2015年9月17日，美國加州大學洛杉磯分校的數學家陶哲軒（Terence Tao）宣布破解埃爾德什猜想（the Erd?s Discrepancy Problem），整個數學界為之興奮。

同樣的興奮也傳到包括筆者在內的普通數學愛好者的圈子。在陶哲軒將證明提交到論文預印網站www.arXiv.com 后的短短幾個小時后，筆者的微信朋友圈、微博和知乎的時間線都被“陶哲軒攻克埃爾德什猜想”這條消息刷屏。

圖1：1992年秋天，埃爾德什（Paul Erd?s）在一場學生學術討論會上。

來源：Wikimedia

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?埃爾德什差異問題

“埃爾德什差異問題”之所以備受關注，大概有兩個原因，其一是，它的命題有一種數學所獨有的簡潔的美感——這個命題是如此的通俗易懂，沒有任何數學背景的人也幾乎可以輕松理解。可以用最通俗的方法描述這個問題：　　

首先，隨意拋一枚硬幣，如果得到正面，則記為1，得到反面，則記為 -1。將硬幣拋無限多次，則得到一組由1和-1組成的無窮數列，比如

　　-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,…

其次，任意取一個自然 N，也就是說，N 可以為 0,1,2,3,4,5……然后，我們在上面無窮數列中取出從頭開始的連續幾個倍數，得到一個有限數列。比如，如果我們取N = 2, 我們可以取出無窮數列中第2個和第4個數，可以取第2，4，6個數，也可以取第2，4，6，8個數… 以取出第2，4，6，8個數為例，則我們從上面的無限數列中得到

　　1,1,1,-1

隨后，我們可以計算所取出的子數列的和的絕對值。在上述例子中，和的絕對值為：

　　abs(1+1+1+(-1)) = 2。

（編者注：abs表示求絕對值）

在此基礎上，“埃爾德什差異問題”就是：如果我繼續抽取下去：取第2,4,6,8,10……個數，我們能使得新的數列和的絕對值大于任意給定的自然數C嗎？

這個看似簡單的命題，卻長時間未被攻克。80多年前，埃爾德什曾懸賞獎金500美元，希望有人能夠證明他的猜想，可直到他1996年去世，都無人挑戰成功。“埃爾德什差異問題”上次出現在人們視野中的時候還是2014年，當時英國計算機專家阿列克謝?利什特沙（Alexei Lisits）和鮑里斯?科涅夫（Boris Konev）宣布，借助計算機證明了埃爾德什猜想的一個特殊情況，即C小于等于2 的情況。其運算數據量達13GB之多。

圖2：為證明 C = 2，什特沙和科涅夫在論文中構建的自動機。

圖片來源：什特沙和科涅夫論文中的圖一https://arxiv.org/abs/1402.2184

這時，陶哲軒來了。但凡對數學稍有了解，你一定聽聞過他的大名：陶哲軒12 歲獲得 IMO 金牌，21歲獲得博士學位，24歲被評為正教授，31歲獲得菲爾茲獎。大概每一個數學愛好者都瀏覽過他的博客，拜讀過他所撰寫的 Analysis I and II, An introduction to measure theory 等條理清晰又自成體系的教材。從開始接觸“埃爾德什差異問題”到最終完成證明，陶哲軒僅花了兩周的時間。由傳奇的人物解決了傳奇的問題，這大概是“埃爾德什差異問題”備受關注原因之二。　　

在偉大的數學工作中，其偉大往往是由猜想的提出者和證明者互相成就的。埃爾德什差異問題的提出者埃爾德什，又是何許人也呢？

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?數學界的伯樂

如果你上網搜索，就會看到如下的保羅?埃爾德什：1984年沃爾夫獎獲得者，20世紀最偉大的數學家之一；其一生參與了1 475篇高質量論文的寫作，是歷史上發表論文數量第二多的數學家（第一為歐拉）；他在數論、集合、幾何等多個領域提出和解決了許多棘手的難題，建立了離散數學領域；雖然他從沒有碰過電腦卻為計算機科學打下了基礎；他一生獲得了眾多榮譽，是多個著名學術機構的成員，包括英國皇家學會，美國國家科學院……

