2015年9月17日，美國加州大學(xué)洛杉磯分校的數(shù)學(xué)家陶哲軒（Terence Tao）宣布破解埃爾德什猜想（the Erd?s Discrepancy Problem），整個(gè)數(shù)學(xué)界為之興奮。

同樣的興奮也傳到包括筆者在內(nèi)的普通數(shù)學(xué)愛好者的圈子。在陶哲軒將證明提交到論文預(yù)印網(wǎng)站www.arXiv.com 后的短短幾個(gè)小時(shí)后，筆者的微信朋友圈、微博和知乎的時(shí)間線都被“陶哲軒攻克埃爾德什猜想”這條消息刷屏。

圖1：1992年秋天，埃爾德什（Paul Erd?s）在一場學(xué)生學(xué)術(shù)討論會(huì)上。

來源：Wikimedia

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?埃爾德什差異問題

“埃爾德什差異問題”之所以備受關(guān)注，大概有兩個(gè)原因，其一是，它的命題有一種數(shù)學(xué)所獨(dú)有的簡潔的美感——這個(gè)命題是如此的通俗易懂，沒有任何數(shù)學(xué)背景的人也幾乎可以輕松理解?？梢杂米钔ㄋ椎姆椒枋鲞@個(gè)問題：　　

首先，隨意拋一枚硬幣，如果得到正面，則記為1，得到反面，則記為 -1。將硬幣拋無限多次，則得到一組由1和-1組成的無窮數(shù)列，比如

　　-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,…

其次，任意取一個(gè)自然 N，也就是說，N 可以為 0,1,2,3,4,5……然后，我們?cè)谏厦鏌o窮數(shù)列中取出從頭開始的連續(xù)幾個(gè)倍數(shù)，得到一個(gè)有限數(shù)列。比如，如果我們?nèi) = 2, 我們可以取出無窮數(shù)列中第2個(gè)和第4個(gè)數(shù)，可以取第2，4，6個(gè)數(shù)，也可以取第2，4，6，8個(gè)數(shù)… 以取出第2，4，6，8個(gè)數(shù)為例，則我們從上面的無限數(shù)列中得到

　　1,1,1,-1

隨后，我們可以計(jì)算所取出的子數(shù)列的和的絕對(duì)值。在上述例子中，和的絕對(duì)值為：

　　abs(1+1+1+(-1)) = 2。

（編者注：abs表示求絕對(duì)值）

在此基礎(chǔ)上，“埃爾德什差異問題”就是：如果我繼續(xù)抽取下去：取第2,4,6,8,10……個(gè)數(shù)，我們能使得新的數(shù)列和的絕對(duì)值大于任意給定的自然數(shù)C嗎？

這個(gè)看似簡單的命題，卻長時(shí)間未被攻克。80多年前，埃爾德什曾懸賞獎(jiǎng)金500美元，希望有人能夠證明他的猜想，可直到他1996年去世，都無人挑戰(zhàn)成功?！鞍柕率膊町悊栴}”上次出現(xiàn)在人們視野中的時(shí)候還是2014年，當(dāng)時(shí)英國計(jì)算機(jī)專家阿列克謝?利什特沙（Alexei Lisits）和鮑里斯?科涅夫（Boris Konev）宣布，借助計(jì)算機(jī)證明了埃爾德什猜想的一個(gè)特殊情況，即C小于等于2 的情況。其運(yùn)算數(shù)據(jù)量達(dá)13GB之多。

圖2：為證明 C = 2，什特沙和科涅夫在論文中構(gòu)建的自動(dòng)機(jī)。

圖片來源：什特沙和科涅夫論文中的圖一https://arxiv.org/abs/1402.2184

這時(shí)，陶哲軒來了。但凡對(duì)數(shù)學(xué)稍有了解，你一定聽聞過他的大名：陶哲軒12 歲獲得 IMO 金牌，21歲獲得博士學(xué)位，24歲被評(píng)為正教授，31歲獲得菲爾茲獎(jiǎng)。大概每一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者都瀏覽過他的博客，拜讀過他所撰寫的 Analysis I and II, An introduction to measure theory 等條理清晰又自成體系的教材。從開始接觸“埃爾德什差異問題”到最終完成證明，陶哲軒僅花了兩周的時(shí)間。由傳奇的人物解決了傳奇的問題，這大概是“埃爾德什差異問題”備受關(guān)注原因之二?！　?/span>

