今天我們一起來(lái)觀賞一下數(shù)學(xué)之騷美。

這事兒和17世紀(jì)的一道謎題有關(guān)，直到后來(lái)微積分被建立起來(lái)以后才得正解。雖然問(wèn)題不難，但結(jié)果驚艷。

我先來(lái)問(wèn)一個(gè)比較「二」的問(wèn)題： 兩點(diǎn)之間最短的路徑是什么？

喏，別猜疑我是在逗你們，或拿非歐幾何抖機(jī)靈，真心希望你們兩手一攤就說(shuō)是一條直線(xiàn)。

鐵線(xiàn)上的珠子

現(xiàn)在我們來(lái)看一下這次節(jié)目我們要探討的問(wèn)題： 如果AB兩點(diǎn)是在空間中垂直放置的，那么這兩點(diǎn)之間的最快路徑是什么？

舉幾個(gè)圖，如果我們將兩點(diǎn)之間用鐵線(xiàn)連接，上面穿一顆圓潤(rùn)的珠子，那么以下哪種姿勢(shì)的路徑可以讓珠子以最快的速度從A點(diǎn)滑降到B點(diǎn)？

注意，此問(wèn)題中要加上重力加速度(但是不考慮摩擦力和空氣阻力)的情況下，考察那條鐵線(xiàn)上的珠子最快降落到B點(diǎn)，給你兩分鐘時(shí)間……

會(huì)不會(huì)是第一種直線(xiàn)的方式呢？無(wú)論如何，我們都知道這是兩點(diǎn)之間最短的路徑。所以珠子需要移動(dòng)的距離是最短的，而且珠子不需要改變運(yùn)行方向跑偏，嚴(yán)格按照起始的方向埋頭滑到底。

會(huì)不會(huì)是第二種拋物線(xiàn)形式的路徑最快？拋物線(xiàn)是種水平位移與垂直運(yùn)動(dòng)成平方關(guān)系的運(yùn)動(dòng)路徑，更符合物體在自然界重力作用下的墜落軌跡(事實(shí)上，那些訛?zāi)沐X(qián)讓你吐一地的「失重體驗(yàn)」飛行，飛的就是這種路徑。)

還有第三種跳臺(tái)滑雪式的路徑，它會(huì)是最快的一個(gè)么？走這種路徑有個(gè)優(yōu)勢(shì)，就是在一開(kāi)始會(huì)獲得較高的加速度，當(dāng)加速度達(dá)到最大的時(shí)候，把這種優(yōu)勢(shì)轉(zhuǎn)化為較短的時(shí)間滑過(guò)后半程的水平位移上。

是不是還有種可能，實(shí)際上對(duì)于下墜來(lái)說(shuō)，其實(shí)路徑根本就無(wú)所謂？你看，反正是能量守恒的事情，同等高度的情況下，珠子具有的勢(shì)能也是一樣的，那么最后獲得的動(dòng)能也是一樣的，那么我們能不能說(shuō)其實(shí)路徑的選擇對(duì)速度是沒(méi)有影響的？

最后，會(huì)不會(huì)這些路徑都不是最快的？其實(shí)還有其他的可能？比如一個(gè)完美的圓弧？

誒？聽(tīng)上去貌似都有點(diǎn)道理！您覺(jué)得呢？鼠標(biāo)別撒手，跟我繼續(xù)看下去……

牛頓、貝努里、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達(dá)(反正都是些遠(yuǎn)古學(xué)霸)

在17世紀(jì)末，扎堆出現(xiàn)了一大批杰出的數(shù)學(xué)家：牛頓、貝努里、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達(dá)……他們都在做這道題，出題的人是雅各布·伯努利他弟，約翰·伯努利：

