注：這篇文章里有很多個人觀點，帶有極強的主觀色彩。其中一些思想不見得是正確的，有一些話也是我沒有資格說的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家記得保留自己的見解。也請大家轉載時保留這段話。

我不是一個數(shù)學家。我甚至連數(shù)學專業(yè)的人都不是。我是一個純粹打醬油的數(shù)學愛好者，只是比一般的愛好者更加執(zhí)著，更加瘋狂罷了。初中、高中一路保送，大學不在數(shù)學專業(yè)，這讓我可以不以考試為目的地學習自己感興趣的數(shù)學知識，讓我對數(shù)學有如此濃厚的興趣。從 05 年建立這個 Blog 以來，每看到一個驚人的結論或者美妙的證明，我再忙都會花時間把它記錄下來，生怕自己忘掉。不過，我深知，這些令人拍案叫絕的雕蟲小技其實根本談不上數(shù)學之美，數(shù)學真正博大精深的思想我恐怕還不曾有半點體會。

我多次跟人說起，我的人生理想就是，希望有一天能學完數(shù)學中的各個分支，然后站在一個至高點，俯瞰整個數(shù)學領域，真正體會到數(shù)學之美。但是，想要實現(xiàn)這一點是很困難的。最大的困難就是缺少一個學習數(shù)學的途徑。看課本？這就是我今天想說的——課本極其不靠譜。

這個我深有體會。最近兩年，我一直在做初中數(shù)學培訓，有了一些自己的看法。數(shù)學教育大致分成三個階段，看山是山看水是水，看山不是山看水不是水，看山是山看水是水。

最早數(shù)學教育就是，教你幾個定理，告訴你它們是怎么證的，再讓你證明一些新的定理。

后來的要求就變了：光學數(shù)學不夠，還要用數(shù)學。數(shù)學教育已經(jīng)上升了一個層次：大家要把數(shù)學用到生活中去，解釋生活中的現(xiàn)象。一時間，課本也好，中考題也好，全是與生活實際緊密聯(lián)系的數(shù)學應用題，仿佛放眼望去身邊真的處處都是數(shù)學一樣。商場賣貨，書店賣書，農(nóng)民耕地，工人鋪磚，再一次涌現(xiàn)在了課本、教輔書和考試題里。其實，數(shù)學可以解釋生活，只是我們并不會這樣去做。生活的變量太多，再強大的數(shù)學模型也不可能考慮到一切。對于平常人來說，真正能用到數(shù)學的地方，也就只有算算帳了。

總有一天，數(shù)學教育會拔高到第三層：返樸歸真，數(shù)學真正牛 B 的還是它本身。你會發(fā)現(xiàn)，那些偉大的數(shù)學思想，那些全新的數(shù)學理論，最初研究的動機并不是要急于解釋我們身邊的某某詭異現(xiàn)象，而是它本身的美妙。線性代數(shù)的出現(xiàn)，很大程度上要歸功于神奇的?Cramer 悖論；群論的誕生，也是 Galois 研究多項式的解的結構時的產(chǎn)物；Euler 創(chuàng)立圖論，源于那個沒有任何實用價值的 K?nigsberg 蛋疼問題；非歐幾何的出現(xiàn)，則完全是由于這個問題本身的魅力。微積分呢？它確實有非常廣泛的實用價值，物理學的各種定義都依賴于微積分；但很可惜，它不是一種具有顛覆性的數(shù)學思想。

初一課本講負數(shù)時，反復說負數(shù)的實際意義，比如海拔、得分、溫度、收支等等，把負數(shù)變成一種真實的存在。其實，這不是人們使用負數(shù)的主要動機。負數(shù)的價值在于，它可以把減去一個數(shù)變成加上一個負數(shù)，很多加加減減復雜到甚至需要分類討論的東西都能夠用一個式子統(tǒng)一在一起了。比如說小學的盈虧問題：如果每人分 3 個蘋果還多 8 個，如果每人分 5 個蘋果則還多 2 個，問有多少人多少蘋果？解法是，兩種分法多出來的蘋果相差 6 個，這是每個人多分了兩個蘋果引起的，因此一共 3 個人，從而可以算出有 17 個蘋果。但是，如果把問題改成“每人分 3 個就多 8 個，每人分 5 個就少?2 個”該怎么辦？上面的公式就變了，8 不能減 2，要加 2 。因此，小學講盈虧問題會分“盈虧”、“盈盈”、“虧虧”三種情況討論。其實，如果把“少 2 個”理解成“多 -2 個”，問題是一模一樣的，之前的公式同樣適用。負數(shù)這一新思想立即把三種情況統(tǒng)一在了一起，它們的本質變得一模一樣了。

