物理領域的重大突破有時需要數學的協助，反之亦然。

1905年，愛因斯坦提出了狹義相對論，將時間和空間聯姻，這使我們對宇宙的理解發生了革命性的變化。然而，狹義相對論的成功，并沒有阻止他進一步地探索更深層的問題，因為他還沒有將引力的影響納入到他的理論中。

七年后，當時在蘇黎世聯邦理工學院的愛因斯坦，正醞釀著一個可以顛覆牛頓萬有引力定律的理論。但是，愛因斯坦在擴展狹義相對論時卻遇到了難題，他必須通過使用一些新的方法和技巧才有可能完成這一壯舉。幸運的是，愛因斯坦的好朋友和同事格羅斯曼（Marcel Grossmann）伸出援手，帶來了一個十分令人激動的優雅方法：黎曼幾何。

○?黎曼在19世紀發展出了一套特殊的曲率幾何概念時，他絲毫沒在意過物理學。那時的他絕對想不到，在20世紀初，他的工作會在愛因斯坦的筆下為物理學的革命性發展起到推波助瀾的作用。| 圖片來源：symmetrymagazine

十九世紀中葉，德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）發展了黎曼幾何的數學框架。在當時，黎曼幾何本身就是一個具有革新性的框架。不同于之前將數學圖形看成是三維空間的子集，黎曼幾何通過更本質的方法直接研究圖形的性質。例如，一個球可被看作是三維空間內所有距離原點剛好為1的點的集合。但它也可以被視為每一個點都有著特殊曲率屬性的二維物體。后面的這種定義對于理解球這樣的幾何圖形來說或許不是那么重要，但對于更復雜的流形和更高維的空間，這種定義的價值就顯而易見了。

在1912年的時候，黎曼幾何依然是一個新穎的理論，還未完全滲透到數學領域，但它正好是愛因斯坦所需要的。黎曼幾何賦予愛因斯坦一個強大的數學基礎，使他得以構建出一個全新的引力理論——廣義相對論的準確等式。1913年，愛因斯坦和格羅斯曼發表了他們突破性的工作。理論物理學家?Peter Woit?認為“如果沒有數學家的幫助，很難想象愛因斯坦怎樣才能完成相對論的工作。”

廣義相對論的故事當然能讓數學家們感到驕傲。在這個故事里，數學仿佛就像是一個引路人，在恰當的時機出現在物理學家的身邊，為一片灰暗的物理學世界帶來光明。

但是，數學和物理的相互影響遠比這個故事里講述的更復雜。在大部分有記錄的歷史中，物理和數學甚至不是分開的學科。古希臘、埃及和巴比倫的數學認為我們生活在一個距離、時間和重力都按某種特定方式運行的世界中。

布朗大學的物理學家?Sylvester James?Gates?說，“牛頓是第一個為了達到學術巔峰而發明一項新的數學領域的物理學家。這個數學領域就是微積分。”

微積分讓解決一些經典的幾何問題變得更加簡單，但其最初的目的是為牛頓提供了一種分析運動的新方法，以及改變了牛頓觀察物理的視角。在這個關于微積分的故事中，數學更像是一個讓一切事物變得井然有序的管家，而不是在危難關頭力挽狂瀾的救世主。

即使物理和數學成為了兩個學科之后，他們之間仍然是緊密聯系的。“回溯物理和數學的早期發展歷程，你會發現確定一個人是物理學家還是數學家是很困難的。” Woit說道。

○?諾特（Emmy Noether）將自然界中的對稱性和守恒定律聯系了起來，可以說她是史上最具深刻洞見的數學物理學家之一。對于一些數學家而言，看到諾特的名字出現在物理學領域是令人驚訝的，因為他們多數是通過抽象代數才了解她的。| 圖片來源：symmetrymagazine