在偉大的數(shù)學(xué)工作中，其偉大往往是由猜想的提出者和證明者互相成就的。埃爾德什差異問題的提出者埃爾德什，又是何許人也呢？

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?數(shù)學(xué)界的伯樂

如果你上網(wǎng)搜索，就會(huì)看到如下的保羅?埃爾德什：1984年沃爾夫獎(jiǎng)獲得者，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一；其一生參與了1 475篇高質(zhì)量論文的寫作，是歷史上發(fā)表論文數(shù)量第二多的數(shù)學(xué)家（第一為歐拉）；他在數(shù)論、集合、幾何等多個(gè)領(lǐng)域提出和解決了許多棘手的難題，建立了離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域；雖然他從沒有碰過電腦卻為計(jì)算機(jī)科學(xué)打下了基礎(chǔ)；他一生獲得了眾多榮譽(yù)，是多個(gè)著名學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)的成員，包括英國皇家學(xué)會(huì)，美國國家科學(xué)院……

然而，以上只是冰冷的事實(shí)集合而已。想要了解一個(gè)有血有肉的埃爾德什，或許我們可以從他與陶哲軒的交集入手，一窺前者的數(shù)學(xué)界地位和人格魅力……

這兩位傳奇人物的互相成就，遠(yuǎn)早于“埃爾德什差異問題”的解決。

2013年，正值埃爾德什的百年誕辰。陶哲軒在其個(gè)人社交網(wǎng)絡(luò)貼出了一張頗有意義的照片：一位頭發(fā)花白、身著西裝的老人與一個(gè)穿著藍(lán)灰色上衣的小男孩坐在一起。老人一手拿著紙張，另一只拿著筆的手放在鼻子下面，小男孩也低頭注視著紙面。因?yàn)檫^于專注，兩人都沒有注意到鏡頭。照片中的老人就是埃爾德什，小男孩則是時(shí)年10歲的陶哲軒。這是陶哲軒第一次見到埃爾德什。六年之后，16歲的陶哲軒在埃爾德什的推薦下前往普林斯頓大學(xué)攻讀博士學(xué)位。

圖3：埃爾德什（左）在仔細(xì)檢閱10歲的陶哲軒（右）寫的論文。

圖片來源：美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(AMS)博客

http://blogs.ams.org/blogonmathblogs/2015/09/29/that-time-terrence-tao-won-500-from-paul-erdos/#sthash.96yUryE2.dpbs

而當(dāng)陶哲軒證明出“埃爾德什差異問題”后，媒體問他是否會(huì)領(lǐng)取埃爾德什80年前懸賞的500美元獎(jiǎng)金時(shí)，陶哲軒是這樣回答的：“埃爾德什在世的時(shí)候，傳統(tǒng)的做法不是兌換現(xiàn)金，而是將支票裱起來?！?/span>

以上兩個(gè)故事足以說明埃爾德什對(duì)陶哲軒的影響之大。事實(shí)上，陶哲軒僅僅是埃爾德什所發(fā)掘的眾多數(shù)學(xué)新星中的一位?！鞍柕率矊?duì)數(shù)學(xué)做出了巨大貢獻(xiàn)，但我認(rèn)為他更大的貢獻(xiàn)在于他造就了大量的數(shù)學(xué)家。”英國卡爾加里大學(xué)的數(shù)學(xué)家理查德?蓋伊（Richard Guy）說。

埃爾德什發(fā)掘的數(shù)學(xué)人才不勝枚舉。1974年，埃爾德什在印度見到大學(xué)生克里希納斯瓦米?阿拉底（Krishnaswami Alladi），被阿拉底的天分所打動(dòng)，遂為其寫推薦信，使其獲得了加州大學(xué)洛杉磯分校的校長獎(jiǎng)學(xué)金。后來，阿拉底成為了美國佛羅里達(dá)大學(xué)數(shù)學(xué)教授、《拉馬努金期刊》主編和拉馬努金獎(jiǎng)金委員會(huì)主席。1980年代，當(dāng)聽說一個(gè)名為格倫?懷特尼（Glen Whitney） 的年輕人想去哈佛讀書，但差一點(diǎn)學(xué)費(fèi)后，埃爾德什安排與他相見，并借給這個(gè)年輕人1 000美金。十年后，懷特尼在密歇根大學(xué)謀得了教職，可以還錢了，埃爾德什卻說：“拿那1 000美元做我做過的事情?！比缃?#xff0c;懷特尼已成為了美國國家數(shù)學(xué)博物館（National Museum of Mathematics）的館長，致力于面向大眾，尤其是青少年的數(shù)學(xué)科普。

