本文節選自廣西師大出版社《數學現場：另類世界史》！

李冶在鈞州率領金國將士血戰蒙古騎兵的時候，一個二十四歲的年輕人正在南宋的臨安過著逍遙自在的日子。他剛剛考上了進士，躊躇滿志地籌劃自己的仕途，并特意為自己取了一個號，叫作道古（效法古人行事的意思）。這個無比聰明的年輕人在當時人們的眼里，前途確實無可限量。但后來的事實證明，他的仕途并不順利，而且留下很糟糕的名聲。

道古出生在四川，父親曾在巴州為官。后父親因戰亂帶領全家遷至首都臨安（今天的杭州）。幾年工夫，父親擢升工部郎中、秘書少監兼國史院編修官、實錄院檢討官。由于父親是掌管各項工程、屯田、水利、交通的工部郎中，又任國史院官職，掌管各類經籍圖書，使道古得以接觸學習各類知識。他的生性一定非同尋常的聰穎，因為很快他就對當時的種種學問，如星象、音樂、算術以及建筑學等無一不通。更重要的是，他還曾經向當時的隱士求教，學習數學。

他十八歲就當上了住地的義兵首，后到郪縣（今天的四川綿陽附近）做縣尉。有了進士身份以后，他更是仕途大展。幾年內，他從湖北蘄州（今湖北蘄春縣）通判擢升為和州（今安徽和縣）知州，又赴建康府（今江蘇南京）為官。眼見一切順利，可就在這時，他的母親去世了。按照規矩，凡是喪父喪母的官員必須解職守孝三至五年，這叫作丁憂。道古急赴臨安吊喪，然后轉回湖州老家。

13世紀上半葉，南宋小朝廷是在喜憂參半的心情下度過的。蒙古的崛起給南宋帶來了極大的威脅，而金國又不斷地騷擾，兩國征戰不絕。公元1234年，為了一雪北宋滅亡的靖康之恥，南宋朝廷派使者前往蒙古，雙方結成聯盟，共同對付金國。作為宋軍援戰的報酬，蒙古承諾滅金后把黃河以南的中原地帶歸還南宋。不久，蒙宋聯軍攻入金國首都汴梁，金哀宗完顏守緒（公元1198—公元1234）自縊身亡。指揮南宋盟軍的大將孟珙（公元1195—公元1246）把金哀宗的尸骨帶回臨安，舉國一片歡騰，人們競相慶賀，一百年的恥辱終于以金國的滅亡而告終。可是金被滅以后，南宋的西部和北部直接暴露在蒙古的威脅面前。窩闊臺可汗滅金后，立即撕毀了將黃河以南歸還南宋的協議，強迫改為陳州、蔡州以北屬蒙古，以南屬南宋。這使南宋失去了黃河與長江之間的大片肥沃土地，也失去了黃河的屏障。南宋政府無力反抗，只能忍辱接受。從此，南宋的憂患越來越嚴重，蒙古騷擾不斷，國無寧日。

按當時的規矩，喪母的道古不能從政，在湖州過了四五年平靜的日子。我們不知道他都做了些什么，因為史書上沒有記載。但是在宋理宗淳祐七年（公元1247年）的秋天，他突然刊出一本書來，名叫《數學大略》。書的前面有《序》一篇，對自己著書的經歷有這樣的描述：“時際兵難，歷歲遙塞，不自意全。于矢石之間，更險離憂，荏苒十祀。”大意是說，在兵荒馬亂的年代，交通不便，所以無法寫得詳細全面。這本書是在石雹箭雨當中寫成的，期間充滿了憂愁和艱險，又經過十年的修改才完成。這一年，道古三十九歲。也就是說，他是從二十九歲起就開始寫這本書了。

這本書就是后來的《數書九章》，它在世界數學史上占有非常重要的位置。道古，大名秦九韶（公元1208—公元1261），也因此被稱為中國歷史上最偉大的數學家。

在這本書里，秦九韶有三項最重要的數學貢獻。第一個貢獻是所謂的秦九韶公式。《數書九章》第五卷有“三斜求積”一題。其中“三斜”為“大斜”“中斜”“小斜”，是三角形從大到小的三條邊（圖26）。秦九韶列出的任意三角形面積S的公式，用現在的代數語言表達是：

這個公式的基本出發點是出入相補（又稱以盈補虛）原理，它是中國數學中用于推證幾何圖形的面積或體積的基本原理。其內容如下：

?