然而，以上只是冰冷的事實集合而已。想要了解一個有血有肉的埃爾德什，或許我們可以從他與陶哲軒的交集入手，一窺前者的數學界地位和人格魅力……

這兩位傳奇人物的互相成就，遠早于“埃爾德什差異問題”的解決。

2013年，正值埃爾德什的百年誕辰。陶哲軒在其個人社交網絡貼出了一張頗有意義的照片：一位頭發花白、身著西裝的老人與一個穿著藍灰色上衣的小男孩坐在一起。老人一手拿著紙張，另一只拿著筆的手放在鼻子下面，小男孩也低頭注視著紙面。因為過于專注，兩人都沒有注意到鏡頭。照片中的老人就是埃爾德什，小男孩則是時年10歲的陶哲軒。這是陶哲軒第一次見到埃爾德什。六年之后，16歲的陶哲軒在埃爾德什的推薦下前往普林斯頓大學攻讀博士學位。

圖3：埃爾德什（左）在仔細檢閱10歲的陶哲軒（右）寫的論文。

圖片來源：美國數學協會(AMS)博客

http://blogs.ams.org/blogonmathblogs/2015/09/29/that-time-terrence-tao-won-500-from-paul-erdos/#sthash.96yUryE2.dpbs

而當陶哲軒證明出“埃爾德什差異問題”后，媒體問他是否會領取埃爾德什80年前懸賞的500美元獎金時，陶哲軒是這樣回答的：“埃爾德什在世的時候，傳統的做法不是兌換現金，而是將支票裱起來。”

以上兩個故事足以說明埃爾德什對陶哲軒的影響之大。事實上，陶哲軒僅僅是埃爾德什所發掘的眾多數學新星中的一位。“埃爾德什對數學做出了巨大貢獻，但我認為他更大的貢獻在于他造就了大量的數學家。”英國卡爾加里大學的數學家理查德?蓋伊（Richard Guy）說。

埃爾德什發掘的數學人才不勝枚舉。1974年，埃爾德什在印度見到大學生克里希納斯瓦米?阿拉底（Krishnaswami Alladi），被阿拉底的天分所打動，遂為其寫推薦信，使其獲得了加州大學洛杉磯分校的校長獎學金。后來，阿拉底成為了美國佛羅里達大學數學教授、《拉馬努金期刊》主編和拉馬努金獎金委員會主席。1980年代，當聽說一個名為格倫?懷特尼（Glen Whitney） 的年輕人想去哈佛讀書，但差一點學費后，埃爾德什安排與他相見，并借給這個年輕人1 000美金。十年后，懷特尼在密歇根大學謀得了教職，可以還錢了，埃爾德什卻說：“拿那1 000美元做我做過的事情。”如今，懷特尼已成為了美國國家數學博物館（National Museum of Mathematics）的館長，致力于面向大眾，尤其是青少年的數學科普。

1984年，埃爾德什獲得了來自沃爾夫數學獎的5萬美金獎金，僅僅留下720美金后，將其余大部分捐給了以其父母名義設立的獎學金，用以資助數學天才……可以說，埃爾德什是幾輩數學家的伯樂。

圖4：美國國家數學博物館。

圖片來源：紐約時報。

http://www.nytimes.com/2013/07/30/science/science-events-math-games-and-cloud-machines.html?_r=0

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令人又愛又恨的合作者

“拉爾夫，你還活著嗎？”一天清晨，埃爾德什趿拉著拖鞋，站在孟菲斯大學數學家福德里的臥室門前叩響他的房門字，這并不是因為福德里生病了，而是埃爾德什在喊他起床工作。
這就是埃爾德什的工作方式—— 他總是充當不速之客的角色，出人意料的敲開某個數學家的家門：“我的腦袋打開了！” 然后閃進房間，通宵達旦與對方一起探討數學問題，有時甚至會邀請上更多的人一起探討。

他常常在一個合作者家中呆上幾天，然后前往下一個合作者那里。他會在凌晨四點在廚房演奏一出鍋碗瓢勺的打擊樂，然后當主人睡眼惺忪的走到他面前，兜頭便說，“設N是整數，K是......”