這是我給初一學生講負數(shù)時必講的例子。這才是負數(shù)的意義。這才是課本里應該反復舉例強調的。

某次看到論壇里有人問，群論有什么意思啊？某人回復，群論很有意思啊，只是課本把它寫得沒意思了，比方說，講群論怎么能不講魔方呢？我不贊同這個回復。數(shù)學吸引人的地方，不在于它在生活中的應用，而在于它本身的美。為什么不講 Lagrange 定理？為什么不講 Sylow 定理？對于我來說，最能吸引我學習一個數(shù)學課題的，莫過于一系列非平凡的結論以及它的精彩證明了。

科幻小說《傷心者》的末尾列舉了很多長期以來未得到實際應用的數(shù)學理論，不過卻沒有說到一個更為極端的例子。數(shù)學中的皇冠——數(shù)論——2000 年來一直沒有任何實際應用，是最純粹的數(shù)學。直到計算機，尤其是現(xiàn)代密碼學的出現(xiàn)，才讓數(shù)論第一次走出數(shù)學，走進了人們的生活中。是什么在支持數(shù)論的研究呢？只能是數(shù)學本身了。

在我給初中孩子出幾何題時，我都嘗試著給出一般性的問題，求證三角形中兩邊的平均長度大于第三邊上的中線長，求證三角形三條高的倒數(shù)和等于內切圓半徑的倒數(shù)，等等。即使是純代數(shù)問題和解析幾何問題，我也總能編出題目描述簡單并且極具挑戰(zhàn)性的問題。兩數(shù)的和與積相等共有多少個整數(shù)解？把直線 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直線方程是什么？在感受結論之美的同時，他們也會因自己獨立解決了一個真正的數(shù)學問題而激動。

然而，這還不算教育的主要問題。某次與一個數(shù)學專業(yè)的同學聊到 Riemann 假設時，對方說她從沒聽說過 Riemann 假設。我大吃一驚，數(shù)學專業(yè)的人怎么可能不知道 Riemann 假設呢？隨即明白，這也是拜數(shù)學教育所賜。翻開數(shù)學課本，總是成套的理論體系，先定義再證明，說得頭頭是道。可是，這些東西都是怎么來的呢？在得出這些東西的過程中，數(shù)學家們走了哪些彎路呢？課本上只字不提。課本里從來都只講什么是對的，卻從來不講什么是錯的。數(shù)學考試只會讓你證明一個結論，從不會讓你推翻一個結論。

2010 年江蘇高考數(shù)學題因為“太難”備受爭議。其中最后一道大題如下：已知 △ABC 的三邊長都是有理數(shù)，(1) 求證 cos(A) 是有理數(shù)； (2) 求證對任意正整數(shù) n ， cos(nA) 是有理數(shù)。其實這道題是一個非常漂亮的好題，描述簡單，問題普遍，結論有趣，證明巧妙，中考題就該這么出。不過我覺得，如果再補上這么一個小問，這道題就真的完美了：證明或推翻， sin(A) 一定是有理數(shù)。當然，問題本身并不難，等邊三角形就是一個最簡單的反例。關鍵在于，推翻一個結論，尋找一個反例，也是數(shù)學研究的一個基本能力，而這是中學數(shù)學教育中很少重視的。

于是，在教初中數(shù)學時，我布置的每道作業(yè)題都無一例外地以“證明或推翻”打頭。偶爾，有些題目真的是需要學生們去推翻它。比方說，證明或推翻，周長和面積都相等的兩個三角形全等。不同的人找到的反例不一樣，有的簡單有的復雜，有的深刻有的盲目。再用一整節(jié)課的時間逐一講解并點評大家構造的反例，給孩子們帶來的收獲遠比直接講題要大得多。

