王國維在《人間詞話》中提出：“詞以境界為最上。有境界自成高格，自有名句。”他認(rèn)為?：“境非獨謂景物也，喜怒哀樂亦人心中之一境界。故能寫真景物真感情者，謂之有境界。否則謂之無境界。”他說：“有造境，有寫境，此‘理想’?與‘寫實’?二派之所由分。”他還把境界分為?“無我之境”和“有我之境”。?對詩人的修養(yǎng)，他指出“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣；出乎其外，故有高致。”?另外，王國維還借用古代詩人的詞句提出了著名的治學(xué)“三境界”。按我的理解，這三個境界依次是“志存高遠(yuǎn)、艱苦探索、最終頓悟”。

我認(rèn)為：評價一項數(shù)學(xué)成就的高低，也應(yīng)該是境界為上?。數(shù)學(xué)的境界有些方面是與詩歌境界相通的，數(shù)學(xué)家也要“對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。”數(shù)學(xué)也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創(chuàng)造理論”，后者是“解決難題”。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)的境界可以有如下幾個內(nèi)容：1）大道至簡，大美天成?；2）四美：簡潔，和諧，對稱，雅致；3）不同分支的交叉和融合；4）數(shù)學(xué)內(nèi)部的統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)家哈代認(rèn)為：數(shù)學(xué)家的活動與藝術(shù)家的活動很多是共同的、相像的。他說：“畫家進(jìn)行色彩與形態(tài)的組合，音樂家把音階組合起來，詩人組詞，數(shù)學(xué)家是把一定類型的概念組合起來”。因此，無論是藝術(shù)家還是數(shù)學(xué)家，他們做的工作都是組合，只是組合對象不同。數(shù)學(xué)家維納更認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是一門精美的藝術(shù)”。數(shù)學(xué)與詩歌有許多共性，下面歸納為八點。

首先，數(shù)學(xué)和詩歌的源泉都是自然和社會。宋代大詩人陸游告誡兒子說：“汝果欲學(xué)詩，功夫在詩外。”這個詩外是詩人對日常生活和大自然細(xì)致的觀察、體驗、感知，這是詩歌創(chuàng)作的源泉。做數(shù)學(xué)研究也與詩歌創(chuàng)作類似。數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“對自然的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉。”丘成桐在一次公眾講演中說過，他的研究工作深受物理學(xué)和工程學(xué)的影響，這些科學(xué)提供了數(shù)學(xué)很重要的素材。他說：“沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構(gòu)，就能夠獲得深入的結(jié)果。”

第二，數(shù)學(xué)和詩歌都追求和諧與簡潔。詩歌是所有文藝作品中最追求和諧與簡潔的。詩歌是力圖通過簡潔的語言和韻律，抒發(fā)詩人的情懷，表達(dá)深邃的哲理。例如，蘇軾的詩句“不識廬山真面目,?只緣身在此山中”和劉禹錫的詩句“沉舟側(cè)畔千帆過，病樹前頭萬木春”雖然簡潔，但表達(dá)了很深的哲理。數(shù)學(xué)的和諧是不言而喻的，數(shù)學(xué)各個分支中公理化體系必須是和諧的。至于數(shù)學(xué)的簡潔，一方面數(shù)學(xué)結(jié)果是通過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數(shù)學(xué)家追求在較少條件下推出盡可能廣泛而深刻的結(jié)論，或者力圖簡化已有結(jié)果的證明。

第三，數(shù)學(xué)中的“對偶”與詩詞中的“對仗”是異曲同工。詩詞中的“對仗”能使意境更加優(yōu)美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數(shù)學(xué)中的“對偶”使得數(shù)學(xué)理論變得更加深刻，更加優(yōu)美。數(shù)學(xué)中的“對偶”不只是數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。

第四，數(shù)學(xué)和詩歌的創(chuàng)作都需要直覺和想象力。當(dāng)然，任何科學(xué)和藝術(shù)的創(chuàng)作都需要直覺和想象力，但數(shù)學(xué)和詩歌更為突出。例如，李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源于詩人的形象思維。數(shù)學(xué)史家克萊因說：“在預(yù)測能被證明的內(nèi)容時，和構(gòu)思證明的方法時一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺和想象。”所謂想象力，就是形象思維能力。形象思維能力取決于一個人的文化素質(zhì)高低。文化素質(zhì)高的人思路開闊，富于聯(lián)想，觸類旁通，從而形象思維能力就強(qiáng)。德國詩人歌德說：“只有通過藝術(shù)，尤其是通過詩，想象力才能得到激活。”?看來想象力更與一個人的藝術(shù)修養(yǎng)關(guān)系密切。愛因斯坦是小提琴的演奏高手，他曾經(jīng)坦言：“物理給我的知識，藝術(shù)給我想象力，知識是有限的，而藝術(shù)所開拓的想象力是無限的。”他有一句名言：“想象力比知識更重要”。

