注：這篇文章里有很多個(gè)人觀點(diǎn)，帶有極強(qiáng)的主觀色彩。其中一些思想不見得是正確的，有一些話也是我沒有資格說(shuō)的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家記得保留自己的見解。也請(qǐng)大家轉(zhuǎn)載時(shí)保留這段話。

我不是一個(gè)數(shù)學(xué)家。我甚至連數(shù)學(xué)專業(yè)的人都不是。我是一個(gè)純粹打醬油的數(shù)學(xué)愛好者，只是比一般的愛好者更加執(zhí)著，更加瘋狂罷了。初中、高中一路保送，大學(xué)不在數(shù)學(xué)專業(yè)，這讓我可以不以考試為目的地學(xué)習(xí)自己感興趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓我對(duì)數(shù)學(xué)有如此濃厚的興趣。從 05 年建立這個(gè) Blog 以來(lái)，每看到一個(gè)驚人的結(jié)論或者美妙的證明，我再忙都會(huì)花時(shí)間把它記錄下來(lái)，生怕自己忘掉。不過(guò)，我深知，這些令人拍案叫絕的雕蟲小技其實(shí)根本談不上數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)真正博大精深的思想我恐怕還不曾有半點(diǎn)體會(huì)。

我多次跟人說(shuō)起，我的人生理想就是，希望有一天能學(xué)完數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支，然后站在一個(gè)至高點(diǎn)，俯瞰整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。但是，想要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)是很困難的。最大的困難就是缺少一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑?？凑n本？這就是我今天想說(shuō)的——課本極其不靠譜。

這個(gè)我深有體會(huì)。最近兩年，我一直在做初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)，有了一些自己的看法。數(shù)學(xué)教育大致分成三個(gè)階段，看山是山看水是水，看山不是山看水不是水，看山是山看水是水。

最早數(shù)學(xué)教育就是，教你幾個(gè)定理，告訴你它們是怎么證的，再讓你證明一些新的定理。

后來(lái)的要求就變了：光學(xué)數(shù)學(xué)不夠，還要用數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教育已經(jīng)上升了一個(gè)層次：大家要把數(shù)學(xué)用到生活中去，解釋生活中的現(xiàn)象。一時(shí)間，課本也好，中考題也好，全是與生活實(shí)際緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，仿佛放眼望去身邊真的處處都是數(shù)學(xué)一樣。商場(chǎng)賣貨，書店賣書，農(nóng)民耕地，工人鋪磚，再一次涌現(xiàn)在了課本、教輔書和考試題里。其實(shí)，數(shù)學(xué)可以解釋生活，只是我們并不會(huì)這樣去做。生活的變量太多，再?gòu)?qiáng)大的數(shù)學(xué)模型也不可能考慮到一切。對(duì)于平常人來(lái)說(shuō)，真正能用到數(shù)學(xué)的地方，也就只有算算帳了。

總有一天，數(shù)學(xué)教育會(huì)拔高到第三層：返樸歸真，數(shù)學(xué)真正牛 B 的還是它本身。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，那些偉大的數(shù)學(xué)思想，那些全新的數(shù)學(xué)理論，最初研究的動(dòng)機(jī)并不是要急于解釋我們身邊的某某詭異現(xiàn)象，而是它本身的美妙。線性代數(shù)的出現(xiàn)，很大程度上要?dú)w功于神奇的?Cramer 悖論；群論的誕生，也是 Galois 研究多項(xiàng)式的解的結(jié)構(gòu)時(shí)的產(chǎn)物；Euler 創(chuàng)立圖論，源于那個(gè)沒有任何實(shí)用價(jià)值的 K?nigsberg 蛋疼問(wèn)題；非歐幾何的出現(xiàn)，則完全是由于這個(gè)問(wèn)題本身的魅力。微積分呢？它確實(shí)有非常廣泛的實(shí)用價(jià)值，物理學(xué)的各種定義都依賴于微積分；但很可惜，它不是一種具有顛覆性的數(shù)學(xué)思想。

