恭喜你，不經意間發現了史上的第一次數學危機。如果在2500年前，你也許會被當作異端扔進海里哦。這事還得從公元前580~568之間的古希臘說起。

當時數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)建立了畢達哥拉斯學派。這一學派集宗教、科學和哲學于一體，他們認為萬物皆數，即宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。但是該學派的成員希伯索斯(Hippasus)根據勾股定理(西方稱為畢達哥拉斯定理)通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示的。希伯索斯的發現被人們看成是荒謬和違反常識的事。它不僅嚴重觸犯了畢氏學派的信條，同時也沖擊了當時希臘人的傳統見解，使古希臘的數學家們感到驚奇和不安，所以這一事件在數學史上稱為第一次數學危機。希伯索斯的發現終沒有被畢達哥拉斯學派的信徒們所接受，相傳畢氏學派就因這一發現而把希伯索斯投入海中處死。

越來越多無理數的發現迫使希臘數學家不得不研究這些數。歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)首先引入了“量”的概念，這里的量不是數，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時間等。量與數的不同在于，數是離散的，即可數的，而量可以是連續的。歐多克斯由量的概念出發給出了一種新的比例論。歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論，其定義為：設A，B，C，D是任意四個量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類。如果對于任何兩個正整數m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相應地取決于mC大于、等于、小于nD是否成立，則稱A與B之比等于C與D之比，即A，B，C，D四量成比例。通過這一新的比例論，希臘數學家可以嚴格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾。

歐多克斯比例論實際上是為了避免把無理數當作數，這個理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據，但是也將數同幾何截然分開，而且使希臘數學的重點從數轉向了幾何，因為幾何可以處理無理數。在此后的幾千年間，幾何學成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，而算術和代數則沒有取得獨立的地位。

第一次數學危機的徹底解決，是在危機產生二千年后的19世紀，建立了極限理論和實數理論之后，才被徹底解決的。

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來源 |?浙江大學報英文版

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總結

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