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推荐系统--矩阵分解(5)

發布時間：2024/8/23 windows 20 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了推荐系统--矩阵分解(5) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

推薦系統–矩陣分解(1)
推薦系統–矩陣分解(2)
推薦系統–矩陣分解(3)
推薦系統–矩陣分解(4)
推薦系統–矩陣分解(5)
推薦系統–矩陣分解(6)

8 基于隱式反饋的矩陣分解

8.1 引入

相對于顯示反饋的評分數據，隱式反饋有以下幾方面的特征：

只有正反饋，沒有負反饋，只能得到用戶喜歡那些物品，對于用戶不喜歡的物品沒有數據支持；

隱式反饋噪聲比較多，不像用戶評分行為是用戶強烈的主動行為，用戶瀏覽行為、點擊行為都相對比較被動。例1，某個頁面是因為用戶默認打開頁面導致打分較高；例2，買東西可能只是用來送禮；

顯式反饋的評分數據代表用戶真實的喜好程度，隱式反饋代表置信度；

需要有合適的方法來對隱式反饋進行評價，而不能直接用RMSE。

8.2 模型

模型引入喜好變量和置信度變量。
$fui={1rui>00rui=0(1)f_{u i}=\left\{\begin{array}{cc} 1 & r_{u i}>0 \\ 0 & r_{u i}=0 \end{array}\right. \tag1$
符號說明：
喜好變量 $f_{u i}$ ：一個二元變量，表示用戶是否具有該偏好。
置信度變量的計算有兩種方式：
$cui=1+αrui(2)c_{u i}=1+\alpha r_{u i} \tag2$
或
$cui=1+αlog?(1+rui/?)(3)c_{u i}=1+\alpha \log \left(1+r_{u i} / \epsilon\right) \tag3$
符號說明：
置信度變量 $c_{u i}$ ：表示用戶對物品喜好的置信程度。

最終得到如下優化目標函數：
$\min _{p_{\star}, q_{\star}} \sum_{u, i} c_{u i}\left(f_{u i}-p_{u}^{T} q_{i}\right)^{2}+\lambda\left(\sum_{u}\left\|p_{u}\right\|^{2}+\sum_{i}\left\|q_{i}\right\|^{2}\right) \tag4$

8.3 求解 $p_u$ 和 $q_i$

首先計算梯度：
$12?L(p,q)?pu=∑icui(puTqi?fui)qi+λpu=∑icui(qiTpu?fui)qi+λpu=QTCuQpu?QTCuf(u)+λpu\begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{\partial L(p, q)}{\partial p_{u}} &=\sum_{i} c_{u i}\left(p_{u}^{T} q_{i}-f_{u i}\right) q_{i}+\lambda p_{u} \\ &=\sum_{i} c_{u i}\left(q_{i}^{T} p_{u}-f_{u i}\right) q_{i}+\lambda p_{u} \\ &=Q^{T} C^{u} Q p_{u}-Q^{T} C^{u} f(u)+\lambda p_{u} \end{aligned}$
有兩種方法可以求解 $p_u$ 和 $q_i$ ：

第一種方法為直接法，令偏導為0，則有：
$pu=(QTCuQ+λI)?1QTCuf(u)p_{u}=\left(Q^{T} C^{u} Q+\lambda I\right)^{-1} Q^{T} C^{u} f(u)$
矩陣計算的維度如下：
$\times n \& n \times n \& n \times k) \& (k \times n) \& (n \times n) \& (n \times 1)= k \times 1$
同理可得：
$qi=(PTCiP+λI)?1PTCif(i)q_{i}=\left(P^{T} C^{i} P+\lambda I\right)^{-1} P^{T} C^{i} f(i)$

符號說明：
$\in \mathbb{R}^{n}$ ：包含用戶 $u$ 的所有偏好向量；
$\in \mathbb{R}^{m}$ ：包含用戶對物品 $t_i$ 的偏好向量；
$\in \mathbb{R}^{m \times k}$ ：潛在用戶特征矩陣；
$\in \mathbb{R}^{n \times k}$ ：潛在物品特征矩陣；
$Cu∈Rn×nC^{u} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ：是 $C_{i i}^{u}=c_{u i}$ ，其余地方為0的對角矩陣，如下所示：

C_{11}^{u}

$C_{22}^{u}$
	$C_{33}^{u}$
		$C_{44}^{u}$
			$C_{55}^{u}$

$Ci∈Rm×mC^{i} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ ：是 $C_{uu}^{i}=c_{u i}$ 的對角矩陣，其余地方為0的對角矩陣，如下所示：

C_{11}^{i}

$C_{22}^{i}$
	$C_{33}^{i}$
		$C_{44}^{i}$
			$C_{55}^{i}$

第二種方法為迭代法：
梯度計算如下：
$12?L(p,q)?pu=∑i[cui(puTqi?fui)]qi+λpu=∑i[cui(qiTpu?fui)]qi+λpu12?L(p,q)?qi=∑u[cui(puTqi?fui)]pu+λqi\begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{\partial L(p, q)}{\partial p_{u}} &=\sum_{i} \left[c_{u i}\left(p_{u}^{T} q_{i}-f_{u i}\right)\right] q_{i}+\lambda p_{u} \\ &=\sum_{i} \left[c_{u i}\left(q_{i}^{T} p_{u}-f_{u i}\right)\right] q_{i}+\lambda p_{u} \\ \frac{1}{2}\frac{\partial L(p, q)}{\partial {q}_{i}}&= \sum_{u}\left[c_{u i}\left({p}_{u}^{T}{q}_{i}- f_{u i}\right)\right] {p}_{u}+ \lambda {q}_{i} \end{aligned}$
迭代公式為：
$pu=pu?γ?L(p,q)?puqi=qi?γ?L(p,q)?qi\begin{aligned} {p}_{u}&={p}_{u}-\gamma \frac{\partial L(p, q)}{\partial {p}_{u}}\\ {q}_{i}&={q}_{i}-\gamma \frac{\partial L(p, q)}{\partial {q}_{i}} \end{aligned}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的推荐系统--矩阵分解(5)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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