數的進化

回顧從自然數1，2，3，4，…開始，再加上分數、負數、無理數，直到成為實數的發展過程，可以說它很像是許多涓涓細流匯成一條大河。

[注：本文涉及的自然數不包括0。]

自然數添上分數，再添上負數就成為了有理數（當然還要添上0）；有理數再加進無理數就成為實數。可是光有實數還不夠，再加上新來的虛數，這就誕生了更廣泛的數——復數。

那么，為什么在數的世界里，要從自然數擴大到實數呢？他細想一想，這里有個一貫的原則。比如說，有一個人只知道10以內的數。

1，2，3，…，10

當然對這個人來說：加法也是不太行的。也就是說，即使取其中任意兩個數相加，也有可能答不上來。如果是2+3，他知道是5。要是6+7的話，他就只好說“不知道”了。他即使知道10000以內的數也是一樣。因為6000+7000的答案不可能在10000以內的數里找出來。

因此，為了無限制地進行＋運算，就必須有無限多的自然數。這樣就產生了所謂無限多的自然數的整體的想法，這就是

1，2，3，…

想象有這樣一個自然數的整體，就可以自由的進行＋運算了。這時，自然數的整體對于＋來說叫做閉合。由于乘法也是自然數的相乘，是加法的重復，因此也能自由地進行。也就說自然數的整體對于×是閉合的。

所以在只考慮＋或×的時候。只要自然數就夠用，沒有必要再考慮新的數。

可是要考慮×的逆運算÷的時候，自然數就不再閉合。因為任意取兩個自然數作除法結果卻不一定是自然數。例如2÷3的結果就不是自然數。

自然數的范圍太狹窄了，要想自由地進行除法運算，就必須增加新的數，這就是分數。在自然數與分數合起來的更寬廣的數的范圍內，＋，×，÷就可以自由地進行。

然而，想到＋的逆運算－的時候，這個范圍又窄了。因為不能從小數減去大數，例如2－5，即使寫出這個式子，也得不出答案。

為了讓這個式子也能有答案，就必須想出－3這樣一個新數。也就是說要自由地做－運算，需要有一種新的數——負數。

把數的范圍擴大到正的自然數、負的自然數及分數，即有理數時，＋，－，×，÷四則運算可以自由的無限制地進行。換句話說有理數對于四則運算是閉合的。

19世練的天才數學家伽羅瓦把對于四則運算閉合的數的集合叫做域。按照這個叫法，也可以說整個有理數的集合是域。當然，叫域的除了有理數之外還有許多，對于我們來說最熟悉的首先就是有理數。

當數的世界擴展到有理數時，＋，－，×，÷的計算雖然能自由地進行，但是還不具有連續性，所以仍然不能表示直線上所有的點。填滿這些空缺就需要無理數。有理數與無理數合起來就是實數。有了實數就可以表示直線上所有的點。

總而言之，實數的集合就是對于＋，－，×，÷閉合的一個域，同時還具有連續性。到此為止，似乎可以認為數的世界擴展可以暫時停止了。

可是，如果實數世界就是終點，數的交響樂不過是缺少最后樂章的未完成的交響樂而已。隨著實數而來的最后的樂章就是復數。

四則逆運算

以前擴大數的世界時，在很多情況下它的契機是逆運算。例如，由于×的逆運算÷而增加了新的分數；由＋的逆運算－而產生了新的負數。從實數產生復數的契機也仍然基于逆運算。

假如我們對于x這樣一個實數任意進行＋，－，×，÷四則運算時，可得到以下的式子：

不管這些式子多么復雜，也只是＋，－，×，÷的組合，所以只要x是實數，代入計算的值就也是實數。

比如設下面式子等于y：

假定這個式子是從x算出y的，這就是四則運算。

現在來考慮四則運算的逆運算，也就是從y求出x。例如當y=2時，x等于多少呢？這個計算就是

為此，只要解答下面的式子求出x，

去掉分母

移項得

解滿足這個方程的x，結果呢？所謂??的逆運算不過是解代數方程，只此而已。

以前也有這樣的事，就是逆運算要比原來順運算難，如－比＋難，÷比×難。現在的情況也是如此，解代數方程的運算是比四則運算要難。

那么在實數的范圍里，能不能自由地進行解這個代數方程的運算呢？答案是否定的。請看下面的實例。

在四則運算??中，要是反過來從y求x的話，就不是任何時候都能行得通的。如果y是正數

可以求出實數x。如果y是負數，例如y=－1就不能在實數范圍內找出與之對應的x。因為（實數）2 決不會是負數。

因此我們知道，在實數的范圍內，對于四則運算的逆運算“解代數方程”來說，不是閉合的。要想自由地解代數方程，就必須打破實數的框框，導入新的數。這個新的數就是虛數。

代數學的基本定理

我們知道，如果把數的世界擴大到復數，那么二次方程，三次方程以及zⁿ?-1=0形式的n次方程就都是有限的。而且不管什么情況，根的個數和方程的次數相同。

這個試試能不能再一般化呢？也就是說所有的n次代數方程

a₀x^n?+ a₁x^n-1?+…+ a_n-1x + a_n?= 0

是不是一定有復數根呢？

這件事大約在200年前就曾設想過，但在漫長歲月里誰也不能證明。

高斯

首先證明這個事實的是20歲的青年高斯。他在1797年哥廷根大學的畢業論文里首先證明了這個事實。這個定理叫做代數學的基本定理，理由是解代數方程是代數學的最大任務。

這個定理就保證了代數方程不論如何都有根存在，不用擔心為了找出不存在的根而白費勁，可是即便知道有根，要找出它來也決不是容易的事。

首先，解一次方程是很早以前就知道的。二次方程也是很早以前知道解法的。

但三次方程就是后來才找到解法。對于這件事，卡爾達諾和塔爾塔利亞還爭論不休呢。

卡爾達諾

到了四次方程可就難得多了，那是卡爾達諾的弟子費拉里（1522-1563）發現的。

方程的次數一高，方程的解法就像加速度一樣變得更難。

征服了四次方程的數學家們，又著眼于解五次方程。在很長的時期里，這是數學家進軍的目標。

你問登山家：“為什么要登喜馬拉雅山呢？”登山家回答說：“因為它在那兒。”

數學家也像登山家那樣，把阻擋在眼前的五次方程作為目標，不斷地發起突擊。

然而，所有的突擊都被擋了回來。人們就漸漸知道這五次方程是格外棘手的目標。

于是人們開始重新考慮。雖然根的存在是根據代數學的基本定理而得到保證的。可是解方程的手段如何呢？

仔細推敲解方程的手段，到四次方程為止，根是可以用＋，－，×，÷還有開n次方ⁿ√?等手段解出來。仍然只用＋，－，×，÷和ⁿ√?能解五次方程嗎？

就像不帶氧氣，只用冰鎬和繩索已經不能登上喜馬拉雅山那樣，數學家開始懷疑用以前的手段不能解五次方程了。

阿貝爾

挪威數學家阿貝爾（1802-1829）從這種懷疑出發，終于證明了只用＋，－，×，÷和ⁿ√?不能解五次方程。

伽羅瓦

接著伽羅瓦（1811-1832）把這個問題一般化，發現了只用＋，－，×，÷和ⁿ√?所能解的方程的形式。他因此所創立的群論使后來的數學發生了很大的革命。

節選自日本當代著名數學教育家遠山啟的作品《數學與生活（修訂版）》

∑編輯?|?Gemini

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總結

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