先設想一個酒徒在山寺狂飲，醉死山溝的情景：

?“山巔一寺一壺酒（3.14159），兒樂（26），我三壺不夠吃（535897），酒殺爾（932）！殺不死（384），樂而樂（626）。死了算罷了（43383），兒棄溝（279）。”[前30位]

接著，設想“死者”的父親得知兒“死”后的心情：

“吾疼兒（502），白白死已夠凄矣（8841971），留給山溝溝（69399）。”[15位]

再設想“死者”父親到山溝里尋找兒子的情景：

“山拐我腰痛（37510），我怕你凍久（58209），凄事久思思（74944）。”[15位]

然后，是父親在山溝里把兒子找到，并把他救活，兒子迷途知返的情景：

“吾救兒（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四鄰樂（406），兒不樂（286），兒疼爸久久（20899）。爸樂兒不懂（86280）。‘三思吧（348）！’兒悟（25）。三思而依依（34211），妻等樂其久（70679）。”[最后40位]

沒錯，上面就是π的前100位了!

今天，在這個特殊的日子，讓我們從π出發，考慮實數的分類 !

有理數與無理數

有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱?。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。

無理數是所有不是有理數字的實數。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測量”，即沒有長度（“度量”）。

常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，歐拉數e，黃金比例φ等等。

可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重復，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進制表示從3.141592653589793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重復。

代數數與超越數

形如（，n為正整數）的整系數（為整數，）代數方程的根x叫做“代數數”。

代數數可以定義為“有理系數多項式的復根”或“整系數多項式的復根”。

第一個定義可以具體描述為：

設z為復數。如果存在正整數n，以及n+ 1個有理數，并且，使得：則稱z是一個代數數。

這個定義中，由于可以推出，其中整數分別等于，M是n+ 1個有理數分母的最小公倍數。所以“存在有理系數多項式使得z是其復根”可以推出“存在整系數多項式使得z是其復根”。

另一方面，由于整數集合是有理數集合的子集，所以“存在整系數多項式使得z是其復根”也可以推出“存在有理系數多項式使得z是其復根”。

這說明兩個定義是等價的。

代數數在有理數下的“+”、“-”、“x”、“÷”運算中是封閉的，因此構成一個域，稱為代數數域。

不能作為有理代數方程的根的無理數，即不是代數數的數稱為超越數。因為歐拉說過：“它們超越代數方法所及的范圍之外。”而得名。

實數與代數數

代數數集包含了有理數集。然而，代數數集并不包含全部實數。

代數數集是一個可數集，即所有代數數能與全體自然數建立一一對應，而實數集是不可數的無窮集，因此，一定存在不是代數數的實數。

現已證明?π和e這些無理數不是代數數，但不是所有的無理數都不是代數數。

由此可見，就實數集而言，實數既可按有理數和無理數分為兩類，又可按實代數數和實超越數分為兩類。實代數數集是有理數集的自然擴充。

回到π

瑞士科學家約翰·海因里希·蘭伯特于1761年證明π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比。1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數，即π不可能是任何整系數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數，而超越數不是代數數。

化圓為方問題是指已知單位長度1，要作出的長度。這等價于從1開始作出。然而，能夠用尺規作出的數z都有對應的最小多項式。也就是說，存在有理系數的多項式m，使得

然而，1882年，林德曼等人證明了對于圓周率來說，這樣的多項式不存在。所有規矩數都是代數數，而不是，這說明用尺規作圖是無法化圓為方的。

林德曼證明

的超越性用到了稱為林德曼－魏爾斯特拉斯定理的結論。林德曼－魏爾斯特拉斯定理說明，如果若干個代數數在有理數域?上線性獨立，那么?也在上線性獨立。

反設是代數數，那么?也是代數數。考慮代數數0和?，由于?是無理數，所以它們在上線性獨立。然而?和?分別是1和-1，并非在?上線性獨立，矛盾。

這說明?不是代數數，而是超越數。

國際圓周率日

2011年，國際數學協會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節，來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率。?

國際圓周率日可以追溯至1988年3月14日，舊金山科學博物館的物理學家Larry Shaw，他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圓周運動，并一起吃水果派。之后，舊金山科學博物館繼承了這個傳統，在每年的這一天都舉辦慶祝活動。

2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議，將每年的3月14日設定為“圓周率日”。決議認為，“鑒于數學和自然科學是教育當中有趣而不可或缺的一部分，而學習有關π的知識是一教孩子幾何、吸引他們學習自然科學和數學的迷人方式……π約等于3.14，因此3月14日是紀念圓周率日最合適的日子。”

趣聞事件

在谷歌公司2005年的一次公開募股中，共集資四十多億美元，A股發行數量是14,159,265股，這當然是由π小數點后的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）

排版軟件TeX從第三版之后的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926。

每年3月14日為圓周率日。“終極圓周率日”則是1592年3月14日6時54分（因為其英式記法為“3/14/15926.54”，恰好是圓周率的十位近似值）和3141年5月9日2時6分5秒（從前往后，3.14159265）。

7月22日為圓周率近似日（英國式日期記作22/7，看成圓周率的近似分數）。

有數學家認為應把“真正的圓周率”定義為2π，并將其記為τ（發音：tau）。

以上就是小編給各位帶來的圓周率日的分享。最后，請欣賞一段將數學與音樂完美結合的《圓周率之歌》小視頻~

編輯?∑Gemini

來源：數學職業家

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的从圆周率到实数分类的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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