⁿ，而其他項只起到微調的作用。

另外，如果x是0，那么除去最后一項“常數項”之外，這個多項式中的每一項都等于0。因此，對于較小的x，這個多項式更接近它的常數項（例如在x²+7x-12中，常數項是 -12）。

如果x的值光滑而均勻地變化，那么x²、x³、x⁴以及所有更高次冪也都光滑而均勻地變化，只是變化的速度不同。它們不會突然從一個值“跳”到另一個值。

有了這三個事實之后，考慮所有給定較大模M的復數x。如果在復平面上標出它們，這些數會形成一個以M為半徑的圓。這個多項式的對應取值近似形成一個大得多的半徑為?Mⁿ的圓（如果一個復數的模為M，那么它的平方的模為M²，等等，這很容易證明）。這是因為?xⁿ 蓋過了這個多項式中的所有更低次冪。

逐漸光滑地將M縮小到0，模為M的所有復數形成的圓也收縮到原點。多項式的相應取值也縮小，就像一根拉緊的繩圈，從一個較大的以原點為圓心的近似圓，收縮到這個多項式常數項的那個復數。在這個收縮過程中，這根拉緊的多項式繩圈一定在某刻跨過原點。否則這些點怎么會收縮到那個復數呢？

這樣就證明了這個定理！那個拉緊的繩圈上的點對應于多項式在某個復數x?處的值。如果這個繩圈跨過原點，那么這個多項式在某個x?處取值為0。證畢。（你可能需要花一點時間考慮這個多項式的常數項等于0的情形。）

從代數的角度看，不如意的事情在于這個證明取決于連續性。我要說的是，當x?逐漸緩慢地變化時，這個多項式的對應取值也在逐漸緩慢地變化。這是完全正確的，但僅僅是因為復數系的性質，在復數系中，你可以不加跳躍地從一個數滑動到另一個數，跨過中間無數個稠密的數。

并非所有數系都如此合適。近世代數中有各種各樣的數系，我們可以在所有這些數系中構造多項式。像復數系這樣友好的數系并不多，代數基本定理并不能在所有這些數系中成立。

因此，從近世代數的觀點來看，代數基本定理是關于復數系的一個性質的描述，用現代術語說，這個性質被稱為代數閉。復數系是代數閉的，也就是說，任何一個系數在該數系中的多項式方程在該數系中都有一個解。

代數基本定理通常不是關于多項式、方程或數系的陳述，這就是為什么有些數學家會傲慢地告訴你它不是基本的。雖然它可能是一個定理，但是它不是一個真正的代數學中的定理，而是分析學中的一個定理，連續性概念屬于分析學的范疇。

更多內容，請參閱《代數的歷史（修訂版）：人類對未知量的不舍追蹤》。

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總結

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