最贱的数学题
一個常見題目，貌似易解的題目出發(fā)，發(fā)現(xiàn)背后竟然蘊(yùn)藏了深奧的大道理。這其實(shí)是很多問題，尤其是數(shù)論題目的特點(diǎn)：很容易理解，但很難做。
在我碰到這道題之前，它已經(jīng)被某人心懷惡意地發(fā)布在網(wǎng)絡(luò)上，成為流行的朋友圈圖片，肆意捉弄那些老實(shí)人（Scridhar，這個人是不是你？）。我根本沒意識到我偶然看到的這道題到底是個什么樣的怪物。它長這個樣：
你可能已經(jīng)在朋友圈看到過很多這樣的圖了，它們一般都是標(biāo)題黨的垃圾：什么“95%的麻省理工畢業(yè)生無法解決的問題”，這個“問題”要么很空洞，要么偷換概念，要么就是不重要的腦筋急轉(zhuǎn)彎。
但這個問題不是。這張圖片就是一個精明的，或者說陰險(xiǎn)的圈套。大概99.999995%的人根本沒有任何機(jī)會解決它，甚至包括一大批頂級大學(xué)非數(shù)論方向的數(shù)學(xué)家。它的確是可解的，但那真的真的不得了的難。
（順便說一句。發(fā)布的人實(shí)際上不是Scridhar，或者說不能怪他。）
你可能會這樣想，如果所有的嘗試都失敗了，我們還可以直接用電腦計(jì)算大力出奇跡。這年頭，寫個電腦程序解決這種形式簡單的方程真是太容易了，只要它真的有答案，那電腦最終一定會找出來。但很抱歉，大錯特錯。用電腦暴力計(jì)算在這里毫無用處。
如果不把Quora的讀者都當(dāng)作橢圓曲線的入門者的話，我不知道怎么才能寫出適合的答案。我在這能做的只是一個簡要的概覽。主要參考文獻(xiàn)是最近Bremmer和MacLeod2014年在《數(shù)學(xué)和信息學(xué)年鑒（Annales Mathematicae etInformaticae）》上發(fā)表的一篇名為《一個不一般的立體代表性問題（An unusual cubic representationproblem）》的精彩論文。? ? ? ?
讓我們開始吧。
我們求解的是這個方程的整數(shù)解：
?(為了與論文的變量名相適應(yīng)，我把蘋果、香蕉和菠蘿修改過來了)
面對任何方程，你需要做的第一步是嘗試并確定問題背景。這到底被劃歸到哪一類問題？嗯，我們被要求找到整數(shù)解，所以這是一個數(shù)論問題。就題而言，方程涉及有理函數(shù)（多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的函數(shù)形式），但很顯然我們可以用通分移項(xiàng)的方法化成一個多項(xiàng)式函數(shù)，所以我們實(shí)際上解得是一個丟番圖方程（?Diophantine equation）。正數(shù)解的要求有一點(diǎn)不同尋常，接下來我們會看到這個要求會讓問題變得多么難。
現(xiàn)在，我們有了多少變量？這個問題看起來很蠢：很明顯，我們有三個變量，分別是a、b、c。讓我們慢一點(diǎn)來。一個科班出身的數(shù)論學(xué)家第一眼就能察覺到，這個方程是齊次的。這意味著如果（a，b，c）是方程的一個特解的話，那（7a，7b，7c）都是它的解。你能看出為什么嗎？給每一個變量乘一個常數(shù)沒有改變方程的結(jié)構(gòu)（7只是一個例子），因?yàn)榉肿臃帜溉慷技s掉了。
這意味著這個方程看上去像是三維的，但它實(shí)際上只有兩維。在幾何學(xué)中，它對應(yīng)著一個面（一個三元方程一般定義一個兩維的面。一般來說，k個n元方程定義一個d維的流形，d=n-k）。這個面是由一條過原點(diǎn)的線旋轉(zhuǎn)形成的，可以通過截取的單平面來理解。這是一條投影曲線。
在大多數(shù)初等的情形，這種降維可以這么解釋：無論解是什么，我們都可以分為兩類，c=0的情形和c≠0的情形。第一類僅僅涉及兩個變量（所以自然是二維的），而第二類情形我們可以對所有解同時除以c并得到一個c=1的解（注：在上上一段，我們已經(jīng)說明了這樣一組解也一定是方程的解）。因此我們可以在c=1的情況下尋找a和b的有理數(shù)解，只要乘以一個公分母，就得到了a，b，c的正數(shù)解。一般來說，齊次方程的整數(shù)解對應(yīng)一個低一個維度的非齊次方程的有理數(shù)解。
