今天，我想來(lái)講一下 20 世紀(jì)的那一場(chǎng)最令人震撼的數(shù)學(xué)沖突。

那場(chǎng)沖突的中心人物是布勞威爾和希爾伯特。

開(kāi)幕

在出場(chǎng)前，請(qǐng)容我禮貌性地介紹一下這兩位大人物。

魯伊茲?布勞威爾（Luitzen Brouwer），荷蘭數(shù)學(xué)家，他否認(rèn)準(zhǔn)確交流的可能性和語(yǔ)言的作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直覺(jué)，被視為直覺(jué)主義學(xué)派的創(chuàng)始人和代表人物，這使他對(duì)形式主義學(xué)派多多少少都有點(diǎn)偏見(jiàn)。

而戴維?希爾伯特 (David Hilbert，1862~1943) 則是一位德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，提出了 23 個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，被認(rèn)為是 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)的至高點(diǎn)，他被稱為 "數(shù)學(xué)界的無(wú)冕之王"，是形式主義學(xué)派代表人物，主要觀點(diǎn)是：將數(shù)學(xué)看成是形式系統(tǒng)的科學(xué)。

其實(shí)在這一場(chǎng)數(shù)學(xué)沖突大爆發(fā)前，兩人還是惺惺相惜的“好友”。

在 1909 年，他們?cè)谙矊幐鶗?huì)面了，布勞威爾向希爾伯特展示了他的語(yǔ)言和數(shù)學(xué)水平，后來(lái)給一位朋友的回信中，他形容希爾伯特是“世界上首屈一指的數(shù)學(xué)家”。

而在希爾伯特眼里，布勞威爾是一個(gè)難得的數(shù)學(xué)天才，他把這種“欣賞”也放在了行動(dòng)上：1912 年，希爾伯特為布勞威爾推薦了阿姆斯特丹大學(xué)的一個(gè)教授職位，1919 年，希爾伯特還給他提供了哥廷根大學(xué)的一個(gè)教授職位，這絕對(duì)是一個(gè)晉升，但布勞威爾拒絕了（在將要到來(lái)的決裂，這或許是一個(gè)原因）。

隨著布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)上的成就和他在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)上的觀念為他贏得的成功，地位的逐漸升高，一切就不一樣了。

一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)正在滋生

1908 年，布勞威爾寫出了一篇名為《關(guān)于邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認(rèn)為運(yùn)用排中律的數(shù)學(xué)證明是不合理的。

排中律是一個(gè)基本的邏輯定律，也是一個(gè)常用的數(shù)學(xué)技巧，指每一個(gè)數(shù)學(xué)命題要么對(duì)，要么錯(cuò)，沒(méi)有其他可能性。

布勞威爾不認(rèn)同，他堅(jiān)持認(rèn)為第三種情況是存在的。

1912 年，在阿姆斯特丹大學(xué)的數(shù)學(xué)教授就職演說(shuō)上，布勞威爾進(jìn)一步探討了他認(rèn)為與這個(gè)“定律”有聯(lián)系的問(wèn)題。

他經(jīng)常質(zhì)疑建立在排中律基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)證明，稱他們是“所謂的證明”。

1920 年，他聲稱“將排中律用作數(shù)學(xué)證明的一部分，是不允許的……它只具有學(xué)理和啟發(fā)的價(jià)值，因此那些在證明中不可避免使用這個(gè)定律是缺乏數(shù)學(xué)內(nèi)涵的。”

后來(lái)希爾伯特實(shí)在忍無(wú)可忍，回應(yīng)道：“把排中律排除在數(shù)學(xué)之外，就像禁止拳手使用拳頭。”

希爾伯特是在 23 歲時(shí)以一篇關(guān)于不變量理論的論文擠身數(shù)學(xué)界的，在這篇論文中，它使用了非構(gòu)造性的證明，而他的證明正是依賴于對(duì)無(wú)窮的對(duì)象使用排中律。

1917 年至 1920 年，布勞威爾開(kāi)始進(jìn)一步發(fā)展他的直覺(jué)主義觀點(diǎn)，包括沿著直覺(jué)主義思路發(fā)展集合論。

