王元在作完題為《漫談哥德巴赫猜想》的報(bào)告后給數(shù)學(xué)愛好者簽名 。王林/攝

“我勸大家現(xiàn)在不要去做哥德巴赫猜想，還是把基礎(chǔ)打好。如果要搞這個(gè)問題，最低限度，你應(yīng)該有大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生的知識(shí)水平，并將已有的文獻(xiàn)都看明白了；否則，就是浪費(fèi)時(shí)間。”?

1978年2月17日，《人民日?qǐng)?bào)》發(fā)表了徐遲的長(zhǎng)篇報(bào)告文學(xué)——《哥德巴赫猜想》。從此，陳景潤的名字和哥德巴赫猜想一起傳遍神州大地。

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近日，在一項(xiàng)面向公眾的活動(dòng)中，數(shù)論學(xué)家王元院士發(fā)表了題為《漫談哥德巴赫猜想》的演講，并向熱衷于證明這一猜想的數(shù)學(xué)愛好者提出建議和忠告。

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王元表示，關(guān)于哥德巴赫猜想，報(bào)紙、電臺(tái)和電視上都介紹了很多。“但報(bào)紙上的宣傳也好，群眾的理解也好，都是不完整的，也是不科學(xué)的。”王元說。

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他談到三個(gè)方面的問題：一、什么是哥德巴赫猜想；二、為什么哥德巴赫的證明如此重要；三、目前最終證明哥德巴赫猜想的方法還沒有出來，勸大家還是把基礎(chǔ)打好，不要輕易去證明哥德巴赫猜想。

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王元是我國早期從事哥德巴赫猜想證明的數(shù)學(xué)家之一，1952年從浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)，經(jīng)陳建功與蘇步青推薦到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作，在華羅庚的指導(dǎo)下研究數(shù)論和哥德巴赫猜想。

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據(jù)王元介紹，華羅庚早在20世紀(jì)30年代就開始研究哥德巴赫猜想，并得到了相當(dāng)好的結(jié)果；1966年，陳景潤證明了“1＋2”是迄今為止世界上有關(guān)哥德巴赫猜想證明的最好成果。

什么是哥德巴赫猜想

1742年6月7日，德國數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫寫信給瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉，提出兩個(gè)猜想：?

（1）任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和；

（2）任何一個(gè)大于5的奇數(shù)是3個(gè)素?cái)?shù)之和。

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1742年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中明確表示，他深信哥德巴赫的這兩個(gè)猜想都是正確的定理，但他不能加以證明。

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這就是著名的哥德巴赫猜想。

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“容易證明（2）是（1）的推論，所以最重要的是（1），這是兩個(gè)素?cái)?shù)，所以我們稱它為‘1＋1’，這個(gè)問題到現(xiàn)在也沒有解決。”王元說，“但是，現(xiàn)在很多人說解決了這個(gè)問題，來的信簡(jiǎn)直堆積如山，有人搞得傾家蕩產(chǎn)，這是沒有必要的，因?yàn)檫@個(gè)問題還不到解決的時(shí)候。我勸大家不要做這個(gè)問題。”

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哥德巴赫猜想的內(nèi)容十分簡(jiǎn)潔，但它的證明卻異乎尋常的困難。從哥德巴赫寫信之日起，直至1920年，并沒有一個(gè)方法可以用來證明這個(gè)問題。

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1900年，在法國巴黎召開的第2屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在他著名的演說中，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建議了23個(gè)問題，而哥德巴赫猜想（1）就是他第八個(gè)問題的一部分。

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1912年，在英國劍橋召開的第5屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，德國數(shù)學(xué)家E·朗道將哥德巴赫猜想列為數(shù)論中按當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)水平不能解決的4個(gè)問題之一。

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1921年，數(shù)論泰斗、英國數(shù)論學(xué)家哈羅德·哈代在德國哥德哈根數(shù)學(xué)會(huì)的演講中，宣稱猜想（1）的困難程度“是可以與數(shù)學(xué)中任何未解決的問題相比擬的”。

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因此，王元說：“哥德巴赫猜想不僅是數(shù)論，也是整個(gè)數(shù)學(xué)中最著名與困難的問題之一。”他給大家展示了一幅當(dāng)年哥德巴赫寫給歐拉的信的手跡復(fù)本。

哥德巴赫猜想為何如此重要

在數(shù)學(xué)界，關(guān)于整數(shù)未解決的問題非常多，為什么哥德巴赫猜想特別重要呢？

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王元說：“哥德巴赫猜想的重要性在于它是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以它作為模型，可以給數(shù)學(xué)帶來新的方法、新的概念和新的理論。如果一個(gè)問題的證明不能帶來新方法、新思想和新理論，那么這個(gè)問題就不重要，這樣的問題多得很。”

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在接下來的演講中，王元向公眾解釋了哥德巴赫猜想證明為何能帶動(dòng)新的理論和方法的原因。