“我，約翰·伯努利，想找到世界上最棒的數(shù)學(xué)家。沒(méi)有比出道難題更為難人，更能公平公正地爽到我了，能解決這個(gè)問(wèn)題的人必能揚(yáng)名立萬(wàn)，千古流芳。成為能與帕斯卡，費(fèi)馬等牛人齊名的大V。請(qǐng)?jiān)试S我代表整個(gè)數(shù)學(xué)界提出這個(gè)尤其能在今天考驗(yàn)大家的數(shù)學(xué)技巧和思維耐力的問(wèn)題。如果有人能把答案遞交與我，我會(huì)將其公開(kāi)，并授予其應(yīng)得的獎(jiǎng)賞。”

這個(gè)約翰·伯努利是誰(shuí)？好像口氣很吊的樣子，反正你們就當(dāng)他是知乎的黃繼新就行了，要不是他，牛頓的萬(wàn)有引力還能早些獲得承認(rèn)，他們一家人都是大學(xué)霸，兄弟，父子之間還互相瞧不上眼。

史載是牛頓第一個(gè)找到了正確解法和答案。伽利略幾十年前已經(jīng)給出了自己的結(jié)論，但由于手里沒(méi)有微積分，得出了錯(cuò)誤的答案，所以咱也別自慚愧，不知道也很正常。

最速曲線(xiàn) (Brachistochrone Curve)

這個(gè)問(wèn)題存在一個(gè)最優(yōu)解，這條曲線(xiàn)有一個(gè)拗口的名字，叫 Brachistonchrone 曲線(xiàn)(詞源來(lái)自希臘語(yǔ)，brachistos是最短的意思，chronos 意思是時(shí)間)。這的確念起來(lái)累舌頭，但先別皺眉，萊布尼茨還想更佶屈聱牙地叫它 Tachystopote ……

最速曲線(xiàn)的形狀接近那個(gè)「跳臺(tái)滑雪」(上圖第三個(gè))，起始近乎的垂直加速讓珠子獲得了快速通過(guò)后半程水平位移的能力，平均速度最快。上圖的動(dòng)畫(huà)里，紅色的就是那條「最速曲線(xiàn)」。(伽利略的結(jié)論錯(cuò)在認(rèn)為完美的圓弧才是最快的路徑。)

關(guān)于變量的計(jì)算

在這里要得到的最優(yōu)解的計(jì)算，不是要將一個(gè)函數(shù)里的某個(gè)變量最小化，而是需要一個(gè)函數(shù)來(lái)把其他變量最小化。這就是「變分法」。關(guān)于變分法的介紹很多，所以我在這里就快速展示一下這個(gè)過(guò)程，反正 @sein也不按字?jǐn)?shù)發(fā)糧票……

計(jì)算的基本思路是「能量守恒」。墜落的珠子把勢(shì)能變成動(dòng)能。如果我們把這條彎曲的路徑長(zhǎng)度記做s，每一段無(wú)線(xiàn)小的路徑記做ds，得：

不同的路徑都會(huì)有不同的函數(shù)，在這里，我們的目標(biāo)是找到那個(gè)最小的y的函數(shù)表達(dá)式。

我們知道路徑是連續(xù)的(沒(méi)有坑洼和突然的起伏)，而且我們知道只有一個(gè)變量就是加速度，所以得到一個(gè)二階導(dǎo)數(shù) d2y/dx2，而且我們知道起點(diǎn)和終點(diǎn)的值。

抄個(gè)近道直接給你們答案吧，下面是關(guān)于夾角θ切線(xiàn)的參數(shù)方程

等式中K是一個(gè)保證曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)終點(diǎn)(xB，yB)的系數(shù)。

擺線(xiàn)(Cycloid)

上式所得到的圖像，就是下圖我們所看到的「擺線(xiàn)」，美不勝收……

所謂擺線(xiàn)，描述的是某個(gè)圓上的一點(diǎn)，在圓沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)候的滑過(guò)的軌跡。

