疾病是人類生活中無處不在的一大組成部分。許多疾病癥狀輕微，例如普通感冒，只會給人造成輕微的困擾；而另外某些疾病，例如埃博拉病毒或艾滋病卻令人感到恐懼。正是疾病這種看不見、看上去不可預測的性質(zhì)（某些人會被感染，而另一些人則免于感染）引發(fā)了人們無窮的聯(lián)想。從史前到今天，疾病一直是人類社會中很多恐懼和迷信的根源，隨著自然科學的逐漸興起，在過去的一個世紀里，數(shù)學開始越來越多地被科學家們用來理解和預測疾病的傳播，并將重要的公共衛(wèi)生問題與若干基本的感染參數(shù)建立了關(guān)聯(lián)。在本文中，將和大家一起回顧幾個最簡單的關(guān)于疾病的數(shù)學模型，并考慮在未來如何令其往更加“數(shù)學化”的方向發(fā)展——這些發(fā)展將提高我們對疾病的理解，并強化我們預測疾病的能力。

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關(guān)于“疾病的數(shù)學”，自然是一個會涉及大量數(shù)據(jù)的話題。盡管目前科學家們已經(jīng)完成了一些純理論上的工作，但該研究領(lǐng)域的關(guān)鍵問題是要能夠建立起數(shù)學模型和數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。醫(yī)生的病例報告為我們提供了最詳細的生物學數(shù)據(jù)來源之一，我們利用計算機和網(wǎng)絡可以很方便地查到某些國家和地區(qū)幾十年來許多種疾病的病例數(shù)。和疾病有關(guān)的數(shù)據(jù)往往還涉及一些具有社會影響的特性，例如出生率、性別比和死亡率的變化等。因此，要想全面了解疾病的動態(tài)，就需要用到各種各樣的數(shù)學工具，從模型創(chuàng)建到求解微分方程，再到統(tǒng)計分析。

基本模型

幾乎所有關(guān)于疾病的數(shù)學模型都基于相同的基本前提：可以將人群按照若干特征分為不同的組，具體取決于我們對疾病的了解程度。在此類模型中，最簡單的模型是將個體分為易感者（susceptible）、感染者（infectious）和康復者（recovered）三大類，取首字母將這類模型稱為“SIR模型”。對一個個體而言，其在出生后被認為是“易感者”，易感者人群從未接觸過某種疾病，并且能夠感染該疾病；一旦患病，便成了“感染者”，具有傳染性的個體感染者會將疾病傳播給易感者人群，并在成為“康復者”之前在“感染者”階段停留一段時間（稱為“傳染期”）。還有一點需要注意的是，在SIR模型中，假定康復的個體可以終生免疫這種疾病。

上圖：SIR疾病模型不同類別（易感者、感染者、康復者）之間的變動情況，其中β表示傳染率，I表示感染者人數(shù)，g表示康復率。

通過為每個類別（易感者、感染者和康復者）中個體的數(shù)量比例確定一個微分方程，我們可以使對這一感染過程的描述更加數(shù)學化（具體的方程見下圖）。對SIR疾病數(shù)學模型的計算機模擬與純數(shù)學理論計算結(jié)果非常吻合，因此可以預測患病人數(shù)逐漸減少階段的反彈和振蕩情況（其曲線特征與在彈簧中觀察到的阻尼振蕩情況有些類似）。因此，盡管SIR模型表明在最初階段會以一定的間隔定期發(fā)生大流行，但最終感染者人數(shù)會穩(wěn)定在一個恒定值上下。

上圖就是描述易感者、感染者和康復者三個類別中人數(shù)比例的數(shù)學微分方程。式中，B表示出生率，等號右側(cè)的d表示死亡率，g表示康復率，β表示傳染率，t表示時間，S表示易感者人數(shù)，I表示感染者人數(shù)，R表示康復者人數(shù)，R0見下文。在大多數(shù)模型中，假定人群的出生率和死亡率相同，因此人口總數(shù)保持恒定。下圖是SIR模型的“阻尼振蕩”曲線：

