拉普拉斯方程之美：万物的数学之匙
物理是一個天生自帶暗語密碼的學(xué)科。而正是這些密碼將宇宙里的各種秘密轉(zhuǎn)為人類語言。它們可以把最純粹的數(shù)學(xué)和任意物理下的分科聯(lián)合在一起。而這，正是其中之一。
它存在于電磁學(xué)，存在于流體力學(xué)，存在于萬有引力，存在于熱力學(xué)，也存在于表面張力里。它，乃是拉普拉斯方程。它，無處不在。
拉普拉斯方程是由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）首先提出而得名的。拉普拉斯則是一位世界著名的法國數(shù)學(xué)家，在維基百科上甚至有數(shù)個被冠以他的名字的頁面。在1799年，他證明了在天文時間單位里，太陽系是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，推翻了一個世紀(jì)前牛頓的假設(shè)。在這個過程中，拉普拉斯方程誕生了。
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯
它只有5個符號。被平方的一個名為向量算子的倒三角，希臘字母φ，等號，零。通過這五個符號，拉普拉斯讀懂了宇宙。
φ，這個方程的精髓，通常代表勢能。雖然它也可以代表其他的數(shù)值，但是在這里，我們將φ定為代表一片陸地每一點(diǎn)的海拔。山坡上的φ很大，山谷里的φ則很小。
被一系列運(yùn)算所代表的向量算子平方被稱之為拉普拉斯算子。它所測量的是在這篇陸地上移動時φ值升降之間的平衡。
在山頂上，不論任何方向，唯一的可能就是海拔的下降，因?yàn)樗咽亲罡唿c(diǎn)。這時的拉普拉斯算子是負(fù)數(shù)，因?yàn)橄陆抵当壬仙荡蟆Ｉ焦鹊讋t完全相反，正數(shù)的拉普拉斯算子是因?yàn)槲ㄒ坏目赡芫褪巧仙６谶@兩者之間則存在著一處平衡點(diǎn)，在那，一步可能帶來的上升和下降完全相同。在這處平衡點(diǎn)上，拉普拉斯算子為零。
在拉普拉斯方程里，一片陸地上所有地點(diǎn)的拉普拉斯算子都等于零。而這有兩個結(jié)果。第一，在任何一個位置上，你都可以上升或下降相同的海拔。第二，一片陸地最高和最低的φ值都只能存在于邊境。這是因?yàn)?#xff0c;如果φ值有變，它只能在抵達(dá)峰頂或谷底之前發(fā)生。
現(xiàn)實(shí)的地面很難符合拉普拉斯方程，但是皂膜不一樣。把一個鐵圈放進(jìn)肥皂水里再拿出來，你將發(fā)現(xiàn)制造出來的皂膜會沒有任何起伏。你可以拿著鐵圈換一換姿勢，但是你會發(fā)現(xiàn)你沒有任何辦法使皂膜高出或底出鐵圈。從任何角度來看，鐵圈的邊緣都是這個平面的最高與最低點(diǎn)。
皂膜之所以形成這個形狀是由于表面張力導(dǎo)致的。但是拉普拉斯算子完美的預(yù)料到并描述了它。而且你要記住，拉普拉斯發(fā)明出這個方程的原因是因?yàn)樗枋隽苏麄€太陽系。
讓我們用另外一個例子來描述拉普拉斯方程。想象一塊帶電荷的金屬在空無一物的太空中。通常，太空中是沒有電壓的。但是，此時金屬附近的空間會有和金屬相似的電壓。距離金屬更遠(yuǎn)的空間電壓則會更小，但只有在離金屬無窮遠(yuǎn)的時候電壓才會為零。當(dāng)你離開金屬所在的那點(diǎn)，你不會測量到任何電壓的波動，因?yàn)闆]有任何其他電荷來導(dǎo)致電壓波動。電壓只會隨著距離的增加而變小。
如果你想知道空間里任何一點(diǎn)的電壓，你只需要解開拉普拉斯方程。
聽起來很難？不用擔(dān)心，拉普拉斯方程厲害之處在于，如果你想解開皂膜的拉普拉斯方程，你在最后一步之前不需要任何關(guān)于鐵圈的數(shù)值。所有的步驟完全獨(dú)立于鐵圈。所以，你可以把它完美的套用在電壓的計算上。除了最后一步，這個方程不會有一丁點(diǎn)的改變。
同樣，它可以被運(yùn)用在任何地方，只要你把最后一步改好。引力在物體表面最大，但是會漸進(jìn)歸零，拉普拉斯方程可以計算它。水流的速度在被阻礙時為零，但是在遠(yuǎn)處則不會有任何影響，拉普拉斯同樣好使。鼓面被緊固在鼓上，它的表面張力使它持平，拉普拉斯對它也有效。
橫跨宇宙，橫跨教室，橫跨研究，只要你注意找，拉普拉斯方程必然會出現(xiàn)。而你，只需要解它一次。
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總結(jié)
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