囚犯抓綠豆，誰(shuí)生誰(shuí)死？

五個(gè)囚犯先后從 100 顆綠豆中抓綠豆。抓得最多和最少的人將被處死，不能交流，可以摸出剩下綠豆的數(shù)量，誰(shuí)的存活幾率最大？

提示：

1.他們都是很聰明的人；

2.他們的原則是先求保命，再去多殺人；

3.100 顆不必都分完，但要保證每人至少抓一顆；

4.若有重復(fù)的情況，則也算最大和最小，一并處死。

這道題怎么做，取決于我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度理解題干中這句話：

「他們的原則是先求保命，再去多殺人」。

?我的理解是：?

1. 每個(gè)人采取方案，使得剩下的人在采取最佳方案的時(shí)候，自己的存活概率最大；

2. 如果有多種方案使得自己的存活概率最大且相同，則采取殺死人最多的方案。

假設(shè)我的理解正確，那么，這道題將會(huì)有一個(gè)可怕的答案。

定義： 為第 個(gè)人取走的綠豆數(shù)，而 為前 個(gè)人取走的總綠豆數(shù)

?引理 1：

當(dāng) 個(gè)人 () 取過(guò)綠豆時(shí)，如果被取走的綠豆數(shù)滿足

則第 個(gè)人應(yīng)該取 顆綠豆；

?證明：?

這個(gè)方案，可以確保自己不死，同時(shí)剩下未取豆子的人死亡概率最大。

其中：

是確保剩下的人至少有一顆綠豆可選，且自己至少取了 2 顆；

是確保自己取的綠豆數(shù)至少比前面取的最多的人少 1 ；

由于 , 有, 這不僅保證了自己取的豆子數(shù)不是最多的，并且其他人不可能都取到那么多，所以自己必然存活；

如果 ，他在確保自己存活的情況下，使得剩下的豆子數(shù)最少，這樣可以殺更多的人；

如果，他在確保自己存活的情況下，剩下的人每個(gè)人只能取 1 顆豆子，確保殺死剩下的所有人；

?推論 1：如果第 1 個(gè)人想要存活，那么他取的豆子數(shù)不能超過(guò) 20 顆，否則，后面的人只要采取引理 1 的方案，將保證自己存活，且此時(shí)第 1 個(gè)人會(huì)因?yàn)槿〉木G豆數(shù)最多而死亡，而最后 1~3 個(gè)人（根據(jù)第 1 個(gè)人取的綠豆數(shù)）會(huì)因?yàn)樽约喝〉亩棺訑?shù)最少而死亡；

?引理 2：當(dāng) 時(shí)，若，

則第 個(gè)人應(yīng)該取 顆綠豆來(lái)確保自己的存活概率最高

（其中， 是均值的四舍五入）

因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)在這種情況下，只要前面的人取的綠豆數(shù)的最大最小值之差不小于 2，自己就確保能存活（否則存活范圍會(huì)變窄）

對(duì)于第 5 個(gè)人，這個(gè)條件可能不成立，比如見(jiàn)到前面四個(gè)人取了 62 顆，可能是 14+16+16+16，也可能是 15+15+15+17，所以他無(wú)論取 15 顆還是 16 顆都有機(jī)會(huì)但不能確保自己存活。

而所有人取綠豆的最大最小值的差不大于 1，所有人都得死；

引理 3：當(dāng)大家都極度自私的情況下，前 2 個(gè)人沒(méi)有存活的可能

這是因?yàn)橛梢?2，如果第 3~5 個(gè)人都會(huì)采取對(duì)他們而言存活概率的方案，如果第 2 個(gè)人和第 1 個(gè)人取的綠豆數(shù)差超過(guò) 1 個(gè)，那前兩個(gè)人就包攬了最大最小值，必須死，如果差不超過(guò) 1，則所有人都得死；

既然第 1 個(gè)人沒(méi)有存活概率，那他的目標(biāo)就很耐人尋味了：

如果自己沒(méi)有存活概率——

選擇 1：殺死盡可能多的人

選擇 2：盡可能拯救更多的人

按照我的假設(shè)，應(yīng)該是前者。

既然第 1 個(gè)人沒(méi)有存活概率，不妨讓大家都死得干凈些——取走 96 顆綠豆！

但如果，第 1 個(gè)人有點(diǎn)惻隱之心，做出了選擇 2：

那，他會(huì)取走 21~33 的豆子數(shù)，根據(jù)引理 1，第 2~4 個(gè)人會(huì)存活；

所以，本題根據(jù)對(duì)題意的不同理解，有兩解：

·所有人都死亡；

·第 2~4 個(gè)人存活；

而對(duì)于第 1 個(gè)囚犯，他將面臨一個(gè)哲學(xué)難題：

如果自己不可能活下去，你會(huì)選擇讓別人陪葬，還是讓其他人好好活下去？

如果是你，會(huì)怎么選擇呢？

數(shù)學(xué)妙啊！妙！

作者： 曾加?

簡(jiǎn)介：數(shù)據(jù)分析師，畢業(yè)于清華大學(xué)，知乎數(shù)學(xué)話題優(yōu)秀回答者

∑編輯?| 裴奕霖

來(lái)源 | 知乎

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總結(jié)

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