1984年，埃爾德什獲得了來自沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的5萬美金獎(jiǎng)金，僅僅留下720美金后，將其余大部分捐給了以其父母名義設(shè)立的獎(jiǎng)學(xué)金，用以資助數(shù)學(xué)天才……可以說，埃爾德什是幾輩數(shù)學(xué)家的伯樂。

圖4：美國國家數(shù)學(xué)博物館。

圖片來源：紐約時(shí)報(bào)。

http://www.nytimes.com/2013/07/30/science/science-events-math-games-and-cloud-machines.html?_r=0

3

令人又愛又恨的合作者

“拉爾夫，你還活著嗎？”一天清晨，埃爾德什趿拉著拖鞋，站在孟菲斯大學(xué)數(shù)學(xué)家福德里的臥室門前叩響他的房門字，這并不是因?yàn)楦５吕锷×?#xff0c;而是埃爾德什在喊他起床工作。
這就是埃爾德什的工作方式—— 他總是充當(dāng)不速之客的角色，出人意料的敲開某個(gè)數(shù)學(xué)家的家門：“我的腦袋打開了！” 然后閃進(jìn)房間，通宵達(dá)旦與對(duì)方一起探討數(shù)學(xué)問題，有時(shí)甚至?xí)?qǐng)上更多的人一起探討。

他常常在一個(gè)合作者家中呆上幾天，然后前往下一個(gè)合作者那里。他會(huì)在凌晨四點(diǎn)在廚房演奏一出鍋碗瓢勺的打擊樂，然后當(dāng)主人睡眼惺忪的走到他面前，兜頭便說，“設(shè)N是整數(shù)，K是......”

“等他呆上一兩個(gè)星期后你都快要崩潰了，但他走后的幾天里，你還會(huì)不斷接到他的電話：‘證明完成了嗎？你把它交給打字員了嗎？’”福德里說。

然而當(dāng)埃爾德什消失一段時(shí)間后，他的合作者更多的是懷念。1936年，匈牙利數(shù)學(xué)家安德魯?瓦茲索尼（Andrew Vazsonyi）想把一個(gè)經(jīng)典圖論問題“哥尼斯堡七橋問題”推廣到無限維，研究了很長時(shí)間后依然只得到了定理的必要條件，無法找到充分條件。適逢埃爾德什也在匈牙利，身為好友的兩人幾乎天天見面。“但是我犯了一個(gè)致命的錯(cuò)誤，我在電話里把自己的研究告訴了他?！蓖咂澦髂峄貞浀?。僅僅在20分鐘之后，他便接到了埃爾德什的電話，被告知已經(jīng)找到了解決方法。隨后，埃爾德什就離開了。瓦茲索尼在被埃爾德什訪問期間“不堪其擾”后無奈地說道：“他離開后出現(xiàn)了一個(gè)空白。我無法繼續(xù)圖論的研究工作。”埃爾德什就是這樣讓一些合作者又愛又恨。

其實(shí)，埃爾德什并不是一個(gè)以自我為中心的人——他對(duì)合作者的“騷擾”更多是出于他對(duì)數(shù)學(xué)單純的熱愛。事實(shí)上，埃爾德什富有愛心、溫暖、也熱愛社交，這也可以從他與合作者的交往上體現(xiàn)出來。曾有一次，埃爾德什的朋友數(shù)學(xué)家斯塔尼斯拉夫?馬爾欽?烏拉姆（Stanis?aw Marcin Ulam）因大腦發(fā)炎需要開顱手術(shù)。手術(shù)后，烏拉姆的智力下降的很厲害。這天，烏拉姆的妻子扶著他剛剛邁出醫(yī)院大門，就看到埃爾德什上躥下跳地出現(xiàn)了。

