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真實世界的復雜性使得獲取對它透徹且直接的認知，不能說是不可能，但也是非常艱難的。所以一直以來，世界的征服者秉持“分而治之”的原則，試圖減小難度或是對其進行分層。例如柏拉圖在對話錄《斐多篇》中提及：“人必須理解思想在由顯著的多樣性向統一知識轉變的過程中所起的作用。”

在一個逐漸簡化和提煉的過程中，真實的描述首先被縮減為概念和表意文字，然后是文字、字母這些構成了一套能夠代表語言的整體復雜性，而非思想的整體復雜性的工具。雖然字母的數量局限在幾十個，但這并不影響它們通過互相結合產生無限詞匯的潛力。

但似乎對于萬物而言，不論是其表征還是其物理實際，都能上溯至一個有限量的詞庫，在那里真實可以在不同的層次被重新建構。其中兩個例子已經進入了科學的工具箱，任何高中學生都可以使用。首先是構成門捷列夫元素周期表的一百多種元素，它們之間的結合產生了所有化學分子。然后是幾十個電子或夸克之類的基本粒子，演化出了整個亞原子物理。

數學領域的情況并無不同，整數均可以被拆分為一系列基本數，并可以重新組合成為新的整數。如果重建是通過加法實現的，那么基本數甚至是唯一的，那就是1。每一個整數都可以由0開始，通過該數字數量的1相加得到。雖然看起來是個自循環，但這個過程恰恰是“整數”真正的定義，并于1921年由維特根斯坦在著名的《邏輯哲學論》中首次提出。

若重建的過程是乘法，事情就變得更復雜也更有趣了。首先，我們可以簡單地推斷出這種情況下也應該存在一些基本數，即無法再被除了1和它本身以外其他數整除的數字。這些數字叫作質數，包括2，3，5，7，11，13……

又一次，我們可以很快地搞明白，每個數字都可以分解為一系列質數。若出現某個數字無法被（除1及它自身以外的）其他數字整除的情況，那么它本身就是質數，拆解就此結束；否則，它就一定能被其他數字整除，因此成為兩個因數的產物，這兩個因數中的任何一個，要么是質數，要么還可以被其他數整除。

第一種情況下，我們得到了一個構成開端的基本數。如果是第二種情況，只需要重復前面的過程，再獲得另外兩個因數，以此類推。在除法的力量下，它們不得不保持基本數的形式，因為每做一次除法運算，因數就會變得更小，遲早達到無法再除的程度。

幾乎是在無意間，我們展示了一個重要的算術定理：每個整數最終都可被拆分為質數。但實際上，歐幾里得在經典作品《幾何原本》中，就已天才般地做出了更深入的研究，研究結果更是被稱為“算術基本定理”。這一定理說明，這種因數分解是唯一的，無論過程如何，最終得到的質因子均相同，按大小排列后只有一種寫法。

所以說，質數確實是算術的磚石，對于一個數字可以提出的最顯而易見的問題就是：它是不是一個質數？人們若有足夠的耐心，總能得到答案，因為只需要用它一一除以較小數。最后如果能找到至少一個數字可將其整除，那么它就不是質數，反之若找不到這樣的數字，那它就是一個質數。

這一切說起來簡單，但隨著數字不斷變大，所需要的驗證時間會可怕地增長。只是數百位的數字，所需要的計算時間就已經超過了宇宙的年齡！幾百年甚至幾千年以來，人們一直在努力縮短進程，減小難度。直到2002年一個快速而準確的判斷方法誕生了。三個印度數學家曼英德拉·艾格拉沃（Manindra Agrawal）、尼拉杰·卡亞爾（Neeraj Kayal）和尼汀·薩克塞納（Nitin Saxena）找到了它。

但很遺憾，他們的研究結果沒有提供一個快速和精確的方法分解出合數的因數。相反，卻能對所謂P/NP問題給出有效解決方案。P/NP問題是理論信息學最重要的問題，也是“千禧年七大難題”之一。美國億萬富翁蘭頓·克雷，為其中每一個問題的解決方案提供百萬美元大獎，基思·德夫林則以這七大難題為主題出了一本同名書（The MillenniumProblems: the Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time）。

信息學之所以對質數感興趣，是因為最近密碼學領域開始使用質數，來創造足夠穩定的信息編碼方式。這些編碼方法的實現前提，即人們認為不可能快速且精確地找到數字的質因子。

在三位印度數學家的研究發布后，全世界的銀行、工業、政治家和間諜都開始恐懼了。因為，如果有人再前進一步，就能跳過整個世界的密碼系統，那么從銀行卡到信用卡，從電話到郵箱，所有的密碼都形同虛設。1994年彼得·秀爾發現了量子計算機關于該問題的演算方法。所以，解決質因數分解問題的另一條途徑，便是造出一臺量子計算機——這在目前看來還只是紙上談兵而已。

如果說計算質因子是典型的實用信息學問題，那么分析質數如何分布就是同樣典型的理論數學問題。為它們做出了（或者至少是傳述了）第一次大跨越的依然是歐幾里得的《幾何原本》，它解決了“質數的數量是不是有限的”這個問題。

人們也許會這樣回答：“質數明顯是無限的，因為整數是無限的。”但是有限字母組成無限單詞的例子表明，理由不會這么簡單。歐幾里得的答案是：“質數是無限的，但并不明顯。”他的證明過程堪稱數學領域之明珠，方法是：假設質數有限，那么總能找到不在它們的集合中的另一個質數。

歐幾里得的想法是，把假設有限的那些質數全部相乘，獲得的乘積加1，得到的數字顯然要么是質數，要么不是。如果它是質數，我們就創造出了一個新的質數。如果不是質數，那它必有一個質因子不屬于之前的質數集合，否則它就能同時被該乘積和該乘積加1所得的數字整除，因此也就能被它們的差，即1所整除，但事實是，沒有任何一個非平凡數可以被1整除。

盡管數量是無限的，質數的分布卻并不平均，而是逐漸減少的。100之內有25個質數，1000以內168個，10000以內1229個，100000以內9592個……如果要構建一個類似化學中門捷列夫元素周期表的表格來精確表示它們的分布，我們便迎來了千禧年七大難題的另一位成員——所謂的黎曼猜想。

黎曼猜想與前面提到的P/NP問題一起，說明了現代數學和信息學領域最重要、最難解的問題所涉及的對象和概念，其實早已被古希臘人引入并研究了。它們容易理解，卻難以掌控。人們為此絞盡腦汁，數千年來從不止息，證明了人的思想具有無法超越的局限性，同時又有一往無前的勇氣。

→本文選自[意]皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪《叛逆的思想家》

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意大利“國民科普爺爺”繼《人類愚蠢辭典》之后

[吐槽式]盤點人文科學八大領域的78種思想

這本書不僅是單純的科普作品

更是一部真正的思想史漫談

《叛逆的思想家》

[意]?皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪 著

姚軼苒 譯

2019年8月 未讀 · 思想家出品

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總結

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