來簡單說一下當前可以確認的理論物理的高度。我們最早的理論物理是為實驗服務的。在那個年代，我們依然處于做大量的實驗，然后總結規律的階段。所以在這一階段涌現出了一系列比較初等的定律，比如

• 熱力學第n定律

• Snell 定律（光的折射定律）

• 萬有引力定律

• Coulomb 定律（靜電相互作用）

• Faraday 定律 (電磁感應定律）

等等。這個時候物理學理論和其它任何科學分支的理論沒有本質上的差別。

后來，我們開始發現不同的定律之間有一些相同之處，尤其是發現電學和磁學之間的巨大相似性，進而發現原來電和磁是同一樣東西。于是我們開始做抽象，把電學和磁學（以及一部分波動光學）的規律都吸收到了一套理論中，這就是 Maxwell 的電磁理論。這一階段的畫風是這樣的

• 一切電磁相關的現象均可被 Maxwell 電磁理論描述

• 一切引力相關的現象均可被 Einstein 引力理論描述

• 一切熱學相關的現象均可被 統計理論描述

…………

再接下來，我們還發現不同的理論之間還有一些相同之處。于是我們開始了進一步的抽象，創造了所謂的 theory generator，或者說是一種通用的，用于生產理論的方法。典型的案例包括 Lagrange 動力學，Hamiltonian 力學等等。這一階段的畫風是這樣的

一切經典理論均可由如下原理生成：

這里面??是作用量，??被稱為 Lagrangian。為了得到 Maxwell 電磁理論，你只需要?，為了得到廣義相對論，你只需要?。是的，你只要指定一個 Lagrangian，然后上述原理就可以自動給你生成一個理論。

這看上去好像用處不是非常大。事實上在牛頓那個年代之后不久，這種方法的雛形就已經出現了。不過真正讓它煥發光彩的是 1918 年（正好100年前）的一件大事：著名數學物理學家 Emmy Noether 提出了 Noether 定理，這一定理利用上述原理證明了 Lagrangian 的對稱性可以導致守恒量。

這是非常強大的一條數學定理。要知道，物理學的對稱性幾乎就等同于普適性，而普適性是一套理論作為科學理論的底線級要求。所以，這條定理幾乎就是在說任何物理理論里均存在守恒量，并且只要你寫出 Lagrangian，我們就能用一套標準流程把這些守恒量找出來！

一個重要的例子就是能量。能量是與時間對稱性綁定的一個守恒量，或者換句話說，我們會把能量定義為與時間對稱性相關聯的那個守恒量。更具體一點，我們寫出一個具有時間對稱性的 Lagrangian，Noether 定理就能給出一個對應的守恒量，而這個量就被定義為能量。自此，能量守恒便不再是所謂的經驗定律，而是一條有嚴格證明的定理。

除了上述的兩個經典的 theory generator，現在我們熟知的量子力學（當然你得把 Schroedinger 方程寫成??這樣的抽象形式），量子場論，以及曾經火過兩回的弦理論，都是 theory generators。它們當中都有類似于 Lagrangian 或 Hamiltonian 這一類的抽象的量，在給定這些量的情況下，就自動生成理論。

總結來說，我們最早根據實驗得到了一些定律，然后發現定律之間有共同點，于是把這些定律抽象成了理論，然后又發現理論之間也有共同點，于是又抽象成了 theory generator。反過來，給定 theory generator 里面所需要的量，它就會自動給我們生成理論，將理論應用于不同的情景，我們又可以獲得具體的一些定律。

其實現在 theory generators 的威力還遠不止于此。不過這已經涉及到目前最前沿的理論物理。

一般的 Lagrangian 是某個動力學變量（比如粒子的位置??或者某個場??)以及它的導數（比如速度??或者場的梯度??）的函數。我們通常把含導數的項稱為動能項，其余的稱為勢能項。

先來看動能項。我們發現無論是哪一種理論，動能項往往能夠被寫成一階導數的平方，比如通常經典力學里的動能項??就是速度的平方，再比如標量場的動能項??也是一階導數的平方。個別例子中有出現僅僅是一階導數，沒有平方，比如 Dirac 場的動能項。不過無論如何，我們基本沒有見過動能項中含有超過兩個求導算子的情況。這并不是偶然，因為如果動能項中含有超過兩個求導算子，就會造成一種被稱為?Ostrogradsky Instability?的現象。

具體來說，就是這樣的理論會允許物理系統可以有一直到負無窮的能量。為了理解這一點，我們需要 Hamiltonian。Hamiltonian 是 Lagrangian 經過一個簡單的變換生成的，它的主要作用是告訴你這個系統的能量可以取哪些值。舉個例子，一個經典的自由粒子的 Hamiltonian 是??，其中??是動量，??是質量。動量可以從??一直取到??，此時 Hamiltonian 可以取??，也就告訴你自由粒子的能量一定是??的。