在 1919 年的《直覺(jué)主義的集合論》，布勞威爾指出他早期的拓?fù)鋵W(xué)研究從直覺(jué)主義觀點(diǎn)來(lái)看是不正確的。

拓?fù)鋵W(xué) (topology) 是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。

在大約 1920 年后，他向外界發(fā)布了這些成果，這顯然是對(duì)希爾伯特的挑戰(zhàn)。

康托創(chuàng)立集合論，是基于解決微積分的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題，為了使微積分里面采用的無(wú)窮小概念有一個(gè)清晰的邏輯基礎(chǔ)。

希爾伯特?zé)岢赖刂С挚低械募险撆c無(wú)限數(shù)，他認(rèn)為，為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，支持康托的觀念將是必要的。

而且希爾伯特在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所做出的最具影響的貢獻(xiàn)還是著名的幾何基礎(chǔ)和“23 個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題”，這里面都涉及到了拓?fù)鋵W(xué)。

不嫌事大的是，外爾這時(shí)轉(zhuǎn)變了立場(chǎng)。

外爾曾是希爾伯特的優(yōu)秀學(xué)生，希爾伯特曾指望他成為一個(gè)忠實(shí)的追隨者。

1921 年，外爾發(fā)表了一篇新文章解釋他的新立場(chǎng)，說(shuō)在某種程度上，希爾伯特的方法將所有的東西都簡(jiǎn)化成了一種游戲。

對(duì)于這種變故，希爾伯特看得很重。

開(kāi)戰(zhàn)

1922 年，希爾伯特終于按耐不住，要反擊了。

他寫了一篇針對(duì)布勞威爾和外爾兩人的文章。

他寫道：“杰出的，成就卓越的數(shù)學(xué)家外爾和布勞威爾正在通過(guò)肯定是錯(cuò)誤的途徑來(lái)尋找這些問(wèn)題的解決方法。”

希爾伯特接著說(shuō)：“外爾和布勞威爾所做的基本上是沿著以前克羅內(nèi)克所走的路老路。拋棄所有令他們不快的現(xiàn)象，并按照克羅內(nèi)克的方式建立專政來(lái)加以禁止，他們尋求通過(guò)這種方式來(lái)為數(shù)學(xué)樹(shù)立基礎(chǔ)，但這意味著肢解并毀壞我們的科學(xué)，如果我們追隨這些革命者，我們將冒失去很大一批最寶貴財(cái)富的危險(xiǎn).……我相信，就像克羅內(nèi)克在當(dāng)年不能消除無(wú)理數(shù)一樣，今天，外爾與布勞威爾也將行不通他們的計(jì)劃。”

在文中，為了回應(yīng)外爾和布勞威爾的抨擊，他提出了經(jīng)過(guò)修訂的大膽的新方法，這個(gè)方法為形式主義的學(xué)派樹(shù)立了一個(gè)更新更牢固的基礎(chǔ)。

他在文中提出了對(duì)分析公理一致性的證明的大概想法：“把數(shù)論建立在數(shù)“1”和符號(hào)“+”的基礎(chǔ)上，當(dāng)我們用這種方法發(fā)展數(shù)論時(shí)，不需要公理，也不可能有任何矛盾產(chǎn)生。”

多年后，利用根岑的新方法，人們意識(shí)到希爾伯特的證明理論是一個(gè)極好而又有力的數(shù)學(xué)工具，對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)尤其有幫助。

1928 年，布勞威爾對(duì)希爾伯特新方法回應(yīng)道：“所有這些表明，形式主義從直覺(jué)主義那里沒(méi)有直接接受任何東西，但卻從中受到很多啟發(fā)，而且它還有望受益更多。”因此，形式主義學(xué)派應(yīng)該給直覺(jué)主義學(xué)派一些贊譽(yù)，而不是用輕蔑的語(yǔ)氣攻擊他，甚至提都不提作者的名字。

然而，希爾伯特并不是什么好茬，在一番反擊后，并不愿意就此罷休，他決定開(kāi)始攻擊！

高潮

1914 年，布勞威爾被任命為備受歡迎的《數(shù)學(xué)年鑒》編輯部成員，這項(xiàng)任命是一個(gè)榮譽(yù)，也是對(duì)他在數(shù)學(xué)界里備受尊敬的表現(xiàn)。