初一課本講負(fù)數(shù)時(shí)，反復(fù)說(shuō)負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，比如海拔、得分、溫度、收支等等，把負(fù)數(shù)變成一種真實(shí)的存在。其實(shí)，這不是人們使用負(fù)數(shù)的主要?jiǎng)訖C(jī)。負(fù)數(shù)的價(jià)值在于，它可以把減去一個(gè)數(shù)變成加上一個(gè)負(fù)數(shù)，很多加加減減復(fù)雜到甚至需要分類討論的東西都能夠用一個(gè)式子統(tǒng)一在一起了。比如說(shuō)小學(xué)的盈虧問(wèn)題：如果每人分 3 個(gè)蘋果還多 8 個(gè)，如果每人分 5 個(gè)蘋果則還多 2 個(gè)，問(wèn)有多少人多少蘋果？解法是，兩種分法多出來(lái)的蘋果相差 6 個(gè)，這是每個(gè)人多分了兩個(gè)蘋果引起的，因此一共 3 個(gè)人，從而可以算出有 17 個(gè)蘋果。但是，如果把問(wèn)題改成“每人分 3 個(gè)就多 8 個(gè)，每人分 5 個(gè)就少?2 個(gè)”該怎么辦？上面的公式就變了，8 不能減 2，要加 2 。因此，小學(xué)講盈虧問(wèn)題會(huì)分“盈虧”、“盈盈”、“虧虧”三種情況討論。其實(shí)，如果把“少 2 個(gè)”理解成“多 -2 個(gè)”，問(wèn)題是一模一樣的，之前的公式同樣適用。負(fù)數(shù)這一新思想立即把三種情況統(tǒng)一在了一起，它們的本質(zhì)變得一模一樣了。

這是我給初一學(xué)生講負(fù)數(shù)時(shí)必講的例子。這才是負(fù)數(shù)的意義。這才是課本里應(yīng)該反復(fù)舉例強(qiáng)調(diào)的。

某次看到論壇里有人問(wèn)，群論有什么意思啊？某人回復(fù)，群論很有意思啊，只是課本把它寫得沒意思了，比方說(shuō)，講群論怎么能不講魔方呢？我不贊同這個(gè)回復(fù)。數(shù)學(xué)吸引人的地方，不在于它在生活中的應(yīng)用，而在于它本身的美。為什么不講 Lagrange 定理？為什么不講 Sylow 定理？對(duì)于我來(lái)說(shuō)，最能吸引我學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)課題的，莫過(guò)于一系列非平凡的結(jié)論以及它的精彩證明了。

科幻小說(shuō)《傷心者》的末尾列舉了很多長(zhǎng)期以來(lái)未得到實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論，不過(guò)卻沒有說(shuō)到一個(gè)更為極端的例子。數(shù)學(xué)中的皇冠——數(shù)論——2000 年來(lái)一直沒有任何實(shí)際應(yīng)用，是最純粹的數(shù)學(xué)。直到計(jì)算機(jī)，尤其是現(xiàn)代密碼學(xué)的出現(xiàn)，才讓數(shù)論第一次走出數(shù)學(xué)，走進(jìn)了人們的生活中。是什么在支持?jǐn)?shù)論的研究呢？只能是數(shù)學(xué)本身了。

在我給初中孩子出幾何題時(shí)，我都嘗試著給出一般性的問(wèn)題，求證三角形中兩邊的平均長(zhǎng)度大于第三邊上的中線長(zhǎng)，求證三角形三條高的倒數(shù)和等于內(nèi)切圓半徑的倒數(shù)，等等。即使是純代數(shù)問(wèn)題和解析幾何問(wèn)題，我也總能編出題目描述簡(jiǎn)單并且極具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。兩數(shù)的和與積相等共有多少個(gè)整數(shù)解？把直線 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直線方程是什么？在感受結(jié)論之美的同時(shí)，他們也會(huì)因自己獨(dú)立解決了一個(gè)真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題而激動(dòng)。