想象你的車(chē)跑在這樣形狀的一個(gè)坡上，轱轆就是那個(gè)黑點(diǎn)，那它運(yùn)動(dòng)速度最快的區(qū)間就是在這條擺線(xiàn)的 0≤θ≤π 的范圍里，從垂直下降到回歸水平位置的這段路徑上(見(jiàn)下圖)。

這到底有毛用？

最速曲線(xiàn)對(duì)于建造過(guò)山車(chē)有巨大的指導(dǎo)意義，那些造過(guò)山車(chē)的工程師總要絞盡腦汁在有限的垂降距離里，盡快達(dá)到最高速爽到你。如我們剛才所證的，「最速曲線(xiàn)(Brachistochrone Curve)」是兩點(diǎn)之間最快的路徑。

這在競(jìng)技體育上也大有用處。如果你是一個(gè)滑雪運(yùn)動(dòng)員，目標(biāo)是最短時(shí)間沖線(xiàn)，你根本就不在乎兩點(diǎn)間的最短路徑，而是最快路徑。如果你沿著最速曲線(xiàn)的路徑下滑，你會(huì)獲得更多的加速度優(yōu)勢(shì)。

能看到這里的都是好同學(xué)

這事兒還能更帶勁。

在均一力場(chǎng)的框架下，「最速曲線(xiàn)(Brachistochrone Curve)」有時(shí)候也被稱(chēng)之為「等時(shí)曲線(xiàn)(tautochrone)」(依舊感謝希臘人，taut的意思是「相等」)。

你可以把物體放在「等時(shí)曲線(xiàn)」的任何位置上，它們都將以 相同的時(shí)間 滑落到同一個(gè)位置。

位置越高的物體，將以更快的速度，和位置較低的物體一起通過(guò)最低點(diǎn)。(具體時(shí)長(zhǎng)是π乘以圓弧的半徑除以g的平方根)。

你可以在威武的Wolfram 上玩到更精彩的例子

我們回憶一下高中的物理知識(shí)，老師講過(guò)鐘擺的運(yùn)動(dòng)周期取決于擺臂的長(zhǎng)度，但這個(gè)說(shuō)法只是理想狀態(tài)下的近似結(jié)果。當(dāng)鐘擺真甩起來(lái)的時(shí)候，其實(shí)擺臂的長(zhǎng)度是有細(xì)微微的變化的：

當(dāng)擺臂很長(zhǎng)，而擺幅很小的時(shí)候，這個(gè)誤差也很小，但這個(gè)誤差是躲不掉的。最早發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的是數(shù)學(xué)家惠更斯，他用一個(gè)叫做「翻轉(zhuǎn)擺線(xiàn)的漸開(kāi)線(xiàn)( involute of an inverted cycloid)」的特別方法糾正了這個(gè)誤差(后面講到)，制造出了完美的鐘擺(惠更斯鐘擺)，他是歷史上第一個(gè)研究鐘擺在擺線(xiàn)頂端出現(xiàn)誤差的人。

如果擺臂的長(zhǎng)度是擺線(xiàn)周長(zhǎng)的一半，那么鐘錘運(yùn)行的軌跡是沿著一條擺線(xiàn)以固定的時(shí)長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，且時(shí)長(zhǎng)與擺動(dòng)的高點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。漸開(kāi)線(xiàn)指的是一條描述擺臂上一動(dòng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，與所選切線(xiàn)上的交點(diǎn)的軌跡。(如果每個(gè)字都認(rèn)識(shí)，這真不是我的錯(cuò)……，下圖藍(lán)色那段就是所謂「漸開(kāi)線(xiàn)」)。

下圖就是惠更斯設(shè)計(jì)的鐘擺，鐘擺頂部有兩片金屬簧片，現(xiàn)在被稱(chēng)之為 Huygen's Chops。

當(dāng)鐘擺擺動(dòng)時(shí)，吊繩就貼上了簧片，簧片的形狀就是擺線(xiàn)的漸開(kāi)線(xiàn)，鐘擺因此就沿著完美的擺線(xiàn)運(yùn)行了。

