第一封信：為何學數學？

親愛的梅格!

或許如你所預期，得知你考慮攻讀數學時，我非常高興。不只是因為數個夏天前，你用數星期反復閱讀《時間的皺紋》（A Wrinkle in Time）的時間并未白費，同時也不枉我費心對你解釋超立方體和高維空間。我不依順序回答你的問題，先回答其中最實際的問題：除了我以外，有誰真的靠數學維生？

這個問題的答案和許多人所想的不一樣。我所服務的大學在幾年前對校友進行調查，發(fā)現在種種學位之中，有數學學位的人平均收入最高。需要提醒你的是，雖然這是在他們成立醫(yī)學院之前的事，但至少駁倒一項謬論：學數學的人無法擁有高收入的工作。

事實是我們每天到處都可遇到數學家，只是很難察覺而已。我過去的學生有的管理釀酒廠、創(chuàng)立他們自己的電子公司、設計汽車、編寫計算機程序和在股票市場交易期貨，我們幾乎從未認識到銀行經理或許擁有數學學位，發(fā)明和制造DVD和MP3播放器的人們中有很多是數學家，或是將木星衛(wèi)星令人驚異的照片傳輸至地球的技術里也包含大量的數學。我們知道醫(yī)生有醫(yī)學學位，律師有法律學位，因為那些是特殊和明確定義的專業(yè)，要求同等專業(yè)的訓練。但人們不可能在建筑物的銅制銘牌上發(fā)現有證照的數學家的名字，替該數學家打廣告：這位數學家在獲得一大筆費用后，可以幫忙解決想要解決的任何數學問題。

我們的社會消費了大量的數學，但一切只在幕后進行，原因相當直接：數學屬于幕后。當駕駛一輛汽車，你絕對不想考慮所有那些復雜的機械方面的東西，只想鉆進車子里將它開走。了解車子機械的基本狀況，當然對你成為好的駕駛員有所幫助，但絕不是一定要這樣才行的。同樣地，數學也是如此。你希望車子的導航系統引導方向，而不需自己來計算所涉及的數學。此外，你希望即使不了解信號處理和誤差修正碼，你的電話仍可以運作。然而，我們其中的一些人需要知道如何運算數學，否則上述的汽車和電話將無法運作。如果其他人能夠了解我們日常生活是如何必須依靠數學，那將是一件好事。為何將數學遠遠放在幕后，這是因為許多人完全不知道數學藏身在幕后。

我有時覺得，要改變人們對于數學的態(tài)度，最好的方式是，在任何用到數學的東西上貼上寫著“內含數學”的紅色標簽。當然在每一部計算機上都會貼上一張，又如果照字面的解釋，我們也應該在每一位數學老師身上貼上一張。我們也應該將紅色數學標簽貼在每一架飛機、每一部電話、每一輛車、每一個交通標志、每一種蔬菜……

蔬菜？

是的。農夫只是照著他們父親和祖先流傳下來的模式耕種，這種日子早已過去。幾乎所有你能買到的蔬菜，都是長期和復雜商業(yè)培植計劃的結果。“實驗設計”數學意義上的整個主題，在二十世紀早期被發(fā)展出來，用來提供一個系統的方式去評估新種的植物，遑論基因修改的較新方法。

等等，這不是生物學嗎？

當然是生物學，但也是數學。基因學在生物學里最早使用數學，人類基因組計劃之所以成功，不只是因為生物學家做了許多明智的工作，也因為發(fā)展出強大的數學方法，用以分析實驗結果，并且從非常破碎的數據里重建準確的基因序列。