圖中，橫軸表示時間，縱軸表示感染者的比例。

流行病學參數(shù)R0

對于簡單的SIR疾病數(shù)學模型，科學家們已經(jīng)證明了許多有趣且有用的結(jié)果，但在探索這一豐富的主題領(lǐng)域之前，我們需要進一步了解一下其他的流行病學數(shù)學表示法。就疾病的傳播而言，有一個參數(shù)是非常重要的，而且該參數(shù)還與疾病流行的長期行為和根除疾病所必需的疫苗接種水平有關(guān)，這個參數(shù)被稱為“基本傳染數(shù)”，用R0表示。流行病學家們將R0定義為“在完全易感人群中，由感染性個體引起的平均繼發(fā)病例數(shù)”。也就是說，R0這個參數(shù)能告訴我們某種疾病在一代人中的初始增長率：當R0大于1時，這種疾病可以感染完全易感的人群，病例數(shù)將增加；而當R0小于1時，這種疾病將始終無法傳播開來。因此，參數(shù)R0以最簡單的形式告訴了我們某個人群是否有罹患某種特定疾病的風險。幾種知名疾病的R0如下表所示：

疾病名稱	R0
艾滋病	2~5
天花	3~5
麻疹	16~18
瘧疾	＞100

在上表中，第三行的麻疹在兒童中較為常見，患兒的肺泡可因麻疹病毒的感染而出現(xiàn)透明膜，阻斷肺泡內(nèi)的氣體交換，導致呼吸衰竭。下圖是患病兒童肺部的組織學切片在光學顯微鏡下的表現(xiàn)（尸檢）：

前面提到，對SIR疾病數(shù)學模型的計算機模擬與純數(shù)學理論計算結(jié)果是非常吻合的，下面就是腺鼠疫（也稱“腹股溝淋巴結(jié)鼠疫”）和麻疹的SIR模型曲線與實際流行情況曲線之間的比較，可見二者非常契合：

上圖：英國布里斯托爾市每周的麻疹患者數(shù)，橫坐標為年份，縱坐標為患病人數(shù)，藍線為實際人數(shù)，紅線為理論模擬結(jié)果。

上圖：澳大利亞悉尼市1900年發(fā)生腺鼠疫疫情時的情況，橫坐標為1~8月，縱坐標為每天的患者數(shù)，藍線為實際人數(shù)，紅線為理論模擬結(jié)果。

參數(shù)R0的第二個用途是查看某次疫情爆發(fā)的情況。我們假設，一種新型流感病毒在完全易感的人群中傳播開來了，簡單的直覺告訴我們，這種疾病將在整個人群中迅速傳播，并在很短的時間內(nèi)感染大部分人口。如果我們認為這種疾病不會致命且傳播到整個人群的時間很短，因此完全可以忽略總?cè)丝谥械某錾退劳銮闆r，而只關(guān)注疾病的傳播動力學。對于這類短期流行病而言，最初的病例數(shù)呈指數(shù)增長，我們設感染者人數(shù)為時間t的函數(shù)I(t)，那么存在這樣的關(guān)系式：

然而，隨著越來越多的人成為康復者，并且易感者越來越少，這種疾病的傳播也將變得越來越“困難”，最終導致病例數(shù)的下降。由于出現(xiàn)了這種下降，因此并非所有的人都會在這種疾病消失之前受到感染。通過研究SIR模型的長期行為，1927年，科學家克馬克（Kermack）和麥肯德里克（McKendrick）共同提出了一個傳染病模型，該模型可以預測人群中能夠免受疾病感染的個體的比例。我們設這一比例為S∞，則其有如下的關(guān)系式：

盡管對這一關(guān)系式的研究還有待深入，但通過圖表法，即在同一張圖表中繪出S∞和exp([1－S∞]R0）兩條曲線，并比較兩條曲線的交點，我們可以清楚地看出，隨著R0的增加，免受疾病感染的人數(shù)比例S∞減少。通過數(shù)字計算可知，當R0=2時，S∞的值大約為20%；而當R0=5時，S∞的值大約僅為0.7%。因此，R0的值增加會嚴重影響疾病爆發(fā)時免受感染的個體的比例。

上圖：用圖表的方法“計算”能夠免遭疾病感染的人數(shù)的百分比。

最后，如果我們希望對某種地方性的流行病建模，即這種疾病在人群中無限期地存在，那么我們的SIR模型中還必須包括出生率，以“補充”易感人群的人數(shù)。在這種情況下，該疾病的長期行為可以再次與參數(shù)R0建立相關(guān)性：一旦“振蕩”消失，人群中易感者的比例S＊將長期保持在以下水平：

因此，在人群中，某種疾病傳播得越快，即R0越大，其易感個體越少。有趣的是，疾病的長期感染人數(shù)水平I＊并不取決于參數(shù)R0，而是取決于出生率和傳染期。