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但是，我還沒有講到數(shù)學教育中最主要的問題。前段時間去圖靈的作譯者交流會，期間和劉江老師簡單地聊了幾句。劉江老師提到一個網(wǎng)站叫做?Better Explained?。他說，其實大家沒能理解數(shù)學之妙，是因為教的時候沒教好，數(shù)學本來可以講得更直觀，更通俗的。

我非常同意劉江老師的說法。舉個例子吧。如果有學生問，質數(shù)是什么？老師會說，質數(shù)就是除了 1 和自身以外，沒有其它約數(shù)的數(shù)。不對，這不是學生想要的答案。學生真正想知道的是，質數(shù)究竟是什么？其實，質數(shù)就是不可再分的數(shù)，是組成一切自然數(shù)的基本元素。 12 是由兩個 2 和一個 3 組成的，正如 H2O 是由兩個 H 原子和一個 O 原子組成的一樣。只是和化學世界不同，算術世界的元素有無窮多個。算術世界內的一切對象、定理和方法，都是由這些基本元素組成的，這才是質數(shù)為什么那么重要的原因。

高中學復數(shù)時，相信很多人會納悶兒：虛數(shù)是什么？為什么要承認虛數(shù)？虛數(shù)怎么就表示旋轉了？其實，人們建立復數(shù)理論，并不是因為人們有時需要處理根號里是負數(shù)的情況，而是因為下面這個不可抗拒的理由：如果承認虛數(shù)，那么 n 次多項式就會有恰好 n 個根，數(shù)系一下子就如同水晶球一般的完美了。但復數(shù)并不能形象地反映在數(shù)軸上，這不僅是因為實數(shù)在數(shù)軸上已經(jīng)完備了，還有另外一個原因：沒有什么幾何操作連做兩次就能實現(xiàn)取相反數(shù)。比如，“乘以 3”就代表數(shù)軸上的點離原點的距離擴大到原來的三倍，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作連做兩次，即擴大到 9 倍。同樣地，“乘以 -1”表示把點翻折到數(shù)軸另一側，“-1 的平方”就會把這個點又翻回來。但是，怎么在數(shù)軸上表示“乘以 i ”的操作？換句話說，什么操作連做兩次能夠把 1 變成 -1 ？一個頗具革命性的創(chuàng)意答案便是，把這個點繞著原點旋轉 90 度。轉 90 度轉兩次，自然就跑到數(shù)軸的另一側了。沒錯，這就把數(shù)軸擴展到了整個平面，正好解決了復數(shù)沒地方表示的問題。于是，復數(shù)的乘法可以解釋為縮放加旋轉，復數(shù)本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。順著這個道理推下去，一切都順理成章了。復數(shù)不但有了幾何解釋，有時還能更便捷地處理幾何問題。

一直對線性代數(shù)很感興趣，于是大學選了線性代數(shù)這門課，結果收獲幾乎為零。原因很簡單，本來期待著來一次大徹大悟，結果學了一個學期，我還是不知道矩陣究竟是什么，矩陣乘法為什么要這么定義，矩陣可逆又怎么了，行列式究竟表示什么。

直到今天看到這個網(wǎng)頁，才看見有人一語道破線性代數(shù)的真諦（這也是我終于決定寫成此文的直接原因）。我終于找到了我那一個學期企圖尋找的東西。就好像把 x 變成 2 x 一樣，我們經(jīng)常需要把 (x, y) 變成 (2 x + y, x – 3 y) 之類的東西，這就叫做線性變換。于是才想到定義矩陣乘法，用于表示一切線性變換。幾何上看，把平面上的每個點 (x, y) 都變到 (2 x + y, x – 3 y) 的位置上去，效果就相當于對這個平面進行了一個“線性的拉扯”。