1.一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積或體積維持不變——所有小圖形面積或體積之和。

2.一個幾何圖形，可以任意旋轉、倒置、移動、復制，面積或體積不變。

3.多個幾何圖形，可以任意拼合，總面積或總體積不變。

4.幾何圖形與其復制圖形拼合，總面積或總體積加倍。

?

出入相補原理是三國時代的數學家劉徽創建的。他說：“勾股各自乘，并而開方之，即弦。”這就是直角三角形的勾股定理。然后他又說：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，另出入相補，各從其類，因就其余不移動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也。”

從圖26，劉徽從B點作線段AC的垂線，交AC于點D，得到兩個直角三角形ADB和BDC，它們的高相同，都是BD=h。現在復制三角形ABD，把它旋轉180度，使得復制后的三角形和ABD的斜邊重合，也就是圖26中的三角形ABD′。由于這兩個三角形都是直角三角形，它們的和是一個矩形ADBD′。同樣復制直角三角形BDC，得到三角形BD″C，和矩形DCD″B。兩個矩形的總和ACD″D′，其面積從古巴比倫和古埃及時代就知道了，是a×h；所以，三角形ABC的面積是。把復雜的幾何形狀轉換為簡單形狀，然后求解，這其實跟海亞姆的“填充方塊法”的思路是很類似的。秦九韶從這里導出用邊長來表達的面積公式，具體做法，我們留給讀者吧。

在歐洲，這個公式在希臘化時期就被亞歷山大里亞的希羅（Hero of Alexandria，約公元10—公元70）明確地證明了，只不過表達方式不同。比希羅早兩個世紀的阿基米德很可能就已經得到了這個結果。在中國，是秦九韶發現了這個公式。這是一個很重要的公式，因為任何一個n（n>3）邊多邊形都可以切割成n-2個三角形。有了這個公式，可以很容易地計算出任何n邊多邊形的面積。

秦九韶的第二個貢獻是求解一元高次方程的數值解。秦九韶找到了一個通用解法，可以用于任何階次的一元方程。在“遙測圓城”的題目下面，他利用籌算，求得一個一元十次方程的正數解。這個問題也同戰爭有關：在無法接近敵人城池的情況下，如何根據測量來計算城池的大小？假定城墻是圓環狀的，秦九韶得到這樣一個方程：

其中是需要求得的城池的直徑。秦九韶沒有做=y之類的變量代換，而是直接擺開算籌來求這個方程的數值解，因為他有一套系統的求解方法。利用他的方法，可以很快求得x=3，因此圓城的直徑是九里。他的方法已經跟現在應用數學中的計算程序非常接近，只不過是需要人來移動擺放算籌罷了。這個方法現在被稱為秦九韶算法。

秦九韶的方法讓后世的數學史專家們驚詫不已，因為它采用了五六百年以后才為人們所認識的數學原理和算法。跟他的前輩——中國和古埃及數學家一樣，他拿起就用，不加證明。他對這些知識的熟悉程度是不言自明的。

首先是多項式余式定理：把任意一個n>1的多項式

。除以，所得的余數等于該多項式在時的值。其次是綜合除法的算法，也就是如何對任意多項式做除以的實際操作。

為了簡單起見，我們只看三次多項式?。我們想把這個多項式除以（x-g），應該怎么做呢？見下面圖27：

先在第一行列出x的各個冪位。在該行的左面畫一條豎杠，把（x-g）中的數字g寫在豎杠的左面，準備用它來做計算。把多項式x各個冪位的系數寫在相應冪位的下方，作為第二行。留出一個空行（第三行），在第三行的下面畫一條橫杠。用g乘以第二行的第一個系數，也就是的系數a，得到ag，把它寫在第三行對應那一列的位置。對該列第二行、第三行的數字（b和ag）做加法，把結果（b+ag）寫在第四行該列的位置。下一步把這個結果（b+ag）乘上g，寫到第三行第三列（對應那一列），對該列第二行、第三行兩數做加法，得到c+[g(b+ag)]，把它寫在第三列第四行的位置上。對第四列重復以上步驟，最終得到圖27的結果。

為什么要這么做？請讀者自己驗證下面的等式：

（14）

這個等式說明，通過圖27的步驟，我們已經把變成（x-g）和一個二次多項式的積再加上余式（或余數）。事實上，對第四行左面的三項所給出的二次多項式?，還可以再除以（x-g）。得到的單次項還可以再除以（x-g）。這樣，最終可以把（14）變成另一種表達方式：