從那以后，他謹(jǐn)慎并慢條斯理地為雜志工作著。

盡管如此，他的暴脾氣還是給他帶來(lái)麻煩了。

布勞威爾的天才是不容置疑，但對(duì)于他的性格，人們用憤世嫉俗，自私自利，神經(jīng)過(guò)敏，情緒化和頑固這樣的詞來(lái)描述。

范·達(dá)倫寫道：“布勞威爾是一個(gè)神經(jīng)過(guò)敏的人，壓力之下。他很容易夸大事實(shí)。”

當(dāng)時(shí)克萊因是雜志的主編之一，地位堪稱主編之首，但他決定辭職了，其原因是和布勞威爾發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)。

在這場(chǎng)爭(zhēng)執(zhí)上，布勞威爾實(shí)際上是對(duì)的，但他表現(xiàn)得太粗魯了，克萊因決定引退。

在克萊因引退后，希爾伯特接手了他大部分的工作。

克萊因的引退對(duì)布勞威爾來(lái)說(shuō)是很不幸的，用今天的話來(lái)說(shuō)，他只能稱為助理編輯，而他的死對(duì)頭希爾伯特卻是主編之一。

看到這里，我表示真是細(xì)思極恐！果不其然……

在 1928 年 10 月底之前不久，布勞威爾收到了一封來(lái)自希爾伯特的辭退信。

這給布勞威爾打擊很大，他把這個(gè)突然而來(lái)的辭退當(dāng)作一種直接而重大的侮辱。

隨后，他寫信給他的同事，聲稱這辭退信是希爾伯特在頭腦不健全的時(shí)候發(fā)出的，是無(wú)效的。

對(duì)于布勞威爾來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤，在那種情況下，正如布魯門薩爾所說(shuō)的，它會(huì)被看成是“可怕而惹人憎惡的信”。

在告知失敗后，布勞威爾不屈不撓。

他接下來(lái)給希爾伯特夫人寫信，請(qǐng)求她給丈夫吹吹枕邊風(fēng)，使其改變主意。但輾轉(zhuǎn)得到的消息是：“在這件事情上，希爾伯特不受任何人的影響”。

同一天（11 月 5 日），布勞威爾在更大的范圍向所有的編輯們傾訴，申明希爾伯特辭退他的理由根本不存在。

但除了愛(ài)因斯坦之外的編輯們都表明了鮮明的立場(chǎng)，怕是無(wú)法回天了。

于是，布勞威爾和一位普通的編輯比貝爾巴赫一起到柏林拜見(jiàn)出版商斯普林格。

他們發(fā)出警告說(shuō)，如果辭退信被執(zhí)行，《年鑒》和斯普林格出版社的利益都會(huì)受損，因?yàn)椴紕谕栆獎(jiǎng)?chuàng)建一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性的雜志。

然而斯普林格并不在意這種威脅。

但這事還沒(méi)完，布勞威爾在想：如果愛(ài)因斯坦站在我這邊，或許事情還有轉(zhuǎn)機(jī)。

可惜的是……

愛(ài)因斯坦回信說(shuō)：“很遺憾，我像一只無(wú)知的羔羊甩入了數(shù)學(xué)的“狼群”……因此，請(qǐng)?jiān)试S我保持我的“既不噓又不呸”的態(tài)度，也請(qǐng)?jiān)试S我扮演一個(gè)對(duì)他們的行為感到不可思議的角色。”

這算是斷了布勞威爾的退路，但他仍不放棄。

他請(qǐng)來(lái)律師，給編輯們發(fā)了一封信。信里指責(zé)希爾伯特在《年鑒》編輯部的“侵占”行為，這破壞了大家對(duì)希爾伯特的信任。

在此信之后，布勞威爾來(lái)了最后一擊：一封長(zhǎng)信。

信中談了他對(duì)為什么他不應(yīng)該被解雇的基本看法，包括對(duì)克萊因事件的另一種解釋。

但這些努力都無(wú)濟(jì)于事……

最后辭退生效了。

很顯然，希爾伯特贏了。

這件事對(duì)布勞威爾的傷害很大，以至于他把希爾伯特看成“我的敵人”。

有一次聚會(huì)，同為客人的范德瓦爾登稱希爾伯特是他的朋友，布勞威爾憤而起身離開(kāi)。

在這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)中，真是令人不禁唏噓！

看來(lái)數(shù)學(xué)家也不過(guò)是普通人一個(gè)，也會(huì)有紛爭(zhēng)，嫉妒，爭(zhēng)強(qiáng)！

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總結(jié)

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