数学：从猜想开始
7 橋 歐拉
有人覺得數學是信仰，In math we believe!
但是有人發覺數學是從提問開始，從猜想開始的，這個很有意思，與物理不太一樣。
1900年，偉大的數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）在巴黎的國際數學家大會上提出了23個未解決的重要數學問題。這些問題中有些在隨后很短的時間內就得到解決，但有的問題卻異常復雜，影響貫穿整個20世紀的數學研究，窮盡數學家一個世紀的努力都沒有被解決，黎曼猜想就在其中。
2000年，美國克雷數學研究所公布了一個包含7個尚未被解決的數學問題的“千禧年大獎難題”清單，成功解決其中任何一個問題的數學家都將獲得100萬美元的獎金。但是，迄今為止，7個問題中只有龐加萊猜想在2003年被俄羅斯數學家格里高利·佩雷爾曼（Grigori Perelman）解決，他也因此在2006年獲得了菲爾茲獎。其余6個問題目前仍懸而未決（注釋：英國著名數學家阿蒂亞（Michael Atiyah）將在9月24日在海德堡獲獎者論壇的演講中公布他對黎曼猜想的證明。阿蒂亞表示，他是基于馮·諾依曼、希策布魯赫和狄拉克等人的成果，使用一種簡單而全新的方法證明了黎曼猜想的。但是有人對此持有懷疑態度。姑且把黎曼猜想放到懸而未決的一類中。）
即使使用非常簡化的語言來描述，黎曼猜想對沒有一定數學基礎的讀者來說仍然不易理解。但是從這個猜想兩次被列入“世紀難題”的范疇卻仍然是“猜想”的事實，就不難想到它對數學家提出的挑戰有多么嚴峻。
不過，雖然黎曼猜想并沒有被證明，卻不妨礙數學家使用黎曼的發現。目前已經有超過1000個數學命題是以黎曼猜想或者它的推廣形式為基礎，也就是說數學家在提出這些命題的時候，已經假定黎曼猜想成立。由此可見，黎曼猜想的證明也將最終夯實這些命題存在的根基。
數學是與神對話的語言，要讀懂一個猜想就很難，我花了一個上午瀏覽，目的是找一個基金的名字，希望用數學家來命名的token基金，看了一下，我最喜歡的是歐拉，Euler Leonhard，好吧，就叫歐拉基金，Euler fund，座右銘是，to compute ,to live
1783年9月18日，晚餐后，歐拉一邊喝著茶，一邊和小孫女玩耍，突然之間，煙斗從他手中掉了下來。他說了一聲：“我的煙斗”，并彎腰去撿，結果再也沒有站起來，他抱著頭說了一句：“我死了”?！皻W拉停止了計算和生命”。最后一句話出自法國哲學家兼數學家孔多塞“...il cessa de calculer et de vivre（他停止了計算和生活）”（he ceased to calculate and to live）。
Clay公司的千年大獎問題：
美國麻州的克雷（Clay）數學研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千年數學難題”的每一個懸賞一百萬美元。
其中有一個已被解決(龐加萊猜想),還剩六個（注:黎曼猜想仍有爭議）.（龐加萊猜想，已由俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼破解。我國中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。）
“千年大獎問題”公布以來， 在世界數學界產生了強烈反響。
這些問題都是關于數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。
認識和研究“千年大獎問題”已成為世界數學界的熱點。不少國家的數學家正在組織聯合攻關。 可以預期， “千年大獎問題” 將會改變新世紀數學發展的歷史進程。
一、P問題對NP問題（P versus NP）
在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。
你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。
生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。
與此類似的是，如果某人告訴你，數１３，７１７，４２１可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。
人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。
既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陳述的。
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我覺得，像以上這樣，介紹P與NP問題，比算法導論上的闡述更易于初學者理解。
單憑這點，此文就有意義了。
二、霍奇(Hodge)猜想（The Hodge Conjecture）
二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬?#xff0c;我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。
不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。
霍奇猜想斷言，對于所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
三、龐加萊(Poincare)猜想（The Poincaré Conjecture）
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。
我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。
大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈里·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，并聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。
2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。
數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
四、黎曼(Riemann)假設（The Riemann Hypothesis）
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。
在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s)的性態。
著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
五、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口（Yang-MillsExistence and Mass Gap）
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。
基于楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：
布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
六、納維葉－斯托克斯方程的存在性與光滑性（Navier-Stokesexistence and smoothness）
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。
七、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想（TheBirch and Swinnerton-Dyer Conjecture）
數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。
事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。
當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。
特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點。
Hilbert 問題
希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬于代數和幾何問題；第19到第23問題屬于數學分析。
（1）康托的連續統基數問題。
1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科思（P.Choen）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。
（2）算術公理系統的無矛盾性。
歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性。
（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。
問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德思（M.Dehn）在1900年已解決。
（4）兩點間以直線為距離最短線問題。
此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。
（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。
這一個問題簡稱連續群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊平（Zippin）共同解決 [2] 。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。
（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。
1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。后來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。
（7）某些數的超越性的證明。
需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那么α^β一定是超越數或至少是無理數（例如，2^√2和exp(π)）。蘇聯的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。
（8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。
素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未獲最終解決，其最佳結果分別屬于中國數學家陳景潤和張益唐。
（9）一般互反律在任意數域中的證明。
1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發展之中。
（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？
求出一個整數系數方程的整數根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數學家）方程可解。1950年前后，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯系。
（11）一般代數數域內的二次型論。
德國數學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數學家魏依（A.Weil）取得了新進展。
（12）類域的構成問題。
即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。
（13）一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。
（14）建立代數幾何學的基礎。
荷蘭數學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。
注一舒伯特（Schubert）計數演算的嚴格基礎。
一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎?，F在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學有密切的關系。但嚴格的基礎至今仍未建立。
（15）代數曲線和曲面的拓撲研究。
此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環的最多個數N（n）和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2（即二次系統）的情況，1934年福羅獻爾得到N（2）≥1；1952年鮑廷得到N（2）≥3；1955年蘇聯的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，這個曾震動一時的結果，由于其中的若干引理被否定而成疑問。關于相對位置，中國數學家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過兩串。1957年，中國數學家秦元勛和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環的實例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環的具體例子。1983年，秦元勛進一步證明了二次系統最多有4個極限環，并且是（1，3）結構，從而最終地解決了二次微分方程的解的結構問題，并為研究希爾伯特第（16）問題提供了新的途徑。
（16）用全等多面體構造空間。
德國數學家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。
（17）正則變分問題的解是否總是解析函數？
德國數學家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯數學家彼德羅夫斯基（1939）已解決。
（18）研究一般邊值問題。
此問題進展迅速，已成為一個很大的數學分支，目前還在繼讀發展。
（19）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。
此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結果。1970年法國數學家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻。
（20）用自守函數將解析函數單值化。
此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。
（21）發展變分學方法的研究。
這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。
（22）用自守函數將解析函數單值化。
此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。
（23）發展變分學方法的研究。
這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。
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