（14a）

這里，y=x-g，帶撇的系數是相應變化后的系數。

現在使用余式定理。根據這個定理，在x=g時，。所以，如果找到g，使?，我們就找到了方程的一個解。這樣，我們對求解高階方程有了一個出發點：把n階方程看作n階多項式，猜測一個近似解x=g，將n階多項式化簡為（x-g）乘以一個n-1階多項式，使余數接近于零。如果第一個猜測解的余數大于零，試另外一個猜測解，直到找到一個猜測解，其余數小于零。有了最接近于零的兩個猜測解，一個余數大于零，另一個余數小于零，方程的根就在這兩個猜測解之間。

舉個例子。考慮如下方程：

（15）

?

常數項是13258，我們需要猜測一個近似解，使其三次方接近這個

數。粗略的猜測是一個介于20和30之間的數，因為，=8000，小于13258，=27000，大于13258。把這兩個猜測解代到方程（15）里，我們發現當x=20時，<0，當x=30時，>0。于是我們肯定真正的解在這兩個值之間。現在我們按照圖27的步驟把上面的方程除以（x-20）=y（圖28a）：

注意圖28a中，我們對以y=x-20連續做了三次除法，第一次除法跟圖27完全一樣，得到的最后一行黑色數字的前三項對應的是一個二項多項式，余數為-4338。紅色的數字是把這個二項式除以y=x-20，得到的是單項式x+42，余數為1286。藍色的數字是把x+42再除以y，得到余數62。這是什么意思呢？讀者不妨自己驗證一下，我們通過以上步驟，把原來的多項式變成了，這里y=x-20。

?

我們已經知道x的根在20和30之間，所以現在要求的y的根一定是一個個位數。試一下y=5，發現余數是個很大的正數8105。再試y=4和3，余數都是正數。圖28b是y=2的多項式除法，余數從y=3的正數變成負數。這樣，我們得到（15）的近似到個位的解x=22。

當然還可以繼續做下去。圖28c是在做了另一個變換z=y-2以后，選擇z=0.9的多項式除法。現在余數已經是很小的負數了。如果覺得x=22.9還不夠精確，那就繼續做下去。請讀者驗證，下一個數位的數值是0.03。

這個方法也很像計算機的程序，可以一直運算下去，直到達到滿意的精度為止。更重要的是，它對方程的階次沒有限制。秦九韶解過一元10次方程，而實際上任何階次的方程它都能解。唯一的缺點是它給不出普遍的公式，只能提供數值解。他還給這個方法取了個漂亮的名字，叫玲瓏開方術。

在歐洲，這個絕妙的計算方法要到五百多年后的19世紀上半葉才由英國數學家威廉·喬治·霍納（William George Horner，公元1786—公元1837）提出來。數學家奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan，公元1806—公元1871）曾經對霍納的方法贊嘆不已，說它“必使其發明人因發現此算法而置身于重要發明家之列”。但是不久，英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie，公元1815─公元1887）就對霍納的發明權提出了質疑。他在公元1852年所著的《中國數學科學札記》中，詳細介紹了秦九韶的玲瓏開方術之后寫道：“讀者不難認出這就是霍納在1819年發表的《求解所有次方程》論文中的結果……我以為應該對霍納的發明權提出辯駁。歐洲的朋友們可能會覺得意外，一位來自天朝帝國的競爭者有更大的機會確立他的優先權。”

秦九韶的第三大貢獻是對《孫子算經》里“有物不知其數”的余數問題做出了全面系統的回答，找到了解決同余式組的一般方法，他稱之為“大衍求一法”。這個方法現在成為中國余數定理。這個問題超出了我們的故事范圍，只要引用下面這個評價，就可以知道它對后來數論的影響有多大了：

“秦的工作是如此的精妙，我們很想知道他是如何得到這樣的成就的……他不可能是從印度人那里學到處理這類問題的方法的，因為他的方法和印度人的差異很大。結論是，我們必須承認，秦是從古至今所有數學家當中的一位偉人……秦自稱是在杭州皇家機構學習天文時從計算歷書的專家們那里學來的。不過他又說，那些專家只知道按照規則計算，卻不知道為什么。這是可信的，天文歷書的計算確實需要一些同余的基本理論。秦把當時的理論向前推進了巨大的一步，并且表現出難得的謙虛——這種謙虛在他生活的其他方面是相當缺乏的。他的工作到底有多精彩？只要提到下面幾個事實就夠了：歐拉（Leonhard Euler，公元1707—公元1783）未能為這個理論提供令人滿意的證明；秦的方法需要等到高斯（CarlFriedrich Gauss，公元1777—公元1855）等人出現后才被重新發現。”

（參見蘇格蘭圣安德魯大學“數學小家教”網站http：//www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Qin_Jiushao.html）

數海拾貝

如果兩個整數除以同一個正整數得到相同的余數，那么這兩個整數就成為同余。這是數論里面一個重要的等階關系。最早的同余問題出現在《孫子算經》里：

有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？答曰：二十三。

這是一個一次同余式組：

??