縱觀歷史，數學和物理這兩個領域都給對方提供過重要的概念。數學家外爾（Hermann Weyl）在李群（Lie group）方面的工作就為理解量子力學中的對稱性提供了非常重要的基礎。理論物理學家狄拉克在他1930年的著名書籍《量子力學原理》中，就使用了狄拉克道爾塔(δ)函數來描述粒子物理中點粒子的概念（點粒子描述的是任何小到可以用一個點來模擬的理想化情況）。?二維的δ函數在x=0的位置的值為無窮大，而在其他任何地方都為0。 狄拉克聲明δ函數的積分、也就是δ函數所覆蓋的面積為1。嚴格地講，并不存在具有這種性質的函數。但是狄拉克對δ函數的使用最終啟發了數學家施瓦茨（Laurent Schwartz），他用嚴密的數學方式發展出了分布理論。現如今，分布理論在常微分方程和偏微分方程領域已經變得極為重要。

盡管現代研究人員對自身領域的關注越來越多，研究領域的細化和專業化也越來越明顯，但物理和數學的界限仍然模糊。一個物理學家可以獲得數學領域最具權威的獎項之一——菲爾茲獎。而一個數學家，比如Maxim Kontsevich，也可同時獲得科學突破獎的物理獎和數學獎。現在，人們可以參加由數學系或者物理系舉辦的關于量子場論、黑洞或者弦論的研討會。自2011年起，弦數學（String Math）的年度討論會議就把數學家和物理學家匯聚到了一起，讓他們一同研究弦論和量子場論中的交叉領域。

弦論可能是關于數學和物理互相影響的最佳示例。在弦論的理論框架中，狄拉克所描述的點粒子變成了一維的弦。這個理論模型中的一部分描述了一種被稱為引力子的理論粒子，這是一種傳遞引力的假想粒子。

大多數人認為我們通過三維的空間和一維的時間來感知宇宙。但是弦論卻是構架在十維中的。在1984年，隨著研究弦論的物理學家激增，包括后來被授予菲爾茲勛章的物理學家威滕（Edward Witten）在內的一批研究人員發現了弦論所需空間中的另外六個維度，被稱為卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）。

○?六維卡拉比-丘流形。| 圖片來源：Jeff Bryant / Visualization

當數學家們還在為闡明各種流形的結構而爭吵時，物理學家只希望能獲得幾個可能有效的數學結果，他們找到了卡拉比-丘流形。而數學家卻還不能確定他們對流形的劃分是正確的。

當物理學家和數學家研究這些空間結構的時候，他們發現卡拉比-丘流形具有非常有趣的對偶性。兩個看起來完全不同的流形可能描述的是同一種物理結構。這背后的思想被稱為鏡像對稱。這種性質的研究在數學中迅速繁榮，并形成了一個全新的數學分支。弦論的框架幾乎成為了數學家的游樂場，帶來了無數新的研究分支。

○?鏡像對稱。推薦閱讀：《30年后，這些神秘的數字終于得到了解釋》。|?圖片來源：Mike Zeng/Quanta Magazine

加州大學伯克利分校的理論物理學家Mina Aganagic認為，弦論和相關的課題將會繼續提供更多數學和物理之間的聯系。

她說：“在某種意義上，我們只探索了弦論非常小的一部分和它少數的預測。”數學家和他們對細節的嚴格證明的關注給這個領域帶來了一種角度的視野，而物理學家們喜歡把直覺理解放在優先位置的傾向則為我們帶來另一種視角。Mina評價道：“正因為如此，才使得數學與物理的關系如此令人滿意。”

數學和物理的關系可以追溯到他們的起源；當它們不斷發展，數學和物理的糾纏也越來越深，它們的關系變得越來越復雜。看起來它們的關系將一直這樣持續下去。來自數學的已經成熟的計算工具可以為物理學家提供大量的幫助。而來自物理學的探索性問題也可以激勵數學家創造出全新的數學模型和概念。

∑編輯?|?Gemini

來源?| 數學與人工智能

算法數學之美微信公眾號歡迎賜稿

稿件涉及數學、物理、算法、計算機、編程等相關領域，經采用我們將奉上稿酬。

投稿郵箱：math_alg@163.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学和物理的共同演化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。