数学上人可以永生！这是什么原理？
概率量化了一件事情發生的可能性。而條件概率嘛，比如說，你家樓下住了一位每天慢跑10公里的爺爺，那么他能順利切到70歲蛋糕的概率，鐵定比臺灣人平均能活到70歲的概率大上許多，因為健康的他只要再活一天就可以了。
給定某個條件下某個事件發生的可能性，即稱為條件概率。
如果還不清楚，請想像這樣的場景：
那是一個星期五的傍晚，珮穎獨自走在夕陽下。在她轉入小巷子時，她突然看到一位男子向她招手。還沒反應過來，珮穎聽見身后引擎聲響。回頭一看，一臺老舊的汽車正要通過。珮穎趕緊讓到一邊。汽車卷起灰塵離去，男子揮揮手咳了幾聲。珮穎這下看清楚他身上的工作證了。
那年珮穎25歲，子威29歲。距離臺灣男女平均壽命，各自還有57年與47年。
星期五傍晚，珮穎在夕陽下踱步，落日的余溫被玻璃隔絕在外，窗戶這側只剩冰冷的空調，醫療儀器的聲響替時間畫下一道道刻度。珮穎坐回病床旁，子威伸過手來握住珮穎，兩人相視微笑。
“50年了，這一切過得真快。”
這一年，珮穎75歲，距離臺灣女性平均壽命還有7年；子威79歲，超過男性平均壽命3年。
“這幾年辛苦你了。”
子威拿下氧氣罩，氣若游絲，距離診斷出癌癥的那天到現在過了7年，前天他才剛從加護病房出來。
“你才辛苦，已經超過平均壽命3年了，你做的很棒。”
珮穎開玩笑地說。子威搖搖頭，眼神望向床頭柜上的筆記本，珮穎替他拿過來，里面滿滿的數學式子。
“還沒，我還沒贏過我這年紀的預期平均壽命。”
“你這年紀的平均壽命？”
子威休息了一下，一個字一個字慢慢說：
“我后來才知道，平常說的是平均壽命是指‘剛出生時所預期的平均壽命’，是最短的預期平均壽命。隨著年紀增長，我們預期能夠活的平均壽命就會慢慢變長。”
“為什么？”
“舉個例子來說，4個同時出生的人，各自活到4歲、10歲、60歲、70歲。這樣平均壽命是幾歲？”
“36歲。”
“5歲時，剩下3個人，這3人的平均壽命是46.7歲。 換句話說，給定活到5歲時，平均壽命從剛出生的36歲，提升到46.7歲。增加了10.7年。”
“聽起來有點像條件概率？”珮穎回答。
他們夫妻的數學都不錯。
“年紀越大，樣本空間里年輕早逝的人被排除在外，我們預期他們能夠活的平均壽命就會越來越長。假設y是表示壽命的隨機變數，則x歲時的壽命期望值為——”
筆記本上寫著：
“其中，P（y|x）是指給定x歲的人，壽命為y歲的條件概率。只要活到40歲，能活到70歲的概率就會比20歲時能活到70歲的概率更大。用數學式子表示是P（y=70|x=40） > P（y=70|x=20）。”
子威接過筆記本，翻頁又是一大堆算式：
“我們再來定義一個‘x歲的平均剩余壽命’，意思是x歲的人平均還能再活幾年。它的數學式子是，”他指著第二個加總符號說：“取k'?=k+1，可以得到結果為——”
“換句話說，x歲的平均剩余壽命，就是把‘給定x歲后，還會活k年的概率’，從k=1到k=∞累加起來。”
子威笑了，那笑容像在草地里撿到彈珠的小男孩，跑回來跟朋友炫耀的表情。
“我查過了臺灣官方的國民壽命表。在我這年紀的男性……竟然平均剩余壽命還有8.3年。照你的標準來要求，我還有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。”
“那就辛苦你了，請再為了我多活幾年。”
當晚半夜，子威緊急被送回加護病房。凌晨，珮穎簽下放棄急救同意書。
星期五傍晚，珮穎站在夕陽下。
應該不可能習慣身邊沒有子威吧——不，不是不可能習慣，是我不希望習慣。
“奶奶你還好嗎？”
“奶奶你搬過來跟我們住好了。”
孫女試探性地問。珮穎知道孫女擔心獨居的自己觸景生情。 “你放心，奶奶很堅強，可以照顧好自己，還能活很多年的。你爺爺教過我一套觀念……”
珮穎向孫女解釋起應用到條件概率的平均剩余壽命：“照你爺爺的說法，我還有11年好活。太早去鐵定會挨你爺爺罵的。”
一旁還在念高中的小孫子插嘴說道：
“可是奶奶，這觀念有點奇怪，因為概率恒正，不管到幾歲，平均剩余壽命永遠是正的，表示當下的預期平均壽命永遠會大于當下的年紀，那不就是說，人類可以永遠活下去——”
的確，這聽起來有點像芝諾悖論：烏龜跟阿基里斯賽跑，每當阿基里斯快要追上烏龜，烏龜都會趁著阿基里斯追趕所花的時間，再往前移動一點，阿基里斯又得再追趕。不論靠多近，烏龜永遠有一小段時間可以再前進，阿基里斯永遠追不上烏龜。
小孫子沒說錯，給定現在的年齡，只要沒破人瑞（常指年紀100歲以上的人）紀錄，永遠有人活得更久。平均剩余壽命永遠大于零，永遠可以活下去。
但跟芝諾悖論不一樣，芝諾悖論有數學上的問題；剩余壽命的觀念盡管看起來不合理，但在數學上完全正確，沒有漏洞。剩余壽命永遠恒正，但那終究只是期望值，還是會有很多人在沒活到那年紀之前就先離開。
這是體貼的子威留給她最后的禮物，一道用完美數學構成的甜言蜜語。
∑編輯?|?Gemini
來源 |?我是科學家iScientist
特此聲明：本公眾號6月30日《算法，天使還是魔鬼》一文來源于圖靈教育公號，本文最初刊載于人民郵電出版社圖靈公司出版的《算法小時代》一書，感謝圖靈公司市場部運營李潔對本次轉載的支持！
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總結
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