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證明哥德巴赫想帶動(dòng)的第一個(gè)方法是“園法”。這是1918年，英國數(shù)學(xué)家哈代、李特伍德和印度數(shù)學(xué)家拉馬努金研究哥德巴赫猜想時(shí)提出的方法。

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王元說：“他們從1918年開始做這個(gè)方法，這是一個(gè)非常有力的方法，是堆壘數(shù)論中一個(gè)強(qiáng)有力的中心方法。哈代是華羅庚先生的老師，拉馬努金在印度則被神話了。還有就是指數(shù)和的估計(jì)方法，指數(shù)和的估計(jì)從高斯開始，在最近100年中發(fā)展得很快，原因就是哥德巴赫猜想是它的推動(dòng)力之一。有了這兩個(gè)方法的帶動(dòng)，基本上解決了哥德巴赫猜想（2），即每一個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)之和。為什么說是基本解決而不是完全解決呢，這就要完全理解‘充分大’。”

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什么是“充分大”？王元說：“充分大是一個(gè)界線，大于這個(gè)界線的數(shù)則為充分大。在數(shù)學(xué)中，這個(gè)界線有時(shí)可以算出來，有時(shí)算不出來。在這里，文獻(xiàn)資料顯示，這個(gè)充分大可以算出來，是10的1000多次方，這是一個(gè)什么概念呢？現(xiàn)在計(jì)算機(jī)每秒的計(jì)算速度可以達(dá)到每秒100萬億次，這是10的14次方，10的20次方則是計(jì)算機(jī)能夠達(dá)到的最高上限；再給大家一個(gè)概念，整個(gè)宇宙的基本粒子有多少？我記得在一篇文章上說是10的50次方，那么，10的1000次方是什么概念呢？無法想象！這是一個(gè)大得不得了的數(shù)字。所以，三個(gè)素?cái)?shù)加起來等于一個(gè)奇數(shù)，這是不能通過計(jì)算機(jī)做出來的，只能用數(shù)學(xué)的方法來證明。”

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“現(xiàn)在，社會(huì)上只知道1＋1，N＋N，忘了將‘充分大’三個(gè)字放上去，這些問題都要加上‘充分大’才行。”王元補(bǔ)充說。

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證明哥德巴赫猜想帶動(dòng)的第二個(gè)方法是篩法。

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王元說：“1918年，挪威數(shù)學(xué)家布朗改進(jìn)了有2000多年歷史的埃拉多染尼氏的篩法，證明每個(gè)充分大的偶數(shù)都是兩個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過9的正整數(shù)之和。我們將布朗的結(jié)果記為‘9＋9’。從布朗開始，篩法發(fā)展差不多90多年了，而且還在發(fā)展，最后結(jié)果是什么呢？最后結(jié)果之一就是陳景潤的結(jié)果。陳景潤在1965年證明：每一個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)之積之和。這個(gè)定理可以表示為‘1＋2’。”

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“陳景潤的這個(gè)定理，報(bào)紙上的宣傳也好，群眾的了解也好，都是不完整、不科學(xué)的。因?yàn)槭紫?#xff0c;外面大家講的都是陳景潤的‘1＋2’，‘充分大’忘了；其次，大家說陳景潤證明的是一個(gè)素?cái)?shù)加上兩個(gè)素?cái)?shù)乘起來。這又錯(cuò)了！應(yīng)該是一個(gè)素?cái)?shù)加上一個(gè)素?cái)?shù)或者兩個(gè)素?cái)?shù)乘起來，是不超過兩個(gè)素?cái)?shù)之積之和。所以，大眾的理解是不科學(xué)的，所以我現(xiàn)在要給大家嚴(yán)格地講一講。”王元說，“陳景潤定理中的充分大有多大？我們只知道存在這樣一個(gè)界，但不能具體給出來！”

“光輝的頂點(diǎn)”

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936～1938年，他赴英國劍橋大學(xué)留學(xué)，在哈代的指導(dǎo)下從事數(shù)論研究，并開始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，證明了對(duì)于“幾乎所有”的偶數(shù)，猜想（1）都是正確的。

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1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數(shù)學(xué)研究所組織數(shù)論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題，倡議并指導(dǎo)他的一些學(xué)生研究這一問題。他曾對(duì)學(xué)生們說：“我并不是要你們?cè)谶@個(gè)問題上作出成果來。我的著眼點(diǎn)是哥德巴赫猜想跟解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系，以哥德巴赫猜想為主題來學(xué)習(xí)，將可以學(xué)會(huì)解析數(shù)論中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒有一個(gè)方法可以解決它。”

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參加這個(gè)數(shù)論討論班的學(xué)生有王元、潘承洞和陳景潤等。出乎華羅庚的意料，學(xué)生們?cè)诟绲掳秃詹孪氲淖C明上取得了相當(dāng)好的成績(jī)。