“等他呆上一兩個星期后你都快要崩潰了，但他走后的幾天里，你還會不斷接到他的電話：‘證明完成了嗎？你把它交給打字員了嗎？’”福德里說。

然而當埃爾德什消失一段時間后，他的合作者更多的是懷念。1936年，匈牙利數學家安德魯?瓦茲索尼（Andrew Vazsonyi）想把一個經典圖論問題“哥尼斯堡七橋問題”推廣到無限維，研究了很長時間后依然只得到了定理的必要條件，無法找到充分條件。適逢埃爾德什也在匈牙利，身為好友的兩人幾乎天天見面。“但是我犯了一個致命的錯誤，我在電話里把自己的研究告訴了他。”瓦茲索尼回憶道。僅僅在20分鐘之后，他便接到了埃爾德什的電話，被告知已經找到了解決方法。隨后，埃爾德什就離開了。瓦茲索尼在被埃爾德什訪問期間“不堪其擾”后無奈地說道：“他離開后出現了一個空白。我無法繼續圖論的研究工作。”埃爾德什就是這樣讓一些合作者又愛又恨。

其實，埃爾德什并不是一個以自我為中心的人——他對合作者的“騷擾”更多是出于他對數學單純的熱愛。事實上，埃爾德什富有愛心、溫暖、也熱愛社交，這也可以從他與合作者的交往上體現出來。曾有一次，埃爾德什的朋友數學家斯塔尼斯拉夫?馬爾欽?烏拉姆（Stanis?aw Marcin Ulam）因大腦發炎需要開顱手術。手術后，烏拉姆的智力下降的很厲害。這天，烏拉姆的妻子扶著他剛剛邁出醫院大門，就看到埃爾德什上躥下跳地出現了。

“真高興你還活著，要不然我不但要為你寫訃告，還要獨自完成咱們的論文。你現在回家嗎？咱們一起走吧。”埃爾德什說。

接著他和烏拉姆一起上了車，一路上不停的纏著烏拉姆討論數學。剛一到家，又纏著烏拉姆與他下棋。這讓烏拉姆的妻子非常擔心，不過她很快發現埃爾德什是希望借此幫助烏拉姆恢復智力和對數學的信心。接著他在烏拉姆家呆了兩周。

“我對埃爾徳什的幫助終身難忘，是他幫助斯坦在數學上又踏踏實實的站穩了腳跟。”烏拉姆的妻子如此說道。

埃爾德什去世的時候，僅僅留下了25 000美金。而他還在計劃與其他數學家一起討論如何拿這些錢去幫助其他數學家們。

直到1996年，埃爾德什去世，他與485名合作者一共發表了近1 500余篇論文，也因此成為了世界上發表論著僅次于歐拉的數學家。因其發表論文數量之多，合作人數之多，在數學界便有“埃爾德什數”（簡稱“埃數”）用于表示研究者與埃爾德什間的合作距離。埃爾德什本人的“埃數”為0，與其直接合作者為1，與“埃數”為1者合作過的人的“埃數”為2，以此類推。其中，愛因斯坦的“埃數”為2。

在數學界，“埃數”為1 是一個在數學界令人羨慕的殊榮，美國密歇根州奧克蘭大學的科學家還專門建立了名為“埃數工程”的項目以跟蹤“埃數”。當埃爾德什去世，許多曾經與其共事卻未發表論文的科學家后悔不已。麻省理工學院的數學家卡羅?羅塔（Gian-Carlo Rota）便是之一。他曾經向埃爾德什請教問題，卻僅在發表的論文中對其致謝，而未將其列入作者名單。“對此，我將遺憾終身。我的埃數只能是2了。”羅塔說。