“真高興你還活著，要不然我不但要為你寫訃告，還要獨(dú)自完成咱們的論文。你現(xiàn)在回家嗎？咱們一起走吧?！卑柕率舱f。

接著他和烏拉姆一起上了車，一路上不停的纏著烏拉姆討論數(shù)學(xué)。剛一到家，又纏著烏拉姆與他下棋。這讓烏拉姆的妻子非常擔(dān)心，不過她很快發(fā)現(xiàn)埃爾德什是希望借此幫助烏拉姆恢復(fù)智力和對(duì)數(shù)學(xué)的信心。接著他在烏拉姆家呆了兩周。

“我對(duì)埃爾徳什的幫助終身難忘，是他幫助斯坦在數(shù)學(xué)上又踏踏實(shí)實(shí)的站穩(wěn)了腳跟?！睘趵返钠拮尤绱苏f道。

埃爾德什去世的時(shí)候，僅僅留下了25 000美金。而他還在計(jì)劃與其他數(shù)學(xué)家一起討論如何拿這些錢去幫助其他數(shù)學(xué)家們。

直到1996年，埃爾德什去世，他與485名合作者一共發(fā)表了近1 500余篇論文，也因此成為了世界上發(fā)表論著僅次于歐拉的數(shù)學(xué)家。因其發(fā)表論文數(shù)量之多，合作人數(shù)之多，在數(shù)學(xué)界便有“埃爾德什數(shù)”（簡稱“埃數(shù)”）用于表示研究者與埃爾德什間的合作距離。埃爾德什本人的“埃數(shù)”為0，與其直接合作者為1，與“埃數(shù)”為1者合作過的人的“埃數(shù)”為2，以此類推。其中，愛因斯坦的“埃數(shù)”為2。

在數(shù)學(xué)界，“埃數(shù)”為1 是一個(gè)在數(shù)學(xué)界令人羨慕的殊榮，美國密歇根州奧克蘭大學(xué)的科學(xué)家還專門建立了名為“埃數(shù)工程”的項(xiàng)目以跟蹤“埃數(shù)”。當(dāng)埃爾德什去世，許多曾經(jīng)與其共事卻未發(fā)表論文的科學(xué)家后悔不已。麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家卡羅?羅塔（Gian-Carlo Rota）便是之一。他曾經(jīng)向埃爾德什請(qǐng)教問題，卻僅在發(fā)表的論文中對(duì)其致謝，而未將其列入作者名單?！皩?duì)此，我將遺憾終身。我的埃數(shù)只能是2了。”羅塔說。

　　圖5：Erdos與他的合作者的圖譜。

https://blogs.harvard.edu/michaellaw/2013/11/29/the-economics-profession-why-are-there-star-economists/

值得一提的是，雖然發(fā)表論作諸多，埃爾德什并不在意合作論文的優(yōu)先權(quán)。他的好友，數(shù)學(xué)家葛立恒（Ronald Graham）這樣評(píng)價(jià)他：“他原是與人分享他的數(shù)學(xué)成績，因?yàn)樗哪康牟皇菫榱俗屪约旱谝粋€(gè)去證明它，而是有人能使問題得到解決。有他也好，沒他也好。他周游世界，將自己的猜想和真知灼見與其他數(shù)學(xué)家分享?！?/span>

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流浪的朝圣者

“我馬上會(huì)到你那里去?！卑枏允部倳?huì)在火車站寫下這樣的信，然后發(fā)給下一個(gè)拜訪者，他的身旁是一個(gè)破舊的衣箱和一個(gè)從布達(dá)佩斯中心商店購買的土黃色塑料包。一個(gè)里面裝著幾件簡單的衣物，一個(gè)里面裝者數(shù)學(xué)資料，這是他的全部家當(dāng)。

埃爾徳什沒有固定住所，沒有地址，沒有車，沒有保險(xiǎn)，沒有結(jié)婚。他從一個(gè)數(shù)學(xué)會(huì)議到另一個(gè)數(shù)學(xué)會(huì)議，從一所大學(xué)到另一所大學(xué)，超過25個(gè)國家留下了他的足跡。“我現(xiàn)在在澳大利亞，明天去匈牙利，設(shè)K為最大的整數(shù)以滿足.......”這是埃爾徳什與不少數(shù)學(xué)家的郵件的典型開頭。他一直行走在在路上，從不在一個(gè)地方久留，像是一個(gè)流浪漢，也像一個(gè)朝圣者。他的座右銘是 “另一個(gè)屋檐，另一個(gè)證明”。他的好友，英國數(shù)學(xué)家Bela Bollobas這樣回憶道：“從1934年，他從來沒有連續(xù)7天不挪被窩的?！?/span>

