【福利】囚犯抓绿豆,谁生谁死?
囚犯抓綠豆,誰(shuí)生誰(shuí)死?
五個(gè)囚犯先后從 100 顆綠豆中抓綠豆。抓得最多和最少的人將被處死,不能交流,可以摸出剩下綠豆的數(shù)量,誰(shuí)的存活幾率最大?
提示:
1.他們都是很聰明的人;
2.他們的原則是先求保命,再去多殺人;
3.100 顆不必都分完,但要保證每人至少抓一顆;
4.若有重復(fù)的情況,則也算最大和最小,一并處死。
這道題怎么做,取決于我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度理解題干中這句話:
「他們的原則是先求保命,再去多殺人」。
?我的理解是:?
1. 每個(gè)人采取方案,使得剩下的人在采取最佳方案的時(shí)候,自己的存活概率最大;
2. 如果有多種方案使得自己的存活概率最大且相同,則采取殺死人最多的方案。
假設(shè)我的理解正確,那么,這道題將會(huì)有一個(gè)可怕的答案。
定義: 為第 個(gè)人取走的綠豆數(shù),而 為前 個(gè)人取走的總綠豆數(shù)
?引理 1:
當(dāng) 個(gè)人 () 取過(guò)綠豆時(shí),如果被取走的綠豆數(shù)滿足
則第 個(gè)人應(yīng)該取 顆綠豆;
?證明:?
這個(gè)方案,可以確保自己不死,同時(shí)剩下未取豆子的人死亡概率最大。
其中:
是確保剩下的人至少有一顆綠豆可選,且自己至少取了 2 顆;
是確保自己取的綠豆數(shù)至少比前面取的最多的人少 1 ;
由于 , 有, 這不僅保證了自己取的豆子數(shù)不是最多的,并且其他人不可能都取到那么多,所以自己必然存活;
如果 ,他在確保自己存活的情況下,使得剩下的豆子數(shù)最少,這樣可以殺更多的人;
如果,他在確保自己存活的情況下,剩下的人每個(gè)人只能取 1 顆豆子,確保殺死剩下的所有人;
?推論 1:如果第 1 個(gè)人想要存活,那么他取的豆子數(shù)不能超過(guò) 20 顆,否則,后面的人只要采取引理 1 的方案,將保證自己存活,且此時(shí)第 1 個(gè)人會(huì)因?yàn)槿〉木G豆數(shù)最多而死亡,而最后 1~3 個(gè)人(根據(jù)第 1 個(gè)人取的綠豆數(shù))會(huì)因?yàn)樽约喝〉亩棺訑?shù)最少而死亡;
?引理 2:當(dāng) 時(shí),若,
則第 個(gè)人應(yīng)該取 顆綠豆來(lái)確保自己的存活概率最高
(其中, 是均值的四舍五入)
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)在這種情況下,只要前面的人取的綠豆數(shù)的最大最小值之差不小于 2,自己就確保能存活(否則存活范圍會(huì)變窄)
對(duì)于第 5 個(gè)人,這個(gè)條件可能不成立,比如見(jiàn)到前面四個(gè)人取了 62 顆,可能是 14+16+16+16,也可能是 15+15+15+17,所以他無(wú)論取 15 顆還是 16 顆都有機(jī)會(huì)但不能確保自己存活。
而所有人取綠豆的最大最小值的差不大于 1,所有人都得死;
引理 3:當(dāng)大家都極度自私的情況下,前 2 個(gè)人沒(méi)有存活的可能
這是因?yàn)橛梢?2,如果第 3~5 個(gè)人都會(huì)采取對(duì)他們而言存活概率的方案,如果第 2 個(gè)人和第 1 個(gè)人取的綠豆數(shù)差超過(guò) 1 個(gè),那前兩個(gè)人就包攬了最大最小值,必須死,如果差不超過(guò) 1,則所有人都得死;
既然第 1 個(gè)人沒(méi)有存活概率,那他的目標(biāo)就很耐人尋味了:
如果自己沒(méi)有存活概率——
選擇 1:殺死盡可能多的人
選擇 2:盡可能拯救更多的人
按照我的假設(shè),應(yīng)該是前者。
既然第 1 個(gè)人沒(méi)有存活概率,不妨讓大家都死得干凈些——取走 96 顆綠豆!
但如果,第 1 個(gè)人有點(diǎn)惻隱之心,做出了選擇 2:
那,他會(huì)取走 21~33 的豆子數(shù),根據(jù)引理 1,第 2~4 個(gè)人會(huì)存活;
所以,本題根據(jù)對(duì)題意的不同理解,有兩解:
·所有人都死亡;
·第 2~4 個(gè)人存活;
而對(duì)于第 1 個(gè)囚犯,他將面臨一個(gè)哲學(xué)難題:
如果自己不可能活下去,你會(huì)選擇讓別人陪葬,還是讓其他人好好活下去?
如果是你,會(huì)怎么選擇呢?
數(shù)學(xué)妙啊!妙!
作者: 曾加?
簡(jiǎn)介:數(shù)據(jù)分析師,畢業(yè)于清華大學(xué),知乎數(shù)學(xué)話題優(yōu)秀回答者
∑編輯?| 裴奕霖
來(lái)源 | 知乎
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總結(jié)
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