什么是美，什么是丑？這些是藝術家、哲學家和設計師喜歡辯論的問題，但是對數學家來說，幾乎沒有爭論的興趣。他們通過簡便和清晰的特性，一眼就能辨識出美的數學理念。

當有人兩眼放光地跟你講一件事情時，那一定是對他很特別的東西——一件很棒的禮物，一個巨大的驚喜，或一種非凡的體驗。20 年前，我作為一個物理系學生上大課時，看到了教授眼中的光芒，這位數學家正興奮地講述“刺猬定理”的證明過程。

刺猬定理不難理解 ：當一只刺猬蜷縮成一個球時，在它豎著的所有刺當中，至少有一處禿著的地方。在這個地方，緊密排列的刺指向不同的方向，就正像我們頭上的發旋一樣。因此，在英語中，刺猬定理也被稱為“毛球定理”。將這個定理翻譯成白話就是：無論你如何梳理毛發，在一個沾滿毛發的圓球上總是至少有一個旋兒。

我的數學教授用了 90 分鐘和幾塊寫滿的黑板來證明刺猬定理。這絕不是一個簡單的證明，但盡管如此，他還是很高興地為我們學生指明道路，因為這畢竟也是對一個定理相當漂亮的證明。

那么在數學領域，究竟什么是漂亮？我喜歡把這門學科與足球做比較。球員們都必須掌握某些基本技術，并了解比賽規則。誰要是想把球踢進球門，就不應該僅僅掌握一種射門技術。球員們常用的是正腳背射門或腳內側射門，但在某些情況下，技術上更具挑戰性的倒勾射門也不錯。

數學也是一樣的。乘法表屬于基礎知識，質數和三角形也是基礎知識。知道二項式公式和勾股定理的人會有更大的可能性解答出問題。當然，在某些情況下還需要會求微分和積分，就像倒勾射門似的更具挑戰性。

可能現在你已經明白了，草坪上漂亮的傳球動作和優美的數學都是如何出現的。通過將已知和熟悉的知識儲備中的各種技術，創造性地重新結合起來——最好以出人意料的方式。在足球方面，以這種方式組建的球隊可以快速突破經驗豐富的防守 ；在數學方面，也許會想出一道至今無法解答的問題的絕妙解法。甚至有時候，足球運動員和數學家都會發現一個以前沒有人知道的新技巧。

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數學就像踢足球

我們都知道，練得越多，好處越多。職業人員會比業余足球運動員、業余數學愛好者掌握更多的專業技術，他在踢球或論證時就會更有把握。但我們不是非要跟巴薩俱樂部簽了合同才能享受足球的樂趣。哪怕是在丙級聯賽，球員們也會因一個進球或一記精妙傳球而激動不已。同樣的道理，人人都能享受數學的樂趣。

然而，當一談到對美的判斷時，足球和數學就沒有什么共同點了。球迷們對誰踢球踢得最漂亮，很少會達成一致。當然，多數人都會說：當然是我支持的球隊。但即使是內心沒有支持某支球隊的業內專家， 對于一場漂亮比賽的看法也各有不同。第一個專家喜歡快速、直接的比賽。第二個專家喜歡彩虹式過人技巧和巴西花式足球。第三個專家偏愛無窮無盡的傳球，在過去幾十年里，西班牙隊用這種傳球快把對手逼瘋了。

美是什么？這個問題，不僅足球迷們在爭論，哲學家、藝術家、藝術科學家和心理學家也在爭論，都爭了好幾千年了。但在數學領域，問題卻有所不同。當一個數學家說“這是一則特別漂亮的證明”時，幾乎不會有同行反駁。這不是很奇怪嗎？

很明顯，數學家們對什么是美，有著共識。然而，我們要尋求美的明確標準是徒勞的。有些人喜愛極其簡單，有些人則追求清晰明了或短小精悍。對柏林的數學家馬丁 ? 艾格納（Martin Aigner）來說，美就是由透明性、一致性和簡便性組成的三重和弦，是它們使數學證明變得漂亮。跟外行相比，艾格納對透明、簡便的證明的概念肯定會略有不同，但總的來說，你基本無法反駁他。

證明就是展示某一陳述的正確性。冗長而復雜的證明并不少見。我想通過一個簡單的比喻來說明，我心目中一個漂亮優雅的證明是什么樣的。請想象一下，你站在一座山上，你要把你旁邊的一塊巨石滾下山去。問題是 ：你的力量根本不足以搬動這塊巨石。不管你如何推動和搖晃，這塊巨石幾乎沒有移動過一毫米。