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1956年，王元證明了“3＋4”；同年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿·維諾格拉朵夫證明了“3＋3”；1957年，王元又證明了“2＋3”；潘承洞于1962年證明了“1＋5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1＋4”；1966年，陳景潤在對(duì)篩法作了新的重要改進(jìn)后，證明了“1＋2”。

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1974年，由英國數(shù)學(xué)家哈勃斯坦和西德數(shù)學(xué)家李希特合著的《篩法》一書出版，書中以“陳氏定理”作為最后一章的標(biāo)題。書中寫道：“我們本章的目的是為了證明陳景潤下面的驚人定理，我們?cè)谇?0章已經(jīng)付印時(shí)才注意到這一結(jié)果。從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點(diǎn)。”

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華羅庚曾對(duì)王元說：“在我的學(xué)生的工作中，最使我感動(dòng)的是‘1＋2’。”

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王元向大家展示了一張陳景潤的照片，這是日本出版的《數(shù)學(xué)100個(gè)問題》中一張陳景潤的照片。“日本數(shù)學(xué)界列舉了今天數(shù)學(xué)中的100個(gè)重要問題，哥德巴赫猜想是這些問題中的重要問題之一，因?yàn)殛惥皾櫾凇?＋1’的證明中最接近最終目標(biāo)，所以書中刊登了他的一張照片。這里面刊登一張照片也不容易，因?yàn)闀兄挥袃蓮堉袊说恼掌?#xff0c;一張是祖沖之的，一張就是陳景潤的。”王元說，“當(dāng)然，對(duì)數(shù)學(xué)難題的證明作出貢獻(xiàn)只是對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的一個(gè)方面。”

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王元強(qiáng)調(diào)：“在這里我應(yīng)該說明，這個(gè)結(jié)果最后是陳景潤做出來的，但這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是90年來大家努力的結(jié)果，陳景潤只是走出了最后一步。所以，前面的某些人在數(shù)學(xué)史上的功勞肯定要超過他，比方說，近代篩法的創(chuàng)始人布朗等。但最后的結(jié)果是最后一個(gè)人做出來的。如果要證明‘1＋1’，現(xiàn)在還比較遠(yuǎn)。”

“這一步大得不得了”

最后，王元說：“今天，我給大家講哥德巴赫猜想，并不是想鼓吹大家來做這個(gè)事情。我沒有這個(gè)意思。我給大家講一講，只是要讓你們知道這樣一個(gè)數(shù)學(xué)常識(shí)，這是我的第一個(gè)目的。第二個(gè)目的，也是更重要的一點(diǎn)，就是我勸大家現(xiàn)在不要去做哥德巴赫猜想，還是把基礎(chǔ)打好。對(duì)這個(gè)問題而言，包括陳景潤在內(nèi)，他辛苦了一輩子證明了‘1＋2’，是他的實(shí)力和勤奮，也是他的運(yùn)氣。陳景潤的結(jié)果，報(bào)紙上的宣傳也好，外面的說法也好，都不對(duì)頭，‘充分大’沒有說，這是不對(duì)的。這個(gè)問題，基礎(chǔ)沒有打好，怎么搞？對(duì)在座的各位年輕人來說，你們現(xiàn)在打基礎(chǔ)很重要，如果要搞這個(gè)問題，最低限度，你應(yīng)該有大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生的知識(shí)水平，并將已有的文獻(xiàn)都看明白了才能做；否則，就是浪費(fèi)時(shí)間。”

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如今，王元每周還要收到幾封信，寫信人強(qiáng)迫和他討論哥德巴赫猜想的問題。“我希望他們不要和我討論這個(gè)問題，這個(gè)問題我已經(jīng)幾十年不做了，因?yàn)槲矣X得沒有什么希望再做下去了。不要認(rèn)為陳景潤做出‘1＋2’，還差一步就做出‘1＋1’。是的，就是這一步；但這一步根本就大得不得了，這一步比90年來走過的路還要長(zhǎng)。”王元說。

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美國加州大學(xué)洛杉磯分校的華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒是2006年數(shù)學(xué)菲爾茨獎(jiǎng)獲得者之一。王元說：“陶哲軒應(yīng)該是最近幾十年來全世界做得最好的兩位數(shù)學(xué)家之一，他的目標(biāo)之一就是要證明‘1＋1’，他現(xiàn)在做出來的結(jié)果也很好，但他在很多次報(bào)告中都講，他的方法不可能證明‘1＋1’。”

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“連這么大的一個(gè)天才都沒有做出來，所以，我勸大家不要做這個(gè)事，現(xiàn)在不是做這個(gè)證明的時(shí)候。你們還是應(yīng)打好基礎(chǔ)，把你們現(xiàn)在該學(xué)的解析幾何、代數(shù)與幾何等學(xué)好，這是最重要的。”王元說。

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來源 |?科學(xué)網(wǎng)

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總結(jié)

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