关于圆的定义
昨天，我讀到一篇文章，很贊同它的觀點。
科學認識形成于直觀的想法，但是最終要用抽象的公式來表達。
Conception is about ideas, but formulas are the way to express them.
作者舉了一個圓的例子，來說明這一點。
圓形可能是人類最先認識的形狀。我們從直觀的體驗，就可以馬上說出，什么是圓的。比如，蘋果是圓的，輪子是圓的，太陽是圓的，等等。
但是，如果要從學術的角度，嚴密地定義圓，就不是那么簡單了。原作者舉出了5種定義，可以看到，隨著定義越來越嚴密，圓形的概念也變得越來越抽象。
===============
定義一：圓是最對稱的2維平面圖形。
通過中心的任意一條直線，都可以將圓形分成完全相等的二部分。
定義二：在相同周長的情況下，面積最大的圖形就是圓。
或者說，在相同面積的情況下，周長最短的圖形就是圓。
有一道常見的面試題，問的是"為什么下水道的蓋子是圓的？"理由有兩個，一是給定窨井蓋的周長，圓形的制造材料是最少的；二是圓的直徑都相等，因此不會掉進下水道。
定義三：任意一條切線，都垂直于"切點的位置向量"的圖像就是圓。
說實話，這一條好像更像圓的性質，而不像定義。
定義四：滿足公式x2+y2=r2(r為大于0的已知實數)的所有點（x,y）的集合就是圓。
這種定義就是"到定點距離等于定長"的解析幾何版本。
定義五：滿足x=r*sin(t)、y=r*cos(t)的所有點（x，y）的集合就是圓。（r為大于0的已知實數，t為任意實數。）
這種定義給出了圓的參數方程形式。
=================
定義一只是在描述一種形狀，到了定義五，就變成在描述一種純數學關系。越是后面的定義，就越嚴密和越抽象。這正好同人類對圓的認識歷史相一致。
馬克思說過："一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步。"只有當人類可以用方程來描述圓時，人類對圓的認識才真正地完善。
在我看來，這是科學發展的一般規律，即任何一種科學發展到成熟階段，它的邏輯結構必定可以用數學表達出來。即使學科本身的內容無法用數學表達，但是至少內容與內容之間的邏輯關系是可以用數學表達的。也就是說，如果一門學科是真正的科學，那么這門學科的結構一定可以被數學化。
上面所說的"科學"，不僅指自然科學，也包括社會科學。為什么經濟學、法學、政治學還不能被說成是真正的科學？一個原因就在于，這些學科本身的邏輯結構還不能用數學表達出來。
————
編輯?∑Pluto
來源：阮一峰的網絡日志
更多精彩：
?泰勒定理的奇聞軼事
?丘成桐：漫談微分幾何
?Leibniz 如何想出微積分？（一）
?線性相關和秩的物理意義
?數學史上你認為最丑陋的公式是什么？
?陶哲軒談什么是好的數學
?田淵棟：數學的用處（下篇）
?你絕對沒想過原來數學家這么流氓，一言不合就進行暴力證明
?世界上最牛的五篇博士論文
?數學中有哪些巧合讓人眼前一亮？
?算法立功！清華畢業教授美國被搶車，警察無能為力自己用“貪心算法”找回
?學術史上的奇文：怎樣用數學抓獅子
?臺大教授的反思：最難的一課 我們卻沒教給學生
?麻省理工學院(MIT)研究生學習指導—— 怎樣做研究生
?分享 數學，常識和運氣 ——投資大師詹姆斯·西蒙斯2010年在MIT的講座
算法數學之美微信公眾號歡迎賜稿
稿件涉及數學、物理、算法、計算機、編程等相關領域，經采用我們將奉上稿酬。
投稿郵箱：math_alg@163.com
總結
- 上一篇： 丘成桐：年轻学者要敢于“无法无天”
- 下一篇： AAAI 2019 四个杰出论文奖论文揭