擺線(xiàn)，最速曲線(xiàn)和等時(shí)曲線(xiàn)

擺線(xiàn)的特性在名著《白鯨記》中也有描述：

「煉鯨油鍋」也包含著數(shù)學(xué)的光輝。Pequod號(hào)捕鯨船的左舷的鍋?zhàn)永?#xff0c;當(dāng)我用滑石打磨鍋壁的時(shí)候，注意到了這個(gè)神奇的現(xiàn)象，所有的東西都按照擺線(xiàn)的規(guī)則，無(wú)論從哪兒開(kāi)始，都以同樣的時(shí)間滑落到鍋底。

如果你還在玩四驅(qū)模型車(chē)，那么你可以告訴孩子們，如果是在一個(gè)最速曲線(xiàn)形狀的滑道上比賽，無(wú)論賽車(chē)從哪兒起跑，比賽都是公平的。

(當(dāng)然機(jī)靈的小家伙們會(huì)告訴你，紅色的車(chē)子會(huì)跑的最快)。

一個(gè)符合數(shù)學(xué)要求的滑板溜碗賽場(chǎng)，應(yīng)該兩邊是符合「等時(shí)曲線(xiàn)」的形狀。如果你在這種賽場(chǎng)和人較勁，那么你可以放心，無(wú)論他們踩著什么器材，大家在坡底的耗時(shí)都是一樣的。如果形狀不如意，那么你最好別沿著坡度直接下去，最好滑出一道最速曲線(xiàn)的軌跡來(lái)。

再說(shuō)一次漸開(kāi)線(xiàn)

我覺(jué)得最后值得說(shuō)一說(shuō)漸開(kāi)線(xiàn)，它和擺線(xiàn)一樣有趣，而且在工作中更能發(fā)揮實(shí)際作用。比如齒輪。早期的齒輪都是按照擺線(xiàn)的輪廓制作的。

這種齒輪一般具有更寬的齒牙截面，因此也更強(qiáng)更有力，但在現(xiàn)代工業(yè)制造中已經(jīng)很少見(jiàn)了。如上圖所示，擺線(xiàn)齒輪是由兩條擺線(xiàn)為輪廓構(gòu)成的，這個(gè)樣子的齒輪現(xiàn)在在自行車(chē)上比較常見(jiàn)。在動(dòng)畫(huà)最后，你會(huì)看到齒牙根部又被切掉了一塊，這是在鐘表齒輪上常見(jiàn)的做法(為了減少重量，更重要的是減少碰撞和摩擦。)

而如今，更常見(jiàn)的齒輪是以漸開(kāi)線(xiàn)為輪廓的(想象成好多Huygen's Chops組成的齒輪就是了)。

當(dāng)這種齒輪咬合的時(shí)候，兩齒之間的接觸點(diǎn)穩(wěn)定，摩擦更少，運(yùn)轉(zhuǎn)更平穩(wěn)。沒(méi)有其他形狀的齒輪會(huì)發(fā)生的抖動(dòng)和噪音。而且這種齒輪還有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是兩個(gè)齒輪之間的圓心距離可以隨意改變，而不需要改變輪子的傳動(dòng)比(而擺線(xiàn)齒輪必須固定兩個(gè)齒輪之間的圓心距離)。

最后，漸開(kāi)線(xiàn)齒輪頂部和底部是平的，只有弧度的兩側(cè)，所以比較易于加工。

擺線(xiàn)齒輪現(xiàn)常見(jiàn)于自行車(chē)、手表、鐘表上，除此以外，基本上都是漸開(kāi)線(xiàn)齒輪的天下了。

滾石

下次，如果你再看到山坡上寂寞翻滾的大石，請(qǐng)記起17世紀(jì)的那些大學(xué)霸們！

∑編輯?|?Gemini

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学之美：两点之间最快的路径是什么？能看到最后的都是学霸的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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