埃爾德什的對(duì)流浪的熱衷始于他青年時(shí)期的求學(xué)經(jīng)歷。埃爾徳什1913年出生在布達(dá)佩斯的一個(gè)猶太家庭。21歲便拿到了布達(dá)佩斯大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位。其在大學(xué)期間在數(shù)論領(lǐng)域所做的杰出工作，引起了在柏林的數(shù)學(xué)家 Issai Schur 和曼徹斯特的 Louis Mordell的注意。在他的原計(jì)劃中，他打算先去曼徹斯特大學(xué)開展博士后研究，再去德國，但是不巧的是希特勒第一個(gè)到了那里。從此，埃爾徳什開始了自己“流浪的一生”。

在英國期間，他輾轉(zhuǎn)于曼徹斯特、劍橋、布里斯托等學(xué)府。后又在美國輾轉(zhuǎn)于普林斯頓高等研究院、普渡大學(xué)、圣母大學(xué)等學(xué)校。一般的數(shù)學(xué)工作者，總希望謀求一份穩(wěn)定的終身教職，以順利的開展研究。但埃爾德什骨子里總是想要流浪，即使得到了終身教職，他也不愿留下。20世紀(jì)50年代初，當(dāng)美國圣母大學(xué)以優(yōu)厚待遇聘請(qǐng)其為終身教授的時(shí)候，他在朋友的勸說下勉強(qiáng)答應(yīng)，后又因離開美國而辭職。

諷刺的是，他從圣母大學(xué)的離去和數(shù)學(xué)并沒有什么關(guān)系，其真實(shí)的原因有些讓人哭笑不得——在他離開圣母大學(xué)后，他曾在9年內(nèi)被禁止入境美國。

1954年，埃爾德什應(yīng)邀去阿姆斯特丹參加學(xué)術(shù)會(huì)議，便向美國移民局申請(qǐng)?jiān)偃刖吃S可證。移民局就派了一位官員去埃爾德什任教的圣母大學(xué)。當(dāng)時(shí)麥卡錫主義盛行，移民局的官員便問他了一些關(guān)于共產(chǎn)主義的問題。

移民局官員問：你對(duì)馬克思評(píng)價(jià)如何？

埃爾德什：我沒有資格對(duì)他說三道四。但是毫無疑問他是個(gè)偉人。

這個(gè)回答并沒有讓移民局感到滿意，然而埃爾德什對(duì)于另一個(gè)問題的回答更是另移民局官員心生懷疑。

移民局官員問：如果你能肯定匈牙利政府會(huì)讓你離開，你還會(huì)訪問匈牙利嗎？

埃爾德什回答：當(dāng)然了，我媽還在那，還有好多朋友在那。

然而在麥肯錫時(shí)代，承認(rèn)想去一個(gè)共產(chǎn)主義國家探訪親友無疑是大忌。因此移民局決定，埃爾德什若出國，將在9年內(nèi)不許返回美國。

毫無疑問，埃爾德什對(duì)于移民局的做法非常不滿——對(duì)于埃爾德什，被剝奪了旅行的權(quán)利就好像是剝奪了呼吸的權(quán)利一樣。“我沒有取得在入境簽證就離開了美國。我想我這樣做完全是按照美國最優(yōu)良的傳統(tǒng)行事：你不能讓自己任憑政府?dāng)[布?！卑柕率舱f。

離開美國后，他也未能被歐洲長期收留，最后在以色列找到一份工作。但是他拒絕加入以色列國籍，并保留匈牙利護(hù)照，宣布他自己是個(gè)世界公民。

在20世紀(jì)50年代時(shí)，曾有朋友問埃爾德什：“你行走江湖的數(shù)學(xué)家生涯究竟還要維持多久？”他的回答是：“起碼40年”。

這一語成讖，直到1996年辭世，埃爾德什都在路上。

5

視數(shù)學(xué)為生命的情種

與許多數(shù)學(xué)家在晚年選擇頤養(yǎng)天年不同，即便是在生命的盡頭，埃爾德什依然沒有離開過數(shù)學(xué)。1993年，醫(yī)生準(zhǔn)備為80歲的埃爾德什做手術(shù)，來移植一只角膜。躺在手術(shù)臺(tái)上的埃爾德什他忽然生氣的沖醫(yī)生說：“你們?yōu)槭裁窗褵絷P(guān)了？！”他之所以生氣是因?yàn)?#xff0c;他以為自己在手術(shù)中還能用另一只眼睛看書，而醫(yī)生卻把燈關(guān)了。于是埃爾徳什在手術(shù)室里和醫(yī)生吵了起來。