所以，蔬菜得到一個紅色標簽。如同蔬菜，其他東西也應貼上一個紅色標簽。

你看電影嗎？你喜歡特效嗎？《星球大戰(zhàn)》（Star Wars）和《魔戒》（Lord of the Rings）里面有數學？最早的完全計算機動畫電影《玩具總動員》（Tory Story），促成了大約二十篇數學論文的發(fā)表。“計算機繪畫”不只是使用計算機來做畫，也是讓圖畫看起來更真實的數學方法。為了做出這些效果，需要立體幾何的知識、光的數學，以及在起始和完成的影像間內插一連串平滑的動作，等等。“內插”是一個數學的想法，如果沒有許多聰明的數學，內插將不會產生作用——又一個紅色標簽！

當然還包括因特網，完全是數學運作。目前最主要的搜索引擎Google使用數學方法，根據矩陣代數、概率理論和網絡的組合數學，去尋找最可能包含用戶所需信息的網頁。

但因特網的數學較這些更為基本。電話網絡依賴數學，它不像舊時，當時接線生必須手動將電話線路插入總機，而今天這些電話線必須同時傳輸數百萬個信息。有太多人想要和朋友談話、傳真或上網，以致我們必須分享電話線、海底光纜和衛(wèi)星中繼器，否則網絡無法承受那么繁忙的交通。所以每一段談話都被分解成數千個小段，只有約1%的小片段被實際傳輸，其余的99%借著填補間隙的方式盡可能地被復原（之所以行得通，是因為取樣雖短但頻率非常高，以致你聲音的改變比取樣的間距來得慢很多）。噢！整個信號被編碼，以致任何的傳輸錯誤不僅可被檢測出來，也可重新放到正確的接收位置。

如果沒有大量的數學，現代通信系統將無法運作。編碼理論、傅立葉分析（Fourier analysis）、信號處理……

總之，你上網購買機票、訂位、前往機場、坐上飛機后飛往他處。飛機之所以能夠飛行，是因為工程師使用流體流動和空氣動力學的數學進行設計，確保飛機可以飛在天上。飛機使用全球定位系統（簡稱GPS，定位系統由一組衛(wèi)星構成）來導航，衛(wèi)星信號經由數學分析，可以在數英尺的誤差內告訴你飛機的位置。每一個航班都必須列入時間表，才能讓每一架飛機處于正確的位置，這需要其他領域的數學。

親愛的梅格，這是數學運作的方式。你問我數學家是否都隔絕在大學里，或是否有部分數學家的工作和實際生活有關。其實你實際生活的全部，就如同一艘在數學海洋里徜徉的小船，上下擺動。

但很少有人注意到這一點。逃避數學會讓我們感到自在，但卻貶損了數學。這真可恥，這樣一來，人們認為數學沒有用處、不必在意，數學只是智力游戲而已，沒有真正的重要性。因此，我才想要看見那些紅色標簽。事實上，不用紅色標簽的最佳理由，是大部分的地球都將被紅色標簽所覆蓋。

你的第三個問題最為重要，也最令人哀傷。你問我是否必須放棄對美的感受以研讀數學，是否所有事情將變得只剩下數字、方程式、定理和公式。梅格，敬請寬心，我不會怪你問這個問題。可惜這是個非常普遍卻錯得離譜的想法，和真相恰好相反。

數學對我而言如下：它讓我以全新的方式知覺這個我所居住的世界，讓我對自然的定律和模式開了眼界，并提供全新的關于美的經驗。例如，當我看見彩虹，我不僅是看到一道光亮多彩的圓弧，也不僅是看到雨滴對陽光的影響，雨滴將白色日光還原為構成日光的色彩成分。我發(fā)現彩虹既美麗又啟發(fā)靈感，對彩虹不僅只是光線的折射而心存感激，這些顏色就像紅色（還有綠色和藍色）的鯡魚。彩虹的形狀和亮度需要解釋：為何是圓弧狀？為何光線如此之亮？

或許你尚未想過這些問題。你已經知道，當陽光受到雨滴的折射時會出現彩虹，因為陽光的每一種顏色會朝稍微不同的角度轉向，并從雨滴反射進入我們的雙眼。但事情不是如此簡單，為何數以萬計雨滴折射產生的數以萬計有色光線，不會重疊并模糊掉呢？

