楊輝三角，又叫做賈憲三角形，帕斯卡三角形。它在中國最早由賈憲在《釋鎖算術》中提出，后來南宋數(shù)學家楊輝在所著的《詳解九章算法》中進行了詳細說明。

楊輝三角中的三角形數(shù)表，是自然界和諧統(tǒng)一的體現(xiàn)。楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，其中蘊含著二項式系數(shù)的幾個相關性質，包括二項式系數(shù)的對稱性、增減性與最大值、各二項式系數(shù)的和等。

楊輝三角中還遠遠不只這些規(guī)律，它本身也包含了很多奇妙的性質。楊輝三角的前提是每行數(shù)字開頭與結尾的數(shù)都為1；第n行的數(shù)字有n項，且數(shù)字之和為2n-1；在第n行中，第m個數(shù)與第n-m+1的數(shù)值相同，這便是組合數(shù)的性質之一；第n行中的第m個數(shù)可以表示為：C（n-1，m-1），也就是從n-1個元素當中選取 m-1個元素，這屬于楊輝三角的基本性質之一；每個數(shù)字與上方兩數(shù)之和相同，按照此規(guī)律便能夠得出整個楊輝三角，即第n+1行中第i個數(shù)的數(shù)值為第n行中第i-1個數(shù)與第i個數(shù)相加之和相同，這便是組合數(shù)的又一大性質，用公式可以表示為：C（n+1，i）=C（n，i）+C（n，i-1）。

在古老的楊輝三角中存在著很多奧秘，除了數(shù)學方面，楊輝三角也與許多詩文形成映射，展現(xiàn)了詩文之美。

一、 楊輝三角的外形與寶塔詩

唐代白居易做過一首《一七令·詩》

詩，

綺美，瑰奇。

明月夜，落花時。

能助歡笑，亦傷別離。

調清金石怨，吟苦鬼神悲。

天下只應我愛，世間唯有君知。

自從都尉別蘇句，便到司空送白辭。

這種詩體名為寶塔詩，都是寬底尖頂，兩側對稱的結構。每行每句相比上一行增加一字。從外形上看，富有美感的寶塔詩和楊輝三角很是相似。

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二、 遞推鏈與連環(huán)章

楊輝三角每行首尾數(shù)字都是1，中間的每個數(shù)剛好是該數(shù)兩肩上的數(shù)字之和。這種層層遞推的數(shù)鏈結構，表現(xiàn)在文學中就是連環(huán)章。

如經典的詩文有《桃話冷落》：“桃花冷落被風飄，飄落殘花過小橋。橋下金魚雙戲水，水邊小鳥理新毛。毛衣未濕黃梅雨，雨滴江梨分外嬌……敲門借問天臺路，路過小橋有斷橋，橋邊種碧桃。”全詩一氣呵成，從“桃”字開始，首尾相連，每句首字是上一句末字，頂真回環(huán)。句與句之間的關系和楊輝三角行與行之間層層遞推的關系有著異曲同工之妙；全詩首尾同字，也和楊輝三角每行首尾都是1結構相同。

楊輝三角雖然是數(shù)學問題，可是只要用心觀察，便會發(fā)現(xiàn)它在很多方面都有著神奇的魅力。

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來源：科普中國

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總結

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