然而，這還不算教育的主要問(wèn)題。某次與一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)聊到 Riemann 假設(shè)時(shí)，對(duì)方說(shuō)她從沒聽說(shuō)過(guò) Riemann 假設(shè)。我大吃一驚，數(shù)學(xué)專業(yè)的人怎么可能不知道 Riemann 假設(shè)呢？隨即明白，這也是拜數(shù)學(xué)教育所賜。翻開數(shù)學(xué)課本，總是成套的理論體系，先定義再證明，說(shuō)得頭頭是道?？墒?#xff0c;這些東西都是怎么來(lái)的呢？在得出這些東西的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們走了哪些彎路呢？課本上只字不提。課本里從來(lái)都只講什么是對(duì)的，卻從來(lái)不講什么是錯(cuò)的。數(shù)學(xué)考試只會(huì)讓你證明一個(gè)結(jié)論，從不會(huì)讓你推翻一個(gè)結(jié)論。

2010 年江蘇高考數(shù)學(xué)題因?yàn)椤疤y”備受爭(zhēng)議。其中最后一道大題如下：已知 △ABC 的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)，(1) 求證 cos(A) 是有理數(shù)； (2) 求證對(duì)任意正整數(shù) n ， cos(nA) 是有理數(shù)。其實(shí)這道題是一個(gè)非常漂亮的好題，描述簡(jiǎn)單，問(wèn)題普遍，結(jié)論有趣，證明巧妙，中考題就該這么出。不過(guò)我覺得，如果再補(bǔ)上這么一個(gè)小問(wèn)，這道題就真的完美了：證明或推翻， sin(A) 一定是有理數(shù)。當(dāng)然，問(wèn)題本身并不難，等邊三角形就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的反例。關(guān)鍵在于，推翻一個(gè)結(jié)論，尋找一個(gè)反例，也是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)基本能力，而這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育中很少重視的。

于是，在教初中數(shù)學(xué)時(shí)，我布置的每道作業(yè)題都無(wú)一例外地以“證明或推翻”打頭。偶爾，有些題目真的是需要學(xué)生們?nèi)ネ品?。比方說(shuō)，證明或推翻，周長(zhǎng)和面積都相等的兩個(gè)三角形全等。不同的人找到的反例不一樣，有的簡(jiǎn)單有的復(fù)雜，有的深刻有的盲目。再用一整節(jié)課的時(shí)間逐一講解并點(diǎn)評(píng)大家構(gòu)造的反例，給孩子們帶來(lái)的收獲遠(yuǎn)比直接講題要大得多。

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但是，我還沒有講到數(shù)學(xué)教育中最主要的問(wèn)題。前段時(shí)間去圖靈的作譯者交流會(huì)，期間和劉江老師簡(jiǎn)單地聊了幾句。劉江老師提到一個(gè)網(wǎng)站叫做?Better Explained?。他說(shuō)，其實(shí)大家沒能理解數(shù)學(xué)之妙，是因?yàn)榻痰臅r(shí)候沒教好，數(shù)學(xué)本來(lái)可以講得更直觀，更通俗的。

我非常同意劉江老師的說(shuō)法。舉個(gè)例子吧。如果有學(xué)生問(wèn)，質(zhì)數(shù)是什么？老師會(huì)說(shuō)，質(zhì)數(shù)就是除了 1 和自身以外，沒有其它約數(shù)的數(shù)。不對(duì)，這不是學(xué)生想要的答案。學(xué)生真正想知道的是，質(zhì)數(shù)究竟是什么？其實(shí)，質(zhì)數(shù)就是不可再分的數(shù)，是組成一切自然數(shù)的基本元素。 12 是由兩個(gè) 2 和一個(gè) 3 組成的，正如 H2O 是由兩個(gè) H 原子和一個(gè) O 原子組成的一樣。只是和化學(xué)世界不同，算術(shù)世界的元素有無(wú)窮多個(gè)。算術(shù)世界內(nèi)的一切對(duì)象、定理和方法，都是由這些基本元素組成的，這才是質(zhì)數(shù)為什么那么重要的原因。