面對(duì)這位倔強(qiáng)的老人，醫(yī)生只好給孟菲斯大學(xué)數(shù)學(xué)系打電話：“你們能否派一個(gè)數(shù)學(xué)家過來，以便能夠在手術(shù)過程中埃爾徳什能談?wù)摂?shù)學(xué)？”數(shù)學(xué)系答應(yīng)了，最終手術(shù)得以進(jìn)行。

一旦他住進(jìn)醫(yī)院，病房就會(huì)變成會(huì)議室。病床上堆滿了論文，數(shù)學(xué)家們像是連著線一樣在病房進(jìn)進(jìn)出出，他們分成三堆，病床上的埃爾德什用英文和一堆人交流、匈牙利文跟一堆人交流、德文和另一堆人交流。有時(shí)候還會(huì)因?yàn)椴》坎荒苋菹绿嗳硕D(zhuǎn)院。

埃爾德什從不忌諱談?wù)撍劳觥Ｋ浅Ａw慕數(shù)學(xué)家歐拉的死，因?yàn)闅W拉在離開前仍在研究數(shù)學(xué)。早在埃爾德什去世前很久，他便為自己設(shè)計(jì)了“完美的離開”。在一場完成數(shù)學(xué)演講之后，一個(gè)古怪的聽眾舉手提問。這時(shí)候埃爾德什會(huì)回答：“交給下一代人們來完成吧！”然后閉上眼睛，便倒地長辭。

然而，埃爾德什的對(duì)自己死亡的設(shè)計(jì)并沒有美夢(mèng)成真。1996年9月，83歲的埃爾徳什因心臟病在波蘭華沙的醫(yī)院去世。

死亡對(duì)埃爾德什意味著什么呢？也許，并不意味著什么。在他發(fā)明的語言系統(tǒng)里，如果一個(gè)人離開了數(shù)學(xué)，就會(huì)被定義為“死亡”，而真正的死亡則被定義為“離開”。所以，他一直沒有死——因?yàn)樗麖膩頉]有離開過數(shù)學(xué)，也離不開數(shù)學(xué)。在他生命的最后幾年，朋友勸他休息的時(shí)候，他總是說“墳?zāi)估镉械氖切菹r(shí)間”。但事實(shí)上，也許并非如此，因?yàn)樗苍f過：“也許一旦我離開了這個(gè)世界，我就可以同時(shí)在不同的地方了。也許我將可以與阿基米德和歐幾里德合作了！”

作家保羅·霍夫曼（Paul Hoffman）寫過一本埃爾德什的傳記：The Man Who Loved Only Numbers，中文譯作《數(shù)字情種》。在筆者看來，這真是一個(gè)再恰當(dāng)不過的譯名。埃爾德什就是這樣的一個(gè)人：一位樂于提攜后輩的數(shù)學(xué)界的伯樂，一位高產(chǎn)、苛求、又頑皮的論文合作者，一位在滿世界穿梭中追求真知的浪子，而這一切，完完全全的源自他對(duì)數(shù)學(xué)最單純的熱愛——他不但是數(shù)學(xué)家，更是視數(shù)學(xué)為生命的數(shù)字情種。

　　　圖6：The Man Who Loved Only Numbers （《數(shù)字情種》的英文原版）。

來源：維基百科

參考文獻(xiàn)：　　　

1. 保羅?霍夫曼. 數(shù)字情種: 埃爾德什傳 [M].上海.上?？茖W(xué)教育出版社.2009

2. 布魯斯?謝克特. 我的大腦敞開了: 數(shù)學(xué)怪才愛多士 [M].上海.上海世紀(jì)出版集團(tuán).2005

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來源 | 財(cái)新網(wǎng)

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總結(jié)

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