第五，詩歌創(chuàng)作和數(shù)學(xué)研究都需要激情和靈感。詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把內(nèi)心情感宣泄出來，作品才能打動人和感染人。對數(shù)學(xué)研究來說，激情來自于探求未知真理的好奇和對美的追求。靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識或潛意識的非邏輯式的創(chuàng)造性思維活動。靈感是對某一問題長期思考以后突然產(chǎn)生的思想火花，有時產(chǎn)生于全神貫注思考問題之際，有時卻是在不經(jīng)意間或意識朦朧之中。靈感有時也來源于對不同現(xiàn)象的類比和聯(lián)想。例如，英國物理學(xué)家史考特·羅素有一天在河邊散步，觀察到從他身邊駛過的小木船卷起一股以單個波峰形式向前傳播的激浪，他受此啟發(fā)，后來提出了著名的“孤立波”理論。

第六，數(shù)學(xué)研究和詩歌創(chuàng)作都需要有美感。法國數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為：“美感，對美觀與優(yōu)雅的感覺，在數(shù)學(xué)的成功中是一個重要的因素。”?他在《數(shù)學(xué)創(chuàng)造》一文中形象地描述了數(shù)學(xué)美感在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的作用，他說：“各種數(shù)學(xué)概念在潛意識里碰撞組合，數(shù)學(xué)直覺從中篩選有意義的組合，進(jìn)而進(jìn)行創(chuàng)造。……?潛意識做出選擇時，所用的標(biāo)準(zhǔn)便是數(shù)學(xué)的美感，數(shù)和形的和諧感，幾何學(xué)的雅致感。”數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造?的最主要驅(qū)動力是對美的追求。”

第七，“創(chuàng)新”是數(shù)學(xué)和詩歌的共同美學(xué)準(zhǔn)則（即評價標(biāo)準(zhǔn)）。藝術(shù)家把“創(chuàng)新”叫做“藝術(shù)風(fēng)格”。詩人由于生活經(jīng)歷、藝術(shù)修養(yǎng)、審美取向以及個性特征的不同，在作品的題材、表現(xiàn)手法、風(fēng)貌和藝術(shù)境界方面形成了獨特的藝術(shù)風(fēng)格。例如，李白的詩“豪邁奔放，飄逸若仙”，是浪漫主義風(fēng)格；杜甫的詩則“深沉蘊(yùn)蓄，抑揚(yáng)曲折”，是現(xiàn)實主義風(fēng)格。對數(shù)學(xué)研究而言，創(chuàng)新必須是在一定科學(xué)范圍內(nèi)有比較重要的意義。

最后，數(shù)學(xué)和詩歌的另一共同美學(xué)準(zhǔn)則就是王國維在《人間詞話》中所說的“境界為上”。數(shù)學(xué)的境界還包括學(xué)者選題的學(xué)術(shù)品位和問題的深度，而不在于論文里面用的技巧多高，技巧始終是第二位的。

下面舉幾個高境界的數(shù)學(xué)例子。首先是兩個美妙的數(shù)學(xué)公式。一是歐拉公式

它把數(shù)學(xué)里面最基本的幾個要素全都整合在一塊了，其中1是自然數(shù)的單位，0是正負(fù)數(shù)的分界點，e是自然對數(shù)的底，

是圓周率，i是虛數(shù)單位。第二個歐拉公式

，公式表明：任何一個簡單凸多面體，它的頂點數(shù)V加上面數(shù)E，減去棱數(shù)F必定等于2。這兩個歐拉公式堪稱“大道至簡、大美天成”的數(shù)學(xué)公式。數(shù)論中的兩個著名猜想“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶數(shù)可以表為兩個素數(shù)之和）和“孿生數(shù)猜想”（存在無窮多對素數(shù)其差等于2?）更是最高境界的數(shù)學(xué)，盡管它們都還沒有得到證明。又如龐加萊猜想，費爾馬大定理，四色定理，Atiyah-Singer?指標(biāo)定理，伽羅瓦群論，黎曼幾何，黎曼假設(shè)，哥德爾不完備定理，香農(nóng)信息論，格羅滕迪克的代數(shù)幾何等都是最高境界的數(shù)學(xué)。

最后介紹一本高境界的堪稱“大美天成”的數(shù)學(xué)著作《Proofs from The Book》。本書收錄了40多個著名數(shù)學(xué)問題極富創(chuàng)造性和獨具匠心的證明。這是一本開闊數(shù)學(xué)視野和提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的著作。該書已被譯成十多種文字，有中譯本，第3版的書名是《數(shù)學(xué)天書的證明》，我覺得書名中有“天書”二字不妥。我曾向出版社建議把書名改為《數(shù)學(xué)天成之證》。后來出版社邀我為該書扉頁題詞，我寫下了“天成之證”。

作者注：本文是在作者的“數(shù)學(xué)如詩”（《科技導(dǎo)報》“卷首語”，2013年31卷上旬刊發(fā)表）一文的基礎(chǔ)上擴(kuò)充改寫成的。

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來源：科學(xué)網(wǎng)

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總結(jié)

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