高中學(xué)復(fù)數(shù)時(shí)，相信很多人會(huì)納悶兒：虛數(shù)是什么？為什么要承認(rèn)虛數(shù)？虛數(shù)怎么就表示旋轉(zhuǎn)了？其實(shí)，人們建立復(fù)數(shù)理論，并不是因?yàn)槿藗冇袝r(shí)需要處理根號(hào)里是負(fù)數(shù)的情況，而是因?yàn)橄旅孢@個(gè)不可抗拒的理由：如果承認(rèn)虛數(shù)，那么 n 次多項(xiàng)式就會(huì)有恰好 n 個(gè)根，數(shù)系一下子就如同水晶球一般的完美了。但復(fù)數(shù)并不能形象地反映在數(shù)軸上，這不僅是因?yàn)閷?shí)數(shù)在數(shù)軸上已經(jīng)完備了，還有另外一個(gè)原因：沒有什么幾何操作連做兩次就能實(shí)現(xiàn)取相反數(shù)。比如，“乘以 3”就代表數(shù)軸上的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離擴(kuò)大到原來(lái)的三倍，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作連做兩次，即擴(kuò)大到 9 倍。同樣地，“乘以 -1”表示把點(diǎn)翻折到數(shù)軸另一側(cè)，“-1 的平方”就會(huì)把這個(gè)點(diǎn)又翻回來(lái)。但是，怎么在數(shù)軸上表示“乘以 i ”的操作？換句話說(shuō)，什么操作連做兩次能夠把 1 變成 -1 ？一個(gè)頗具革命性的創(chuàng)意答案便是，把這個(gè)點(diǎn)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90 度。轉(zhuǎn) 90 度轉(zhuǎn)兩次，自然就跑到數(shù)軸的另一側(cè)了。沒錯(cuò)，這就把數(shù)軸擴(kuò)展到了整個(gè)平面，正好解決了復(fù)數(shù)沒地方表示的問(wèn)題。于是，復(fù)數(shù)的乘法可以解釋為縮放加旋轉(zhuǎn)，復(fù)數(shù)本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。順著這個(gè)道理推下去，一切都順理成章了。復(fù)數(shù)不但有了幾何解釋，有時(shí)還能更便捷地處理幾何問(wèn)題。

一直對(duì)線性代數(shù)很感興趣，于是大學(xué)選了線性代數(shù)這門課，結(jié)果收獲幾乎為零。原因很簡(jiǎn)單，本來(lái)期待著來(lái)一次大徹大悟，結(jié)果學(xué)了一個(gè)學(xué)期，我還是不知道矩陣究竟是什么，矩陣乘法為什么要這么定義，矩陣可逆又怎么了，行列式究竟表示什么。

直到今天看到這個(gè)網(wǎng)頁(yè)，才看見有人一語(yǔ)道破線性代數(shù)的真諦（這也是我終于決定寫成此文的直接原因）。我終于找到了我那一個(gè)學(xué)期企圖尋找的東西。就好像把 x 變成 2 x 一樣，我們經(jīng)常需要把 (x, y) 變成 (2 x + y, x – 3 y) 之類的東西，這就叫做線性變換。于是才想到定義矩陣乘法，用于表示一切線性變換。幾何上看，把平面上的每個(gè)點(diǎn) (x, y) 都變到 (2 x + y, x – 3 y) 的位置上去，效果就相當(dāng)于對(duì)這個(gè)平面進(jìn)行了一個(gè)“線性的拉扯”。

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矩陣的乘法，其實(shí)就是多個(gè)線性變換疊加的效果，它顯然滿足結(jié)合律，但不滿足交換律。主對(duì)角線全是 1 的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性變換其實(shí)就是不變的意思，因此它叫做單位矩陣。矩陣 A 乘以矩陣 B 得單位矩陣，就是做完線性變換 A 后再做一次線性變換 B 就又變回去了的意思，難怪我們說(shuō)矩陣 B 是矩陣 A 的逆矩陣。課本上對(duì)行列式的定義千奇百怪，又是什么遞歸，又是什么逆序?qū)?#xff0c;還編寫口訣幫助大家記憶。其實(shí)，行列式的真正定義就一句話：每個(gè)單位正方形在線性變換之后的面積。因此，單位矩陣的行列式當(dāng)然就為 1，某行全為 0 的行列式顯然為 0 （因?yàn)槟骋痪S度會(huì)被無(wú)視掉，線性變換會(huì)把整個(gè)平面壓扁）， |A·B| 顯然等于 |A|·|B| 。行列式為 0 ，對(duì)應(yīng)的矩陣當(dāng)然不可逆，因?yàn)檫@樣的線性變換已經(jīng)把平面壓成一條線了，什么都不能把它變回去了。當(dāng)然，更高階的矩陣就對(duì)應(yīng)了更高維的空間。一瞬間，所有東西都解釋清楚了。