接種疫苗是為了減少易感者的比例，直到讓疾病無法繼續(xù)流行下去。就長期人群中易感者的比例S＊而言，每個感染個體平均會再引起1例繼發(fā)病例（如果感染個體引起的病例數(shù)多于或少于1個，那么感染水平將上升或下降，因此疾病的流行情況將無法保持穩(wěn)定）。也就是說，如果我們可以進一步減少易感者的數(shù)量，那么疾病的傳播就會更加困難，我們就可以開始著手徹底消滅這種疾病。因此，徹底根除某種疾病所需的疫苗接種閾值比例VT為：

現(xiàn)在我們就可以清楚地知道，為什么接種疫苗使我們徹底根除了天花這種疾病（其R0的值約為4，接種比例約為75%），而盡管進行了大規(guī)模的疫苗接種，很多國家仍然有麻疹流行（其R0的值約為17，接種比例約為94%），以及為什么很難控制瘧疾（其R0的值超過100，接種比例近乎100%）。更重要的是，通過上面的公式我們意識到，不需要為了根除某種疾病而對所有的人進行疫苗接種——只要有人接種了疫苗，其所在社區(qū)周圍的人感染疾病的風險一樣會降低。因此，接種疫苗不僅可以保護個人，而且可以為其所在的整個社區(qū)提供一定的保護。

口蹄疫

進入21世紀后，在英國曾爆發(fā)了口蹄疫疫情并發(fā)生了蔓延，這也為用數(shù)學建模的方法研究疾病的人員提供了將前述相關(guān)理論付諸實踐的機會。

上圖：英國人將染病的疫畜焚化，以控制口蹄疫的傳播。

口蹄疫是一種能感染牛、豬、綿羊和一些其他牲畜的疾病，幸運的是，這種疾病不會感染人類。這種疾病在非洲和亞洲地區(qū)曾相當常見，但距上一次在英國國內(nèi)大爆發(fā)已經(jīng)有三十多年了。口蹄疫的傳播非常迅速，可以通過農(nóng)場內(nèi)部或在市場上的密切接觸傳播，也可以通過空氣傳播更遠的距離。在牛和豬中，這種疾病會引發(fā)災難性的后果，因此對這種疾病的傳播進行數(shù)學建模并加深了解對經(jīng)濟建設非常重要。

上圖：計算機生成的口蹄疫病毒的圖像。

口蹄疫這種疾病也可以通過簡單的SIR模型來描述。不過，由于其在農(nóng)場中的傳播速度非常迅速，因此大多數(shù)模型將整個農(nóng)場作為研究單位，將農(nóng)場分為易感性、感染性和康復性三類。這些以農(nóng)場為單位的模型的R0的值約為50。控制口蹄疫的傳播是很困難的，因為需要采取非常嚴格的措施來克服其巨大的R0值。疫苗接種也不是太有用，因為疫苗只能提供部分保護，并且必須每4~6個月就重復接種一次。相反，人們更多地希望通過焚化所有感染的動物并限制牲畜的活動，以此來充分減少農(nóng)場之間的傳播，借此消滅這種疾病。

更復雜的模型

前面概述的理論只是揭示了用數(shù)學建模的方法研究流行病的傳播和持久性的一點皮毛而已。很多對疾病的研究已經(jīng)成功地應用了數(shù)學理論，因為大多數(shù)疾病都符合簡單數(shù)學模型背后的假設。不過，為了開展進一步的研究（如目前的新冠病毒肺炎疫情），對SIR一類的模型需要引入一些復雜性因素，這可以使模型能夠更好地表現(xiàn)疾病流行的動力學特征，并回答更多的應用問題。以下是若干已在實踐中成功地應用SIR疾病模型時加入其他因素的例子：

（1）麻疹或水痘等許多疾病，其主要是兒科疾病。通過將人群進一步細分為不同的年齡段，研究人員已經(jīng)能夠更詳細地了解疾病的年齡結(jié)構(gòu)傳播。

（2）對于此類兒童時期的傳染性疾病，在上學期間會有更大的人群混雜（接觸率更高）。當疾病在高接觸和低接觸狀態(tài)（例如上學和放假）之間“振蕩”時，會導致其出現(xiàn)周期性的流行或更復雜的動態(tài)。

（3）在模擬艾滋病病毒的傳播情況時，至關(guān)重要的一點是按照性取向和毒品使用情況來細分人群。

（4）對于某些疾病而言，其他一些生物體也參與了傳播。例如，蚊子對瘧疾的傳播是必不可少的，大多數(shù)腺鼠疫是由老鼠和跳蚤共同傳播的。對于此類疾病，我們需要將人類的SIR模型與其他生物的SIR模型相耦合。

編輯?∑Gemini

來源：數(shù)學算法俱樂部

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總結(jié)

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