《孫子算經》成書的時間目前還不大清楚。估計是在魏晉或南北朝期間（4世紀——6世紀）。

秦九韶的《數書九章》和李冶的《測圓海鏡》幾乎是同時出版的。那時李冶已年近花甲，而秦九韶正值而立之年，應該說前途遠大。非常遺憾的是，才華橫溢的秦九韶從那以后再也沒有任何建樹。《宋史》當中沒有關于他的記載，我們只能在宋人筆記和一些地區文獻中發現他的蹤影。跟他同時代的詩人劉克莊（公元1187—公元1269）說他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”。比他小二十幾歲的周密在《癸辛雜識》里對他除了“性極機巧，星象、音律、算術，以至營造等事，無不精究”“駢儷、詩詞、游戲、球馬、弓箭，莫不能知”，沒有好話。根據周密的描述，秦九韶似乎是一個性格暴烈、為所欲為、報復心理極強的人。他絕不是那種溫文柔弱，低聲細語的學者。所以上面的評論說謙虛在他生活的其他方面是非常缺乏的。

根據周密的記載，我們還知道，秦九韶浸淫在腐敗的南宋官場而不能自拔，把精力都放在討好重臣如賈似道、吳潛等人之上。賈似道是當時公認的奸臣，宋人和元人都認為賈似道對南宋的滅亡負有不可推諉的責任。吳潛在任期間，同賈似道政見不合，二人經常在皇帝面前互說壞話，每個人周圍都有自己的支持者。而秦九韶則在兩面游移搖擺，見風使舵，讓當時的士人很瞧不起。更不堪的是他貪財，撈起錢來不擇手段。從二十幾歲當官開始，他的名聲就很壞。賈似道給了他一個瓊州的官職，上任才幾個月，他就撈得盆滿缽滿，歸來時“所攜甚富”。對于他不喜歡的人，他可以動用毒藥，欲置之于死地。如此等等，罄竹難書。但是周密在這些頗為詳細的記載之后又加了一句“陳圣觀云”（聽陳圣觀說的），可見周密所記述的事情也可能只是道聽途說。

清朝同治年間，湖州藏書家陸心源（公元1834—公元1894）負責編修《湖州府志》，根據劉克莊和周密的記載，決定不把秦九韶錄在“湖州寓賢”之內。這非常可惜，由于陸心源的一己之見，關于秦九韶生平的寶貴資料就永遠遺失了。今天有人試圖為秦九韶洗清污名，但信實可靠的資料非常少。

同治八年上元，宗湘文源翰（注：宗源翰，字湘文，文學家）權知湖州，邀余及汪謝城（注：汪日楨，號謝城，清代天文學家）、廣文丁寶書處士同修《湖州府志》，以三年之久。謝城僅認“蠶桑”一門，馀皆余與寶書任之。及《府志》成，郡人議修縣志，謝城籍錄烏程，隨以《烏程志》屬之。其各傳皆取材于《府志》，而于“宋寓賢”增《秦九韶傳》。考九韶之為人，有不孝、不義、不仁、不廉之目。先有議幕之除，首遭駁論，又除農丞，措置平江米餫，后省再駁，其命遂寢。后村謂其人暴如虎狼，毒如蛇蝎，非復人類……周密與九韶同寓湖州，或有鄉里私怨，后村（注：后村是劉克莊的字）氣節文章名重當世，且見之奏駁，必非無影響者。故余修《府志》，于《寓賢》不為立傳，而謝城矜為獨得，不免變亂是非矣。

陸心源《同治烏程縣志跋二》

本文節選自廣西師大出版社《數學現場：另類世界史》，作者：王雁斌

算法數學之美微信公眾號歡迎賜稿

稿件涉及數學、物理、算法、計算機、編程等相關領域
稿件一經采用，我們將奉上稿酬。

投稿郵箱：math_alg@163.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的谜一般的流星的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。