但是如果你的 Lagrangian 中含有超過兩個求導算子，那么我們可以證明，Hamiltonian 會出現如下的形式

其中??是某種動量（術語上叫廣義動量），??是某個坐標。這個時候我們發現如果??可以隨意在??中取值，那么 Hamiltonian 的范圍也是??。這就造成了一個嚴重的問題，如果能量沒有下界，那么這個系統（或者其中一部分）就會無止境地向能量較低的狀態去演化，從而造成強烈的不穩定性，這是不可接受的。

因此，現在主流的基本理論都只含有兩個一下的求導算子。含超過兩個求導算子的理論其實也存在，比如用于解決某些特定問題的宇宙學模型。不過在這種情況下，我們會被迫引入一系列約束條件來消除 Ostrogradsky instability。如果你希望你的理論具有一定的普適性，這么做其實得不償失。不過針對某些特定問題有時候還是有點用。

再來看勢能項。勢能項只包含我們的動力學變量（比如坐標??或者某個場??），因此我們可以將其進行展開（類似于微積分里面的 Taylor 展開）。展開之后具有冪級數的形式

每一個??之前都會有一個系數??，這個系數控制了對應的相互作用的強度。比如，我們知道彈簧系統的勢能項是

這并不意味著其它的項前面的系數都是0，它們可能只是很小，從而使得相應的相互作用很弱因而被忽略。

這個系數的量綱是一個很值得說道的東西。在這之前我們需要知道自然單位制，沒見過的同學看文末[1]。在量子場論中，這個系數并不是標準的“常數”，而是一個會隨系統能標（可以是系統總能量，或者其中某個實體的能量）而變化的一個量。也就是說，相互作用的強度會隨著能標而變化。

如果某個項的系數具有正的質量量綱，比如標量場論中，系數是??，質量量綱是+2，那么它的強度會隨著能標的下降而上升，這種項被稱為 relevant；反過來，如果系數具有負的質量量綱，比如引力常量??，那么它的強度會隨著能標的下降而下降，這種項被稱為 irrelevant。而沒有量綱的被稱為 marginal。

這個事情有什么用呢？通常情況下我們的能標是較低的，至少我們目前還不能做到讓一個系統達到任意能標。在較低能標的情況下，所有 relevant 的項具有較高的強度，所有 irrelevant 的項具有較低的強度。因此我們只需要考慮 relevant 的項即可。

在場論中，Lagrangian 的量綱是+4，標量場??是+1，因此??的項就是 marginal 了，?及以上就是 irrelevant 了。于是低能情況下我們只需要考慮至多3個項。這個結論對于很多理論均適用，也即 relevant 的項總是有限個，因此低能下只需要考慮有限個勢能項。

所以這是不是意味著我們通常是見不到這些 irrelevant 的項的作用呢？并不是。在高能標下，一切都要倒過來，也即 relevant 項會很弱，而 irrelevant 項很強。要獲得高能標，除了注入能量以外還可以注入質量。所以在注入足夠多質量以后，我們發現了 irrelevant 項的作用 —— 這就是引力。引力相互作用的系數是引力常量??，具有負的質量量綱。

希望大家可以感受到現代理論物理工具的強大。通過 theory generators，我們可以高屋建瓴地做一些判斷，可以得到一些對許多理論都適用的結論。我們不需要知道Lagrangian 太多的細節，就可以根據 Noether 定理斷言守恒量的存在。對于量子場論甚至弦理論這樣的 generators 也一樣。我們現在對弦理論依然知之甚少，不過已經足以讓我們推測量子引力和量子糾纏很可能是一回事（所謂的 ER=EPR）。我們可以對 Lagrangian 進行細致的分析，從而判斷出怎樣的形式會帶來怎樣的結果。因此，對于現在的理論物理學家來說，與其說我們是在從現實中尋找規律從而創立理論，不如說我們在嘗試設計一些理論。正如我們提到的，Lagrangian 不是可以隨便寫的，否則就要出問題。這些探索的經驗讓我們知道，這個自然界之所有有這些規律，這些規律之所以是這些形式，都是有更深層次的原因的。這也是為什么理論物理吸引了如此多的頂級智力為之工作。

[1] 在自然單位制下，??。也就是說，我們把長度單位定義為光在1秒內走過的距離，這樣光速的值就是1。這樣一來我們有??，也就是說從量綱角度上講，長度和時間的量綱是一樣的。同理根據??我們有??。這個故事就是告訴你長度，時間，質量三個量綱，現在我們只需要一個，這里我們選質量。

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編輯?∑Pluto

來源：算數學苑

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