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矩陣的乘法，其實就是多個線性變換疊加的效果，它顯然滿足結合律，但不滿足交換律。主對角線全是 1 的矩陣所對應的線性變換其實就是不變的意思，因此它叫做單位矩陣。矩陣 A 乘以矩陣 B 得單位矩陣，就是做完線性變換 A 后再做一次線性變換 B 就又變回去了的意思，難怪我們說矩陣 B 是矩陣 A 的逆矩陣。課本上對行列式的定義千奇百怪，又是什么遞歸，又是什么逆序對，還編寫口訣幫助大家記憶。其實，行列式的真正定義就一句話：每個單位正方形在線性變換之后的面積。因此，單位矩陣的行列式當然就為 1，某行全為 0 的行列式顯然為 0 （因為某一維度會被無視掉，線性變換會把整個平面壓扁）， |A·B| 顯然等于 |A|·|B| 。行列式為 0 ，對應的矩陣當然不可逆，因為這樣的線性變換已經(jīng)把平面壓成一條線了，什么都不能把它變回去了。當然，更高階的矩陣就對應了更高維的空間。一瞬間，所有東西都解釋清楚了。

難以置信的是，如此令人興奮的東西，我們所用的課本上竟然一點都沒有說到！那些開篇就講行列式定義的課本，為什么不先把線性變換下的面積當作行列式的定義，再推導出行列式的計算方法，再來補充說明“其實從邏輯上說，我們應該先用這個計算公式來定義行列式，然后才說行列式可以用來表示面積”？為了嚴密性而犧牲了可讀性，太不值得了。寫到這里，我真想立即拾起線性代數(shù)課本，用全新的眼光重看所有的定義和定理，然后重新寫一份真正的線性代數(shù)教材來。

高數(shù)課本同樣荒唐。主流的高數(shù)課本都是先講導數(shù)，再講不定積分，再講定積分，完全把順序弄顛倒了。好多人學完微積分，雖然已經(jīng)用得得心應手，但仍然沒懂這是怎么回事。究其原因，還是數(shù)學教學的問題。

我理想中的微積分課本則應該是先講定積分，再講導數(shù)，再講不定積分。先講定積分，不過千萬不能用現(xiàn)在的定積分符號，避免學生誤認為定積分是由不定積分發(fā)展而來的。講自古就有的積分思想，講分割求和取極限的方法，自創(chuàng)一套定積分的符號。然后另起爐灶，開始講微分，講無窮小，講變化量。最后才講到，隨著 x 一點一點的增加，曲線下方面積的變化量就是那一條條豎線的高度——不就是這個曲線本身的函數(shù)值嗎？因此，反過來，為了求出一個函數(shù)對應的曲線下方的面積，只需要找到一個新函數(shù)，使得它的微分正好就是原來那個函數(shù)。啪，微積分誕生了。

光講形式化的推導沒有用。這才是真正把微積分講懂的方式。嚴格定義和嚴格證明應該放到直觀理解之后。只可惜，我還沒看到哪本課本是這樣寫的。

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說了這么多，其實總結起來只有一句話：我們學習數(shù)學的過程，應該和人類認識數(shù)學的過程一樣。我們應該按照數(shù)學發(fā)展歷史的順序學習數(shù)學。我們應該從古人計數(shù)開始學起，學到算術和幾何，學到坐標系和微積分，了解每個數(shù)學分支創(chuàng)立的動機，以及這個分支曲折的發(fā)展歷程。我們應該體會數(shù)學發(fā)展的每個瓶頸，體會每個全新理論的偉大之處，體會每一次數(shù)學危機讓數(shù)學家們手忙腳亂的感覺，體會先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。

可惜，我沒有找到任何用這種方式學習數(shù)學的途徑。

不過也好。既然沒有捷徑，那就讓我自己把那堆形式化的定義和證明通看一遍，然后自己去體會其中的道理吧。這樣看來，我們的教育也沒錯：先用考試逼著大家把該學的東西都學了，盡管自己也不知道自己學的是啥；等將來的某一天達到一定高度時，回頭看看過去學的東西，突然恍然大悟，明白了當初學的究竟是什么。這無疑是一件更有樂趣的事情。我希望有一天能像今天這樣，能悟出高等代數(shù)究竟在講什么，能悟出范疇論到底有什么用，能悟出 Riemann 假設為何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空間是什么東西，然后把它們都寫下來。

這恐怕得花我大半輩子的時間吧。

END

∑編輯?|?Gemini

來源?|?matrix67

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總結

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