　　圖5：Erdos與他的合作者的圖譜。

https://blogs.harvard.edu/michaellaw/2013/11/29/the-economics-profession-why-are-there-star-economists/

值得一提的是，雖然發表論作諸多，埃爾德什并不在意合作論文的優先權。他的好友，數學家葛立恒（Ronald Graham）這樣評價他：“他原是與人分享他的數學成績，因為他的目的不是為了讓自己第一個去證明它，而是有人能使問題得到解決。有他也好，沒他也好。他周游世界，將自己的猜想和真知灼見與其他數學家分享。”

4

流浪的朝圣者

“我馬上會到你那里去。”埃爾徳什總會在火車站寫下這樣的信，然后發給下一個拜訪者，他的身旁是一個破舊的衣箱和一個從布達佩斯中心商店購買的土黃色塑料包。一個里面裝著幾件簡單的衣物，一個里面裝者數學資料，這是他的全部家當。

埃爾徳什沒有固定住所，沒有地址，沒有車，沒有保險，沒有結婚。他從一個數學會議到另一個數學會議，從一所大學到另一所大學，超過25個國家留下了他的足跡。“我現在在澳大利亞，明天去匈牙利，設K為最大的整數以滿足.......”這是埃爾徳什與不少數學家的郵件的典型開頭。他一直行走在在路上，從不在一個地方久留，像是一個流浪漢，也像一個朝圣者。他的座右銘是 “另一個屋檐，另一個證明”。他的好友，英國數學家Bela Bollobas這樣回憶道：“從1934年，他從來沒有連續7天不挪被窩的。”

埃爾德什的對流浪的熱衷始于他青年時期的求學經歷。埃爾徳什1913年出生在布達佩斯的一個猶太家庭。21歲便拿到了布達佩斯大學數學博士學位。其在大學期間在數論領域所做的杰出工作，引起了在柏林的數學家 Issai Schur 和曼徹斯特的 Louis Mordell的注意。在他的原計劃中，他打算先去曼徹斯特大學開展博士后研究，再去德國，但是不巧的是希特勒第一個到了那里。從此，埃爾徳什開始了自己“流浪的一生”。

在英國期間，他輾轉于曼徹斯特、劍橋、布里斯托等學府。后又在美國輾轉于普林斯頓高等研究院、普渡大學、圣母大學等學校。一般的數學工作者，總希望謀求一份穩定的終身教職，以順利的開展研究。但埃爾德什骨子里總是想要流浪，即使得到了終身教職，他也不愿留下。20世紀50年代初，當美國圣母大學以優厚待遇聘請其為終身教授的時候，他在朋友的勸說下勉強答應，后又因離開美國而辭職。

諷刺的是，他從圣母大學的離去和數學并沒有什么關系，其真實的原因有些讓人哭笑不得——在他離開圣母大學后，他曾在9年內被禁止入境美國。

1954年，埃爾德什應邀去阿姆斯特丹參加學術會議，便向美國移民局申請再入境許可證。移民局就派了一位官員去埃爾德什任教的圣母大學。當時麥卡錫主義盛行，移民局的官員便問他了一些關于共產主義的問題。

移民局官員問：你對馬克思評價如何？

埃爾德什：我沒有資格對他說三道四。但是毫無疑問他是個偉人。

這個回答并沒有讓移民局感到滿意，然而埃爾德什對于另一個問題的回答更是另移民局官員心生懷疑。

移民局官員問：如果你能肯定匈牙利政府會讓你離開，你還會訪問匈牙利嗎？

埃爾德什回答：當然了，我媽還在那，還有好多朋友在那。

然而在麥肯錫時代，承認想去一個共產主義國家探訪親友無疑是大忌。因此移民局決定，埃爾德什若出國，將在9年內不許返回美國。

毫無疑問，埃爾德什對于移民局的做法非常不滿——對于埃爾德什，被剝奪了旅行的權利就好像是剝奪了呼吸的權利一樣。“我沒有取得在入境簽證就離開了美國。我想我這樣做完全是按照美國最優良的傳統行事：你不能讓自己任憑政府擺布。”埃爾德什說。