接下來的問題是：這個方程的次數(shù)是什么？次數(shù)指的是各項(xiàng)中最高的冪次，對于涉及多個變量相乘的項(xiàng)，冪次就是各變量冪次之和。舉個例子，如果某項(xiàng)為，那此項(xiàng)的次數(shù)就是7=2+1+4 。
丟番圖方程在不同次數(shù)難度完全不一樣，寬泛地說：
一次的非常簡單。
二次的也被理解得非常透徹，一般能用相對初等的方法解決。
三次的就是滿山滿海的深奧理論和數(shù)不勝數(shù)的開放問題。
四次的，嗯，真的真的很難。
我們這個方程是三次的。為什么？嗯，去分母之后就很顯然了：
即使沒有合并同類項(xiàng)，你也可以明白地看到次數(shù)為3：沒有超過三個變量的乘積，最后我們得到的是類似a3 、b2c、abc這樣的項(xiàng)，而沒有冪次超過3的。合并同類項(xiàng)后，方程整理如下
你可能會反對這樣的變形：因?yàn)檫@樣獲得的解可能恰好使某個分母等于0，使得原方程沒有意義。這是對的，我們的新方程的確有些解不與原方程對應(yīng)。但這是好事。這個多項(xiàng)式形式給原方程打上了一些補(bǔ)丁使得它便于處理；對于我們找到的任何特解，只需要代入原方程檢驗(yàn)一下分母等不等于0就可以了。
事實(shí)上，多項(xiàng)式方程很容易處理。比如說，?a=?1?，b=1,?c=0。這是好事：我們有了有理數(shù)解，或者說有理點(diǎn)。這意味著我們的立體方程（3維）實(shí)際上是個橢圓曲線。
當(dāng)你發(fā)現(xiàn)這個方程是橢圓曲線時，你會喜出望外，然后悲從中來（注：這里不是大家熟悉的圓錐曲線中的橢圓，而是域上虧格為1的光滑射影曲線。對于特征不等于2的域，它的仿射方程可以寫成：y^2=x^3+ax^2+bx+c。復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼面。Mordell證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群，這是著名的BSD猜想的前提條件。阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣。By 百度百科。），因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)橢圓曲線問題是個龐然大物（學(xué)渣哇的一聲哭出來）。這個方程是一個展現(xiàn)橢圓曲線理論強(qiáng)大的經(jīng)典案例，證明它可以被用來尋找一些爆難問題的解。
我們需要做的第一件事把橢圓曲線化成魏爾斯特拉斯（注：Weierstrass，提起他最著名的成就就是嚴(yán)密化微積分的ε-δ語言）形式。這是一個長得像這樣的等式：
或者有時候也會化成
(這被稱為長魏爾斯特拉斯形式。它并不是嚴(yán)格必需的，但有時候會帶來一些便利)
眾所周知，任何橢圓曲線都可以化成這種形式（在特征為2或者3的域特別基礎(chǔ)，如果你研究特征特別小的域，那結(jié)果就不一樣了，我們此處不作討論）。如果想講清楚怎么把橢圓曲線化成這種形式，那可就是長篇大論了（學(xué)渣的碎碎念：我信我信）。你只需要知道，這種變形是完全機(jī)械的操作（關(guān)鍵在于方程至少存在一個有理數(shù)點(diǎn)，而我們已經(jīng)確定了一個有理數(shù)點(diǎn)）?，F(xiàn)在有若干計(jì)算機(jī)函數(shù)包可以輕而易舉地幫你搞定這件事。
但即使你不知道如何完成變換，驗(yàn)證它也是很容易的，或者說至少是機(jī)械的。對于我們而言，需要的變換由令人生畏的公式導(dǎo)出。
我知道這看上去就像隨意的巫毒把戲（注：巫毒，是目前最為人熟悉的非洲信仰，在西方文化中就是神秘力量的象征符號，可以類比國人心中的毒盅、趕尸和降頭），但請相信我它不是。一旦你完成了這些變形，沉悶但異常直白的代數(shù)計(jì)算可以證明它是對的。
這個方程盡管看起來很原方程長得不怎么像，但確是如假包換的忠實(shí)模型。在圖像上它長成這樣，一條有著兩個實(shí)部的經(jīng)典橢圓曲線：
右邊的“魚尾”連續(xù)延伸至正負(fù)無窮。左邊的封閉橢圓曲線也將給我們帶來解決問題的驚喜。給定這個方程的任意解（x，y），你都可以通過下面的等式還原所求的a，b，c：
你需要記住，三元組（a：b：c）是用投影曲線理解的——無論你從這些方程中獲得什么數(shù)值，你都可以隨意乘上一個你想要的常數(shù)。