你沮喪地圍繞著這塊巨石走來走去，突然在它背面看到，有一塊小石頭被卡在它下面，就是這東西使得巨石無法滾動。而這塊小石頭就是解決問題的關鍵！你不再試圖用自身的力量把巨石滾動起來，而是將巨石搖動一點點，同時快速地抽出小石頭。之后，巨石自己就滾動起來。你不要讓巨大的巖石滾過一個小的障礙物，而是要直接把小的障礙物拿走。這個方法很聰明，因為它節省了很多力氣。對于我來說，一個漂亮的證明就是同理。看似困難或無法解決的問題，突然就變得容易了。

英國數論學家戈弗雷 ? 哈羅德 ? 哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）甚至宣稱，數學普遍都是美的。在他看來，不美的事物根本不能持久 ：“世上沒有一個永久的地方容納丑陋的數學。”

那么哈代所說的“丑陋的數學”，到底是什么意思？我認為，我們所有人的定義都一樣：關聯不清楚、論證缺失條理和闡釋冗繁的數學。

相信數學之美

有一位偉大的數學家，對美麗的證明特別感興趣，他就是匈牙利人保羅? 厄多斯（Paul Erd?s，1913—1996）。他說過，有些證明特別美妙，但也有小小的瑕疵，而最遺憾的是，這些證明就錯了。

像哈代一樣，厄多斯堅信世界上一定有既正確又美麗的證明。他甚至還提到要編寫一本書，書里的“上帝”收集了所有最完美的證明。“你沒必要相信上帝，”他認為，“但作為數學家，要相信一定有這本書。”

厄多斯在寫完這本書之前去世了。君特? 齊格勒（Günter Ziegler）和馬丁 ? 艾格納在 2002 年將這位匈牙利數學家的想法變成現實。他們把作品命名為《證明之書》（Das Buch der Beweise）。可惜這里面收集的大部分證明對非專業讀者來說都太難了，大部分都要求讀者具備大學數學基礎。但是在本章，我想向你們介紹這本書里的一個證明，也是一則經典證明：

定理 ：有無限多個質數。

什么樣的證明才是最佳的呢？也許我可以嘗試，挨個數清楚所有的質數。但在證明過程中，我可能會發現這事沒有盡頭。這得花多長的時間啊？如果確實有無限多個質數，時間就會無限延長。這樣就證明不出來，這點我們都很清楚，那接下來該怎么辦？

不要直接解決問題，而是間接證明——從后面迂回過來。我們用間接證明來證明

論點，也就是反駁論點的對立面。由于數學的邏輯一致性，間接證明是完全可行的。一個論點要么正確，要么錯誤。兩個互相矛盾的論點不可能同時為真。

我們回到質數問題。我們不要試圖直接解答問題，因為這樣我們會面臨無窮多數量的困境。相反， 我們假設這個論點是錯誤的，也就是假設只存在有 限多個質數。然后我們再看看，這個假設是否真的正確。

如果只存在有限多個質數，數學家們則喜歡說成：存在 n 個質數。n 有多大，并不重要。我們將這n 個質數設為 p1、p2、p3、……、pn。

我們把這些質數相乘 ：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn

就會得到一個有趣的自然數 ：它可以被 n 個質數p1、p2、p3、……、pn 里的任意一個質數整除，因為這個數是所有這些質數的乘積。例如，2×3×5 = 30 當然可以被 2、3 和 5 整除。

現在就是這個間接證明的真正竅門：我們在 n 個質數的乘積之上再加 1 ：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn + 1?

所得之數同樣也是一個自然數，但是它不能被這 n 個質數里的任何一個質數整除，確切地說，在做除法之時總是會余 1。我們再回到例子 2、3、5 ： 2×3×5+1=31。得到的數 31 既不能被 2 和 3 整除，也不能被 5 整除。

從上述思考中，會得出什么結論呢？由于 p1× p2×p3×……×pn+1 不能被這 n 個質數里面的任何一個質數整除，所以這個數本身就一定是一個質數，它不包含在 p1、p2、p3、……、pn 里面 ；或者它是多個質數的乘積，但這多個質數不屬于前面給出的 n 個質數。這就與我們假設的只存在 n 個質數互相矛盾了。