離開美國后，他也未能被歐洲長期收留，最后在以色列找到一份工作。但是他拒絕加入以色列國籍，并保留匈牙利護照，宣布他自己是個世界公民。

在20世紀50年代時，曾有朋友問埃爾德什：“你行走江湖的數學家生涯究竟還要維持多久？”他的回答是：“起碼40年”。

這一語成讖，直到1996年辭世，埃爾德什都在路上。

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視數學為生命的情種

與許多數學家在晚年選擇頤養天年不同，即便是在生命的盡頭，埃爾德什依然沒有離開過數學。1993年，醫生準備為80歲的埃爾德什做手術，來移植一只角膜。躺在手術臺上的埃爾德什他忽然生氣的沖醫生說：“你們為什么把燈關了？！”他之所以生氣是因為，他以為自己在手術中還能用另一只眼睛看書，而醫生卻把燈關了。于是埃爾徳什在手術室里和醫生吵了起來。

面對這位倔強的老人，醫生只好給孟菲斯大學數學系打電話：“你們能否派一個數學家過來，以便能夠在手術過程中埃爾徳什能談論數學？”數學系答應了，最終手術得以進行。

一旦他住進醫院，病房就會變成會議室。病床上堆滿了論文，數學家們像是連著線一樣在病房進進出出，他們分成三堆，病床上的埃爾德什用英文和一堆人交流、匈牙利文跟一堆人交流、德文和另一堆人交流。有時候還會因為病房不能容下太多人而轉院。

埃爾德什從不忌諱談論死亡。他非常羨慕數學家歐拉的死，因為歐拉在離開前仍在研究數學。早在埃爾德什去世前很久，他便為自己設計了“完美的離開”。在一場完成數學演講之后，一個古怪的聽眾舉手提問。這時候埃爾德什會回答：“交給下一代人們來完成吧！”然后閉上眼睛，便倒地長辭。

然而，埃爾德什的對自己死亡的設計并沒有美夢成真。1996年9月，83歲的埃爾徳什因心臟病在波蘭華沙的醫院去世。

死亡對埃爾德什意味著什么呢？也許，并不意味著什么。在他發明的語言系統里，如果一個人離開了數學，就會被定義為“死亡”，而真正的死亡則被定義為“離開”。所以，他一直沒有死——因為他從來沒有離開過數學，也離不開數學。在他生命的最后幾年，朋友勸他休息的時候，他總是說“墳墓里有的是休息時間”。但事實上，也許并非如此，因為他也曾說過：“也許一旦我離開了這個世界，我就可以同時在不同的地方了。也許我將可以與阿基米德和歐幾里德合作了！”

作家保羅·霍夫曼（Paul Hoffman）寫過一本埃爾德什的傳記：The Man Who Loved Only Numbers，中文譯作《數字情種》。在筆者看來，這真是一個再恰當不過的譯名。埃爾德什就是這樣的一個人：一位樂于提攜后輩的數學界的伯樂，一位高產、苛求、又頑皮的論文合作者，一位在滿世界穿梭中追求真知的浪子，而這一切，完完全全的源自他對數學最單純的熱愛——他不但是數學家，更是視數學為生命的數字情種。

　　　圖6：The Man Who Loved Only Numbers （《數字情種》的英文原版）。

來源：維基百科

參考文獻：　　　

1. 保羅?霍夫曼. 數字情種: 埃爾德什傳 [M].上海.上海科學教育出版社.2009

2. 布魯斯?謝克特. 我的大腦敞開了: 數學怪才愛多士 [M].上海.上海世紀出版集團.2005

∑編輯?|?Gemini

來源 | 財新網

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總結

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