對于我們展示的兩個圖像，無論是從a，b，c到x，y還是反過來，都可以證明這兩個方程從數(shù)論的角度是等價的：一個方程的有理數(shù)解可以導(dǎo)出另一個方程的有理數(shù)解。專業(yè)術(shù)語叫做雙向有理等價（birational equivalence），而這個概念在代數(shù)幾何里面是一個非?；镜?。如我們之前注意到的那樣，可能存在一些不相互對應(yīng)的特殊點(diǎn)，而情形是a+b，a+c 或者b+c恰好等于0 。這是構(gòu)造雙有理等價的必要代價，而不需要對此有任何擔(dān)心。
讓我們來看看手里的這個例子。它的橢圓曲線存在一個很好的有理數(shù)點(diǎn)：x=?100,?y=260?？赡苷业竭@個點(diǎn)不太容易，但檢驗(yàn)它在曲線上就很簡單了：直接代入原方程檢驗(yàn)等式兩邊是否相等（我不是隨機(jī)摸的點(diǎn)，但各位不用關(guān)心這個問題）。我們可以簡單地驗(yàn)證a，b，c代入的結(jié)果。
我們得到了a=2/7,b=?1/14,c=11/14，既然我們可以隨意乘以一個公分母，那我們就可以變形為a=4,b=?1,c=11.
代入原方程，的確
你可以很容易地驗(yàn)證。這就是我們原方程的一個簡單整數(shù)解——但很遺憾，不是正整數(shù)解。找到這個解用手算不太容易，但用一點(diǎn)耐心即使不用計(jì)算機(jī)也不算太難。它將成為我們找到正數(shù)解的緣起之地。
現(xiàn)在，一旦你在橢圓曲線上找到了有理數(shù)點(diǎn)，如P（-100,260），你就可以利用弦切技巧進(jìn)行加法，生成其它的有理數(shù)點(diǎn)（有理數(shù)的加法是封閉的，有理數(shù)加有理數(shù)還是有理數(shù)）。
圖解：橢圓曲線上點(diǎn)的加法
在任何情形下，在一個域（實(shí)數(shù)域R或者有理數(shù)域Q）中給定一個方程，解可以被視為位于R2或者Q2的點(diǎn)（來自R2或者Q2的投影），而相加律就是弦—切結(jié)構(gòu)的變形：想要對兩個點(diǎn)P?和P?做加法，首先構(gòu)造一條過二點(diǎn)的直線（弦），若P?，P?重合，那么這條直線就是曲線的切線。找到直線與曲線的第三個交點(diǎn)P，對O和P重復(fù)上述操作，再次得到的交點(diǎn)就是P?+P?。當(dāng)O點(diǎn)被選為無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)（一般都這么處理），圖像就如上所示（注：至于O點(diǎn)是什么，這就涉及群論和更深奧的橢圓曲線知識，懂的自然懂，不懂的我也講不懂，因?yàn)槲乙膊欢?#xff09;。更詳細(xì)的見原作者的Quora回答previous，再詳細(xì)的請去翻代數(shù)幾何。
一開始，我們可以通過作P點(diǎn)的切線，找到它和曲線再次相交的點(diǎn)，以此增加P點(diǎn)的值。結(jié)果看上變得有點(diǎn)嚇人：
同樣的，這個新的點(diǎn)也對應(yīng)一組a，b，c的值：
這個解用手算就很困難，但用電腦就是小意思了。然而，它還不是正的。
當(dāng)然，困難嚇不倒我們，我們繼續(xù)計(jì)算3P=2P+P，操作方法就是連接P和2P找到與曲線的第三個交點(diǎn)再與O點(diǎn)相連找到第四個交點(diǎn)。同樣的，我們計(jì)算a，b，c，然而還是同樣的，結(jié)果不是正數(shù)。以此類推，計(jì)算4P，5P等等等等。直到我們計(jì)算到9P。
9P=(-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/13514400292716288512070907945002943352692578000406921,
58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210/1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469)
很明顯這不是人算的了，但交給機(jī)器，這也就是9次簡單的幾何程序迭代。對應(yīng)的a，b，c值也很恐怖：