也就是說，只存在有限多個質數的假設是錯誤的。我們剛剛展示了如何將 n 個質數組合為一個新的質數。這也說明，確實存在無限多個質數。這樣一來，我們就成功證明了這個定理。

這個證明簡短得出乎意料。這個證明美妙的地方是，你不必糾結無限多個質數，反正都是不可能的。相反，我們只需要用兩行數：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn

和

p1×p2×p3×……×pn +1

就能證明存在無限多個質數。這太美妙了！

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康托爾的天才妙招

在本文開頭的質數證明中，我們巧妙繞過了無限多的數量。現在我們再來一個不會嚇到你們的證明。來自德國哈勒的數學家格奧爾格?康托爾（Georg Cantor）在 100 多年前首先創立了集合論。你肯定知道自然數的集合、所有分數的集合，還有有理數的集合。康托爾感興趣的是，一個集合的勢是否比另一個集合的勢大。

所謂“勢”，并不是指數字的范圍或大小，而是其他東西。如果兩個集合“等勢”（一樣大），打個比方，這兩個集合里的元素可以辦一場舞會，在這場舞會里，沒有人會因為找不到舞伴而失落地看著別人跳舞。第一個集合里的一個元素和第二個集合里的一個元素組成了一對舞伴。

在等勢的兩個集合里， 兩個集合中的每個元素都能找到一個舞伴， 沒有人會被單獨剩下。

如果是 50 個女孩在舞會上遇到 30 個男孩，這就行不通了。因為女孩的集合的勢比男孩的集合的勢更大。

康托爾還將含有無窮多元素的集合進行過比較。例如，他曾思考過，當自然數和分數在一場舞會中相遇時，會發生什么呢？簡單起見，我們這里只討論正分數。每個分數都找到舞伴了嗎？或者，有個別分數只能默默地旁觀？

我們想當然地認為 ：在兩個自然數 0 和1之間存在無窮多個分數，如 1/2、1/3、1/4 ……因此，分數明顯應該更多，盡管兩個集合都包含有無窮多的元素。但是康托爾可以證明，自然數集和分數集等勢——每個數字都保證能找到一個舞伴。

自然數是可數的——這很明顯。我從 0 開始數， 每個任意大的數字在某一刻都能被我數到。由于有無窮多的自然數，我們可以說，自然數集是可數無窮的。這就是說 ：我們可以把這個集合的所有元素都逐一編號。我從集合中取出的每一個元素，都具有一個編號。在自然數集合里，這個編號與自然數本身完全一一對應。但對于其他可數無窮集合，這不是那么容易實現的。

那么我們如何將無窮集合進行比較呢？很簡單： 當一個集合同樣是可數無窮時，這個集合就跟自然數集等勢。它在分數集里表示就是：我隨機選出一個元素，例如 2/3，然后就像在“他”的額頭上貼上一個編3號。康托爾的功勞就是編出了一份指南，讓我們能夠計算這些編號。

康托爾證明正分數集和自然數集等勢，是基于兩種天才般的想法。首先，他設計了一張表格（見下表），在這個表格里，所有正分數都有它們固定的位置。你可以在這里看到這張表格的左上方部分——表格向右和向下無限延伸。

但是我們還不能夠數完這張表里的所有數。例如，如果我們從第一行的左上角開始向右數，我們就將會無窮無盡地數下去，永遠數不到第二行。

康托爾又準備好了第二招。他沒有數一整行或一整列，而是從右上角到左下角斜著數，再從左下角向右上角數，以此類推。

用這種方式，從 1/1 開始的每個分數都會得到一個編號。例如 ：1/2的編號為 2， 1/5的編號為 15。如此，這位數學家就證明了正分數集與自然數集等勢。

像康托爾這樣通過對角線計數的技巧，來處理表格右側和底部的無窮多的數字，我認為是十分漂亮的做法。康托爾就像一名園丁，要修剪一片無窮大的草坪，于是他站在草坪的左上角，推著割草機呈“之”字形曲折前進。

質數證明和康托爾的對角線計數都是很難的證明（后者會更難）。不過，這兩個證明有某些共同點：用一種思路，或者像康托爾那樣用兩種思路，就能漂亮地解答一道難題。對我來說，正是這些天才的妙招創造了數學之美，希望你也有這種感覺。

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《三個邏輯學家去酒吧》作者、前奧數冠軍40年科普心得

數學并不可怕，你只是中了“假數學”的毒

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2019年11月

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總結

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