難以置信的是，如此令人興奮的東西，我們所用的課本上竟然一點(diǎn)都沒有說(shuō)到！那些開篇就講行列式定義的課本，為什么不先把線性變換下的面積當(dāng)作行列式的定義，再推導(dǎo)出行列式的計(jì)算方法，再來(lái)補(bǔ)充說(shuō)明“其實(shí)從邏輯上說(shuō)，我們應(yīng)該先用這個(gè)計(jì)算公式來(lái)定義行列式，然后才說(shuō)行列式可以用來(lái)表示面積”？為了嚴(yán)密性而犧牲了可讀性，太不值得了。寫到這里，我真想立即拾起線性代數(shù)課本，用全新的眼光重看所有的定義和定理，然后重新寫一份真正的線性代數(shù)教材來(lái)。

高數(shù)課本同樣荒唐。主流的高數(shù)課本都是先講導(dǎo)數(shù)，再講不定積分，再講定積分，完全把順序弄顛倒了。好多人學(xué)完微積分，雖然已經(jīng)用得得心應(yīng)手，但仍然沒懂這是怎么回事。究其原因，還是數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題。

我理想中的微積分課本則應(yīng)該是先講定積分，再講導(dǎo)數(shù)，再講不定積分。先講定積分，不過(guò)千萬(wàn)不能用現(xiàn)在的定積分符號(hào)，避免學(xué)生誤認(rèn)為定積分是由不定積分發(fā)展而來(lái)的。講自古就有的積分思想，講分割求和取極限的方法，自創(chuàng)一套定積分的符號(hào)。然后另起爐灶，開始講微分，講無(wú)窮小，講變化量。最后才講到，隨著 x 一點(diǎn)一點(diǎn)的增加，曲線下方面積的變化量就是那一條條豎線的高度——不就是這個(gè)曲線本身的函數(shù)值嗎？因此，反過(guò)來(lái)，為了求出一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線下方的面積，只需要找到一個(gè)新函數(shù)，使得它的微分正好就是原來(lái)那個(gè)函數(shù)。啪，微積分誕生了。

光講形式化的推導(dǎo)沒有用。這才是真正把微積分講懂的方式。嚴(yán)格定義和嚴(yán)格證明應(yīng)該放到直觀理解之后。只可惜，我還沒看到哪本課本是這樣寫的。

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說(shuō)了這么多，其實(shí)總結(jié)起來(lái)只有一句話：我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，應(yīng)該和人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過(guò)程一樣。我們應(yīng)該按照數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的順序?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)。我們應(yīng)該從古人計(jì)數(shù)開始學(xué)起，學(xué)到算術(shù)和幾何，學(xué)到坐標(biāo)系和微積分，了解每個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的動(dòng)機(jī)，以及這個(gè)分支曲折的發(fā)展歷程。我們應(yīng)該體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的每個(gè)瓶頸，體會(huì)每個(gè)全新理論的偉大之處，體會(huì)每一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓數(shù)學(xué)家們手忙腳亂的感覺，體會(huì)先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。

可惜，我沒有找到任何用這種方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的途徑。

不過(guò)也好。既然沒有捷徑，那就讓我自己把那堆形式化的定義和證明通看一遍，然后自己去體會(huì)其中的道理吧。這樣看來(lái)，我們的教育也沒錯(cuò)：先用考試逼著大家把該學(xué)的東西都學(xué)了，盡管自己也不知道自己學(xué)的是啥；等將來(lái)的某一天達(dá)到一定高度時(shí)，回頭看看過(guò)去學(xué)的東西，突然恍然大悟，明白了當(dāng)初學(xué)的究竟是什么。這無(wú)疑是一件更有樂(lè)趣的事情。我希望有一天能像今天這樣，能悟出高等代數(shù)究竟在講什么，能悟出范疇論到底有什么用，能悟出 Riemann 假設(shè)為何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空間是什么東西，然后把它們都寫下來(lái)。

這恐怕得花我大半輩子的時(shí)間吧。

END

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總結(jié)

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