a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,
b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,
c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
這些是80位數(shù)！你不可能通過暴力計(jì)算找到一個80位數(shù)（注：簡單的算術(shù)題，按確定兩個變量驗(yàn)證第三個變量為整數(shù)的算法計(jì)算，總共的組合數(shù)就是10^160，神威太湖之光的峰值計(jì)算能力為12.5億億次每秒，折算不過10^18 次/s，至少需要10^142秒，大約10^134年，更震撼的寫法就是1億億億億億億億億億億億億億億億億年）！但無論它看上去怎么不可思議，但這些數(shù)值代回原方程，的確等于4：
讓我們回到理論本身再探討一下。定義在有理數(shù)上的橢圓曲線存在一個階（rank），它表示我們最開始至少需要知道多少個有理點(diǎn)才能通過弦切方法找到曲線上所有的有理數(shù)點(diǎn)。我們這條橢圓曲線的階等于1，說明雖然它上面有無窮多個有理點(diǎn)但都是由一個有理點(diǎn)生成的，而這個點(diǎn)不是別的恰好就是我們最開始的那個P點(diǎn)（-100,260）。
計(jì)算階數(shù)并找到這樣的一個生成子的算法非同尋常，但SageMath（現(xiàn)在叫CoCalc）只需要幾行代碼1秒鐘以內(nèi)就搞定了。你可以查看我的代碼,它從頭開始再現(xiàn)了整個解法，當(dāng)然其中有Sage內(nèi)置的橢圓曲線處理方法。
在我們看來，P點(diǎn)位于曲線的橢圓部分，而其它的mP（m為正整數(shù)）點(diǎn)也一樣。它們會逐漸跑遍整個橢圓并最終均勻地分布在整個曲線上。而我們是很幸運(yùn)的，因?yàn)橹挥泻苌僖徊糠謾E圓能產(chǎn)生a，b，c的正數(shù)解：它們是下面這張圖加粗的部分（引自Bremmer和MacLeod的論文）。
P，2P等點(diǎn)并不在黑色加粗的部分，但9P恰好在，使我們得到一個80位的正整數(shù)解。
Bremmer和MacLeod還研究了如果我們把等式右邊的4換成其它的東西會怎么樣。如果你覺得我們的解太大了，那是因?yàn)槟氵€沒見識到把4換成178的結(jié)果。那就不僅僅是80位了，你需要398,605,460位數(shù)。對，你沒看錯，那個解就是這么大。如果你試試896，位數(shù)就飆升到數(shù)萬億位了。沒錯，數(shù)萬億位的解，屬于這個看上去人畜無害的方程。
上述的丟番圖方程就是一個系數(shù)很小但整數(shù)解位數(shù)巨大的駭人案例。它不僅僅是令人生畏的符號，而是一項(xiàng)意義深遠(yuǎn)的研究。
希爾伯特第十大問題的否證陳述意味著，隨著系數(shù)逐漸增大，解的增長將變?yōu)橐粋€不可計(jì)算的方程——因?yàn)槿绻强捎?jì)算的，那我們就能得到一個解開丟番圖方程的簡單算法，而事實(shí)上并沒有，無論是簡單的還是復(fù)雜的。
這項(xiàng)研究展現(xiàn)了與那個問題的某種聯(lián)系：4->80位，178->數(shù)億位，896->數(shù)萬億位，讓我們瞥見那個怪異的、不可計(jì)算的函數(shù)的一貌。稍稍把我們的方程改動一下，解就會迅速增長到蓋過我們這個“可憐的”、“渺小的”宇宙的任何事物。
何其美妙、何其揶揄的小小方程！
本文來源于南京大學(xué)科幻愛好者協(xié)會：
http://mp.weixin.qq.com/s/7GY30FOquxxfa1xsIT5sWw
Quora英文原文：https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4?utm_source=qq&utm_medium=social
算法數(shù)學(xué)之美微信公眾號歡迎賜稿
稿件涉及數(shù)學(xué)、物理、算法、計(jì)算機(jī)、編程等相關(guān)領(lǐng)域，經(jīng)采用我們將奉上稿酬。
投稿郵箱：math_alg@163.com
總結(jié)
- 上一篇： 被文献坑是一种什么样的体验？
- 下一篇： 全球最伟大50名商业领袖，任正非和马云未