答案在于彩虹的幾何學。當光線在雨滴內部進行反射，雨滴的球狀形體導致光線聚焦于某一特定方向，每一滴雨滴發(fā)射出明亮的圓錐形光線，或是說每一種顏色的光形成自己的圓錐體，而每一種顏色形成之圓錐體的角度稍有不同。當我們望向彩虹，我們的眼睛只能偵測到位于特定方向的圓錐體，每一種顏色的方向在天空形成一個圓弧。所以我們看到許多同心圓，每一種顏色形成一個同心圓。你所見到的彩虹和我所見到的，是由不同的雨滴所形成。我們的眼睛位于不同的位置，所以我們偵測到由不同的雨滴所產生的不同圓錐體。

彩虹是個人經驗。

某些人認為這樣的理解會“破壞”情感的體驗，因為它會產生對美感滿足的某種壓抑，但我認為這是無聊的想法。做這樣聲明的人通常喜歡假裝自己充滿詩意，對世界奇妙事物抱持開放的態(tài)度，但事實上他們嚴重缺乏好奇心：拒絕承認世界比他們自身的有限想象來得更奇妙。自然永遠比你所想的更深邃、更豐富、更有趣，數學提供你一個非常有用的方式去欣賞自然的美。理解的能力是人類和其他動物最大的不同，我們應該珍視。許多動物都有情緒，但只有人類能理性思考。我必須要說，我對彩虹幾何學的理解，為它的美增加了新的光彩，而情感的體驗卻一點也不會因此變少。

彩虹只是一個例子。我觀察動物也和常人的角度不同，因為我注意到動物移動時對應的數學模式。當我注視一塊水晶，我留意到原子晶格和外在色彩的美麗。在波浪、沙丘、太陽起落、雨滴落在水坑濺起漣漪，甚至停在電話線上的鳥，我也都能看到數學。此外，如同望向彌漫大霧的海洋，我模糊了解到，這些日常奇妙的事物充滿無限的未知。

數學的內在美麗也不應該被輕視、被忽略，數學研究本身就已非常美麗優(yōu)雅。數學的內在美并不是我們在學校里使用的“加法”。雖然加法背后的一般原則自有其美麗之處，但它們大多難看又無定形。數學的內在美麗存在于：想法、普遍性、突然一閃而過的靈感，以及使用直尺和圓規(guī)嘗試三等分某個角度就等同于去證明3是一個偶數；我們無法建構一個等邊七邊形，但可建構一個等邊十七邊形；沒有方法可以解開單結；為何某些無限大比其他還大，而某些應該較大的無限大結果卻相等；等于連續(xù)平方之和（1+4+9…）的唯一平方數為4900（1除外）。

梅格，因為你有一個合乎邏輯和追根究底的心靈，你有成為優(yōu)秀數學家的潛力。你不會滿意于模糊的論點，你想要看到細節(jié)并親自檢查，你不只是想知道如何讓事物運作，而且也想知道為何事物能夠運作。此外，你的來信讓我企盼，將來你能和我目前一樣，能夠看到數學的有趣和美麗——以一種獨特的看待世界的方式。

我希望，這為你研讀數學建立了所需要的背景。

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作者簡介

伊恩?史都華(Ian Stewart)為華威大學（Warwick University）數學教授，英國皇家學會（Royal Society）院士，國際知名數學科普作家。他發(fā)表過一百四十多篇研究論文，而且獲獎無數，他不僅影響數學領域本身，也致力于大眾對數學的理解，以及其他相關科學范疇。其作品包括《上帝擲骰子嗎？》（Does God Play Dice?）、《大自然的數學游戲》（Nature's Numbers）、《生物世界的數學游戲》（Life's Other Secret）等書。

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編輯?∑Gemini

?來源：高數網

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總結

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